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1. 一元二次方程根的判别式的概念
$b^2-4ac$
叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，记作“$\Delta$”，即$\Delta=$$b^2-4ac$
.答案
1. $b^2-4ac$ 叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，记作“$\Delta$”，即$\Delta= b^2-4ac$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础概念，属于识记类题型。解题时首先回忆根的判别式的定义：我们在推导一元二次方程求根公式的过程中发现，代数式$b^2-4ac$的取值直接决定了方程是否有实数根，因此将这个代数式定义为标准形式一元二次方程的根的判别式，用符号$\Delta$表示，据此就能直接填出两个空的内容。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式的定义可知：$b^2-4ac$叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，记作“$\Delta$”，即$\Delta= b^2-4ac$。
【答案】
$b^2-4ac$；$b^2-4ac$
【知识点】
一元二次方程根的判别式的概念
【点评】
本题属于基础概念识记题，侧重对核心定义的记忆考查，是后续利用判别式判断方程根的情况、求解含参一元二次方程相关问题的基础，需牢牢掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的判别式的基础概念，属于识记类题型。解题时首先回忆根的判别式的定义：我们在推导一元二次方程求根公式的过程中发现，代数式$b^2-4ac$的取值直接决定了方程是否有实数根，因此将这个代数式定义为标准形式一元二次方程的根的判别式，用符号$\Delta$表示，据此就能直接填出两个空的内容。
【解析】
根据一元二次方程根的判别式的定义可知：$b^2-4ac$叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，记作“$\Delta$”，即$\Delta= b^2-4ac$。
【答案】
$b^2-4ac$；$b^2-4ac$
【知识点】
一元二次方程根的判别式的概念
【点评】
本题属于基础概念识记题，侧重对核心定义的记忆考查，是后续利用判别式判断方程根的情况、求解含参一元二次方程相关问题的基础，需牢牢掌握。
【难度系数】
0.9
2. 利用判别式判断一元二次方程根的情况
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的情况可由$\Delta=$
当$\Delta$
当$\Delta$
当$\Delta$
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的情况可由$\Delta=$
$b^2-4ac$
来判断：当$\Delta$
$＞$
0时，方程有两个不相等的实数根，其根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
；当$\Delta$
$=$
0时，方程有两个相等的实数根，其根为$x_1=x_2=$$-\frac{b}{2a}$
；当$\Delta$
$＜$
0时，方程没有实数根。答案
2. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的情况可由$\Delta= b^2-4ac$来判断：当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根，其根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根，其根为$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式和求根公式的基础概念，解题时先回忆判别式的定义式，再逐一对应Δ不同取值范围对应的根的三种情况，最后准确填写对应求根公式的内容即可。
【解析】
根据一元二次方程的相关定义：
1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，它是判断方程根的情况的依据；
2. 当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根，由求根公式可得两个根分别为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
3. 当$\Delta = 0$时，根号下的部分为0，此时方程有两个相等的实数根，根为$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；
4. 当$\Delta ＜ 0$时，负数在实数范围内不能开平方，因此方程没有实数根。
【答案】
$b^2-4ac$；$＞$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$=$；$-\frac{b}{2a}$；$＜$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程求根公式；一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对判别式相关性质的记忆与理解，该知识点是一元二次方程相关计算、应用类题目的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的判别式和求根公式的基础概念，解题时先回忆判别式的定义式，再逐一对应Δ不同取值范围对应的根的三种情况，最后准确填写对应求根公式的内容即可。
【解析】
根据一元二次方程的相关定义：
1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，它是判断方程根的情况的依据；
2. 当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根，由求根公式可得两个根分别为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
3. 当$\Delta = 0$时，根号下的部分为0，此时方程有两个相等的实数根，根为$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；
4. 当$\Delta ＜ 0$时，负数在实数范围内不能开平方，因此方程没有实数根。
【答案】
$b^2-4ac$；$＞$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$=$；$-\frac{b}{2a}$；$＜$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程求根公式；一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对判别式相关性质的记忆与理解，该知识点是一元二次方程相关计算、应用类题目的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【例1】不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1)$x^2 +9=6x$；
(2)$x^2 +3x=-1$；
(3)$3x^2 +3=2\sqrt{6}x$。
方法技巧 将一元二次方程化为一般形式$ax^2 +bx +c=0(a＞0)$以后，如果$c≤0$，则方程一定有实数根。
(1)$x^2 +9=6x$；
(2)$x^2 +3x=-1$；
(3)$3x^2 +3=2\sqrt{6}x$。
方法技巧 将一元二次方程化为一般形式$ax^2 +bx +c=0(a＞0)$以后，如果$c≤0$，则方程一定有实数根。
答案
解:(1)原方程可化为 $x^2-6x+9=0$。
$\because \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×9=0$，
$\therefore$ 原方程有两个相等的实数根。
(2)原方程可化为 $x^2+3x+1=0$。
$\because \Delta=b^2-4ac=3^2-4×1×1=5＞0$，
$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根。
(3)原方程可化为 $3x^2-2\sqrt{6}x+3=0$。
$\because \Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4×3×3=-12＜0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
$\because \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×9=0$，
$\therefore$ 原方程有两个相等的实数根。
(2)原方程可化为 $x^2+3x+1=0$。
$\because \Delta=b^2-4ac=3^2-4×1×1=5＞0$，
$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根。
(3)原方程可化为 $3x^2-2\sqrt{6}x+3=0$。
$\because \Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4×3×3=-12＜0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，核心是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判定，解题按三步展开：第一步，将每个方程移项化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，注意移项要变号；第二步，准确对应找到每个方程中$a$、$b$、$c$的取值；第三步，代入判别式公式计算$\Delta$的值，再根据规则判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1)原方程可化为 $x^2-6x+9=0$。
$\because \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×9=0$，
$\therefore$ 原方程有两个相等的实数根。
(2)原方程可化为 $x^2+3x+1=0$。
$\because \Delta=b^2-4ac=3^2-4×1×1=5＞0$，
$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根。
(3)原方程可化为 $3x^2-2\sqrt{6}x+3=0$。
$\because \Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4×3×3=-12＜0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
【答案】
(1)有两个相等的实数根；(2)有两个不相等的实数根；(3)没有实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用，解题关键是先将方程整理为一般形式，移项时注意符号变化，计算判别式时要保证运算准确，尤其含二次根式的乘方、乘法运算不要出错。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程的根的情况，核心是利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判定，解题按三步展开：第一步，将每个方程移项化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，注意移项要变号；第二步，准确对应找到每个方程中$a$、$b$、$c$的取值；第三步，代入判别式公式计算$\Delta$的值，再根据规则判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1)原方程可化为 $x^2-6x+9=0$。
$\because \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×1×9=0$，
$\therefore$ 原方程有两个相等的实数根。
(2)原方程可化为 $x^2+3x+1=0$。
$\because \Delta=b^2-4ac=3^2-4×1×1=5＞0$，
$\therefore$ 原方程有两个不相等的实数根。
(3)原方程可化为 $3x^2-2\sqrt{6}x+3=0$。
$\because \Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4×3×3=-12＜0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根。
【答案】
(1)有两个相等的实数根；(2)有两个不相等的实数根；(3)没有实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用，解题关键是先将方程整理为一般形式，移项时注意符号变化，计算判别式时要保证运算准确，尤其含二次根式的乘方、乘法运算不要出错。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2026永州期末)关于y的一元二次方程$y^2 - y -5=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$进行判断：首先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中各项系数$a$、$b$、$c$的值，代入公式计算判别式的结果，再根据判别式的取值范围对应判断根的情况：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$y^2 - y -5=0$，对应一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得各项系数：$a=1$，$b=-1$，$c=-5$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-5) = 1 + 20 = 21$
因为$\Delta=21＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，解题的关键是准确识别方程的各项系数，计算判别式时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$进行判断：首先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）中各项系数$a$、$b$、$c$的值，代入公式计算判别式的结果，再根据判别式的取值范围对应判断根的情况：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$y^2 - y -5=0$，对应一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得各项系数：$a=1$，$b=-1$，$c=-5$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-5) = 1 + 20 = 21$
因为$\Delta=21＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，解题的关键是准确识别方程的各项系数，计算判别式时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.85
【变式2】(2026吉林期末)不解方程，判断一元二次方程$x^2+17=8x$根的情况。
答案
解:方程化为 $x^2-8x+17=0$，
$\therefore a=1,b=-8,c=17$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4＜0$，
$\therefore$ 方程无实数根。
$\therefore a=1,b=-8,c=17$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4＜0$，
$\therefore$ 方程无实数根。
解析
【分析】
不解方程判断一元二次方程根的情况，需利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断。解题时首先要将原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入判别式计算其值，最后根据$\Delta$的正负性即可得出根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
首先将方程整理为一般形式：
移项得 $x^2 - 8x + 17 = 0$
由此可得二次项系数 $a=1$，一次项系数 $b=-8$，常数项 $c=17$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 × 1 × 17 = 64 - 68 = -4 ＜ 0$
根据判别式的意义，当$\Delta＜0$时，一元二次方程没有实数根。
【答案】
方程无实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的易错点是整理一般形式时系数符号出错，计算判别式时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
不解方程判断一元二次方程根的情况，需利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断。解题时首先要将原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入判别式计算其值，最后根据$\Delta$的正负性即可得出根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
首先将方程整理为一般形式：
移项得 $x^2 - 8x + 17 = 0$
由此可得二次项系数 $a=1$，一次项系数 $b=-8$，常数项 $c=17$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 × 1 × 17 = 64 - 68 = -4 ＜ 0$
根据判别式的意义，当$\Delta＜0$时，一元二次方程没有实数根。
【答案】
方程无实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的易错点是整理一般形式时系数符号出错，计算判别式时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
【例2】已知关于$x$的方程$x^2 - (a+1)x + \frac{1}{4}a^2 + 1 = 0$有两个不相等的实数根，求$a$的取值范围及$a$的最小整数值。
答案
解:$\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^2-(a+1)x+\frac{1}{4}a^2+1=0$ 有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta=[-(a+1)]^2-4×1×(\frac{1}{4}a^2+1)＞0$，
即 $2a-3＞0$，
解得 $a＞\frac{3}{2}$，
$\therefore a$ 的最小整数值是 2。
$\therefore \Delta=[-(a+1)]^2-4×1×(\frac{1}{4}a^2+1)＞0$，
即 $2a-3＞0$，
解得 $a＞\frac{3}{2}$，
$\therefore a$ 的最小整数值是 2。
解析
【分析】
题目给出的是一元二次方程，且明确有两个不相等的实数根，解题时首先联想到一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当$\Delta=B^2-4AC＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题步骤为：第一步先确定对应方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式列出关于$a$的不等式；第二步解一元一次不等式得到$a$的取值范围；第三步在取值范围内找出最小的整数即可。
【解析】
$\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^2-(a+1)x+\frac{1}{4}a^2+1=0$ 有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta=[-(a+1)]^2-4×1×(\frac{1}{4}a^2+1)＞0$，
展开计算得：$(a^2+2a+1)-(a^2+4)＞0$，
化简得：$2a-3＞0$，
解得 $a＞\frac{3}{2}$，
大于$\frac{3}{2}$的最小整数为2，$\therefore a$ 的最小整数值是 2。
【答案】
$a$的取值范围是$a＞\frac{3}{2}$，$a$的最小整数值是2。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元一次不等式
3.整数的概念
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题关键是熟记判别式与根的个数的对应关系，计算判别式时要注意符号运算的准确性，确定整数取值时要注意边界值$\frac{3}{2}$不包含在取值范围内，避免误取1。
【难度系数】
0.8
题目给出的是一元二次方程，且明确有两个不相等的实数根，解题时首先联想到一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当$\Delta=B^2-4AC＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题步骤为：第一步先确定对应方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式列出关于$a$的不等式；第二步解一元一次不等式得到$a$的取值范围；第三步在取值范围内找出最小的整数即可。
【解析】
$\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^2-(a+1)x+\frac{1}{4}a^2+1=0$ 有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta=[-(a+1)]^2-4×1×(\frac{1}{4}a^2+1)＞0$，
展开计算得：$(a^2+2a+1)-(a^2+4)＞0$，
化简得：$2a-3＞0$，
解得 $a＞\frac{3}{2}$，
大于$\frac{3}{2}$的最小整数为2，$\therefore a$ 的最小整数值是 2。
【答案】
$a$的取值范围是$a＞\frac{3}{2}$，$a$的最小整数值是2。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.解一元一次不等式
3.整数的概念
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题关键是熟记判别式与根的个数的对应关系，计算判别式时要注意符号运算的准确性，确定整数取值时要注意边界值$\frac{3}{2}$不包含在取值范围内，避免误取1。
【难度系数】
0.8
【变式1】若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x - 3m = 0$没有实数根，则$m$的取值范围为
$m＜-\frac{3}{4}$
。答案
$m＜-\frac{3}{4}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。我们只需要先确定本题方程对应的$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，再解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x - 3m = 0$没有实数根
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
本题中$a=1$，$b=-3$，$c=-3m$，代入判别式得：
$(-3)^2 - 4×1×(-3m) ＜ 0$
计算整理得：$9 + 12m ＜ 0$
移项得：$12m ＜ -9$
两边同时除以12并约分得：$m ＜ -\frac{3}{4}$
【答案】
$m＜-\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题核心是熟记无实数根时判别式小于0的性质，代入系数列不等式求解即可，计算时要注意常数项的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。我们只需要先确定本题方程对应的$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，再解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x - 3m = 0$没有实数根
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
本题中$a=1$，$b=-3$，$c=-3m$，代入判别式得：
$(-3)^2 - 4×1×(-3m) ＜ 0$
计算整理得：$9 + 12m ＜ 0$
移项得：$12m ＜ -9$
两边同时除以12并约分得：$m ＜ -\frac{3}{4}$
【答案】
$m＜-\frac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用题型，解题核心是熟记无实数根时判别式小于0的性质，代入系数列不等式求解即可，计算时要注意常数项的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
