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1.将方程$(2x-4)(x+5)=-5$化为一般形式是
2x²+6x-15=0
，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是2，6，-15
。答案
1. 2x²+6x-15=0；2，6，-15。
解析
【分析】
要将给定的方程化为一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）。解题思路分为三步：第一步先用多项式乘法法则展开方程左边的乘积式，第二步将方程右侧的常数项移到左侧，第三步合并同类项，整理成左侧按x的降幂排列、右侧为0的标准形式。再根据一般形式，分别对应找出二次项系数（$x^2$项的系数，带符号）、一次项系数（$x$项的系数，带符号）、常数项（不含未知数的项，带符号）即可。
【解析】
1. 展开方程左侧的乘积：
$\begin{aligned}(2x-4)(x+5)&=2x· x + 2x·5 -4· x -4×5\\&=2x^2+10x-4x-20\\&=2x^2+6x-20\end{aligned}$
2. 代入原方程得：$2x^2+6x-20=-5$
3. 移项，将右侧的$-5$移到左侧，注意变号：
$2x^2+6x-20+5=0$
4. 合并同类项，得到一般形式：$2x^2+6x-15=0$
5. 对应找系数：二次项系数为$2$，一次项系数为$6$，常数项为$-15$。
【答案】
$2x^2+6x-15=0$；$2$，$6$，$-15$
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 多项式乘多项式
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础概念题，核心考查一般形式的化简和系数识别，解题时要注意移项时符号的变化，提取系数时需连同项的符号一同判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85
要将给定的方程化为一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）。解题思路分为三步：第一步先用多项式乘法法则展开方程左边的乘积式，第二步将方程右侧的常数项移到左侧，第三步合并同类项，整理成左侧按x的降幂排列、右侧为0的标准形式。再根据一般形式，分别对应找出二次项系数（$x^2$项的系数，带符号）、一次项系数（$x$项的系数，带符号）、常数项（不含未知数的项，带符号）即可。
【解析】
1. 展开方程左侧的乘积：
$\begin{aligned}(2x-4)(x+5)&=2x· x + 2x·5 -4· x -4×5\\&=2x^2+10x-4x-20\\&=2x^2+6x-20\end{aligned}$
2. 代入原方程得：$2x^2+6x-20=-5$
3. 移项，将右侧的$-5$移到左侧，注意变号：
$2x^2+6x-20+5=0$
4. 合并同类项，得到一般形式：$2x^2+6x-15=0$
5. 对应找系数：二次项系数为$2$，一次项系数为$6$，常数项为$-15$。
【答案】
$2x^2+6x-15=0$；$2$，$6$，$-15$
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 多项式乘多项式
3. 合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础概念题，核心考查一般形式的化简和系数识别，解题时要注意移项时符号的变化，提取系数时需连同项的符号一同判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85
2. 对于等式$(m^2 - m)x^2 + mx + 1 = 0$，当$m$
=1
时，等式是关于$x$的一元一次方程，当$m$≠0且m≠1
时，等式是关于$x$的一元二次方程。答案
2. m=1，m≠0且m≠1。
解析
【分析】
要判断方程属于一元一次方程还是一元二次方程，需结合两类方程的定义分析：
1. 若为关于x的一元一次方程，需满足方程只含x一个未知数、x的最高次数为1、一次项系数不为0。因此首先要消去x²项，即令二次项系数为0，同时保证一次项系数不为0即可。
2. 若为关于x的一元二次方程，需满足方程只含x一个未知数、x的最高次数为2，因此只需保证二次项系数不为0即可。
【解析】
1. 当等式是关于x的一元一次方程时：
需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，列条件为：
$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\ m ≠ 0 \end{cases}$
对$m^2 - m = 0$因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$，结合$m≠0$的限制舍去$m=0$，最终得$m=1$。
2. 当等式是关于x的一元二次方程时：
需满足二次项系数不为0，列条件为：
$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得$m(m-1)≠0$，解得$m≠0$且$m≠1$。
【答案】
$=1$；$≠0$且$≠1$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是明确不同类型整式方程对最高次项系数的限制要求，求解时要注意不要遗漏一次项系数不为0的限制条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
要判断方程属于一元一次方程还是一元二次方程，需结合两类方程的定义分析：
1. 若为关于x的一元一次方程，需满足方程只含x一个未知数、x的最高次数为1、一次项系数不为0。因此首先要消去x²项，即令二次项系数为0，同时保证一次项系数不为0即可。
2. 若为关于x的一元二次方程，需满足方程只含x一个未知数、x的最高次数为2，因此只需保证二次项系数不为0即可。
【解析】
1. 当等式是关于x的一元一次方程时：
需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，列条件为：
$\begin{cases}m^2 - m = 0 \\ m ≠ 0 \end{cases}$
对$m^2 - m = 0$因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$，结合$m≠0$的限制舍去$m=0$，最终得$m=1$。
2. 当等式是关于x的一元二次方程时：
需满足二次项系数不为0，列条件为：
$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得$m(m-1)≠0$，解得$m≠0$且$m≠1$。
【答案】
$=1$；$≠0$且$≠1$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是明确不同类型整式方程对最高次项系数的限制要求，求解时要注意不要遗漏一次项系数不为0的限制条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
3.关于$x$的方程$(m-1)x^2 +5x +m^2 -3m +2=0$的一个根是0，则$m=$
1或2
.答案
3. 1或2。
解析
【分析】
已知方程的一个根是0，根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此第一步将x=0代入原方程，可得到只含m的方程，解出m的取值后，再分别代回原方程验证是否存在根为0即可。本题未明确说明方程是一元二次方程，因此不需要限定二次项系数不为0，所有符合条件的解都要保留。
【解析】
解：
∵x=0是方程$(m-1)x^2 +5x +m^2 -3m +2=0$的根
∴将x=0代入原方程，可得：
$m^2 - 3m + 2 = 0$
对等式左边因式分解得：
$(m-1)(m-2)=0$
∴$m-1=0$ 或 $m-2=0$
解得$m=1$或$m=2$
验证：
当$m=1$时，原方程化简为$5x=0$，根为$x=0$，符合题意；
当$m=2$时，原方程化简为$x^2+5x=0$，解得$x=0$或$x=-5$，符合题意。
【答案】
1或2
【知识点】
1.方程根的定义
2.因式分解法解方程
【点评】
本题属于易错题，解题时要注意审题，若题干没有明确说明方程是一元二次方程，不要默认二次项系数不为0而舍去m=1的解，求出参数值后要注意代回原方程验证是否符合题意。
【难度系数】
0.7
已知方程的一个根是0，根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此第一步将x=0代入原方程，可得到只含m的方程，解出m的取值后，再分别代回原方程验证是否存在根为0即可。本题未明确说明方程是一元二次方程，因此不需要限定二次项系数不为0，所有符合条件的解都要保留。
【解析】
解：
∵x=0是方程$(m-1)x^2 +5x +m^2 -3m +2=0$的根
∴将x=0代入原方程，可得：
$m^2 - 3m + 2 = 0$
对等式左边因式分解得：
$(m-1)(m-2)=0$
∴$m-1=0$ 或 $m-2=0$
解得$m=1$或$m=2$
验证：
当$m=1$时，原方程化简为$5x=0$，根为$x=0$，符合题意；
当$m=2$时，原方程化简为$x^2+5x=0$，解得$x=0$或$x=-5$，符合题意。
【答案】
1或2
【知识点】
1.方程根的定义
2.因式分解法解方程
【点评】
本题属于易错题，解题时要注意审题，若题干没有明确说明方程是一元二次方程，不要默认二次项系数不为0而舍去m=1的解，求出参数值后要注意代回原方程验证是否符合题意。
【难度系数】
0.7
4.如果多项式$x^2 - 2(m-1)x + (m^2 +5)$是关于x的完全平方式，那么m的值是
-2
.答案
4. -2。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆完全平方式的性质：若关于x的二次三项式$ax^2+bx+c$（$a≠0$）是完全平方式，则该多项式对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。我们先确定本题中二次三项式的$a、b、c$的值，代入判别式等于0的等式，解关于m的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
已知多项式$x^2 - 2(m-1)x + (m^2 +5)$是关于x的完全平方式，因此其判别式$\Delta = 0$。
该二次三项式中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2(m-1)$，常数项$c=m^2+5$，代入判别式公式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= [-2(m-1)]^2 - 4×1×(m^2+5) \\&= 4(m^2-2m+1) - 4m^2 -20 \\&= 4m^2 -8m +4 -4m^2 -20 \\&= -8m -16\end{aligned}$
令$\Delta=0$，即：
$-8m -16 = 0$
移项得$-8m=16$，解得$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
完全平方式的特征；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题可通过判别式法求解，也可直接对照完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$的结构列等式计算，解题时要注意一次项系数的符号，避免运算出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆完全平方式的性质：若关于x的二次三项式$ax^2+bx+c$（$a≠0$）是完全平方式，则该多项式对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。我们先确定本题中二次三项式的$a、b、c$的值，代入判别式等于0的等式，解关于m的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
已知多项式$x^2 - 2(m-1)x + (m^2 +5)$是关于x的完全平方式，因此其判别式$\Delta = 0$。
该二次三项式中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2(m-1)$，常数项$c=m^2+5$，代入判别式公式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= [-2(m-1)]^2 - 4×1×(m^2+5) \\&= 4(m^2-2m+1) - 4m^2 -20 \\&= 4m^2 -8m +4 -4m^2 -20 \\&= -8m -16\end{aligned}$
令$\Delta=0$，即：
$-8m -16 = 0$
移项得$-8m=16$，解得$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
完全平方式的特征；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题可通过判别式法求解，也可直接对照完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$的结构列等式计算，解题时要注意一次项系数的符号，避免运算出错。
【难度系数】
0.7
5.若$x=a^2 + b^2 + 18$，$y=8b + 4a - 3$，则$x$与$y$的大小关系是
x＞y
。答案
5. x＞y。
解析
【分析】
比较两个代数式的大小，常用作差法：若两式的差大于0，则被减数更大；若差等于0，则两式相等；若差小于0，则减数更大。本题先计算x与y的差，再通过完全平方公式对差进行配方，结合平方数的非负性判断差的正负，即可得出x和y的大小关系。
【解析】
解：采用作差法比较大小，计算$x-y$：
$\begin{aligned}x-y&=(a^2 + b^2 + 18)-(8b + 4a - 3)\\&=a^2 + b^2 + 18 - 8b - 4a + 3\\&=a^2 -4a + b^2 -8b +21\end{aligned}$
对上述式子配方：
$a^2-4a=(a-2)^2-4$，$b^2-8b=(b-4)^2-16$，代入得：
$\begin{aligned}x-y&=(a-2)^2 -4 + (b-4)^2 -16 +21\\&=(a-2)^2 + (b-4)^2 +1\end{aligned}$
由平方的非负性可知$(a-2)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，因此：
$(a-2)^2 + (b-4)^2 +1≥1＞0$，即$x-y＞0$，故$x＞y$。
【答案】
$x＞y$
【知识点】
作差法比较大小，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是代数式大小比较的常规题型，解题核心是掌握作差法的基本思路，熟练运用配方法将差式转化为平方和加正数的形式，配方时注意常数项的计算不要出错。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小，常用作差法：若两式的差大于0，则被减数更大；若差等于0，则两式相等；若差小于0，则减数更大。本题先计算x与y的差，再通过完全平方公式对差进行配方，结合平方数的非负性判断差的正负，即可得出x和y的大小关系。
【解析】
解：采用作差法比较大小，计算$x-y$：
$\begin{aligned}x-y&=(a^2 + b^2 + 18)-(8b + 4a - 3)\\&=a^2 + b^2 + 18 - 8b - 4a + 3\\&=a^2 -4a + b^2 -8b +21\end{aligned}$
对上述式子配方：
$a^2-4a=(a-2)^2-4$，$b^2-8b=(b-4)^2-16$，代入得：
$\begin{aligned}x-y&=(a-2)^2 -4 + (b-4)^2 -16 +21\\&=(a-2)^2 + (b-4)^2 +1\end{aligned}$
由平方的非负性可知$(a-2)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，因此：
$(a-2)^2 + (b-4)^2 +1≥1＞0$，即$x-y＞0$，故$x＞y$。
【答案】
$x＞y$
【知识点】
作差法比较大小，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是代数式大小比较的常规题型，解题核心是掌握作差法的基本思路，熟练运用配方法将差式转化为平方和加正数的形式，配方时注意常数项的计算不要出错。
【难度系数】
0.7
6.一个两位数，十位上的数是比个位上的数小2的数的平方.设个位上的数为m，则这个两位数可用含m的代数式表示为
10m²-39m+40
.答案
6. 10m²-39m+40。
解析
【分析】
要表示这个两位数，首先需明确两位数的构成规则：两位数=10×十位数字+个位数字。首先根据题意推导十位数字的表达式：已知个位数字为m，比个位小2的数是$m-2$，其平方就是十位数字，再代入两位数的表示公式，最后展开化简即可得到结果。
【解析】
解：设个位上的数为m，
1. 推导十位数字：由题意可知，比个位上的数小2的数为$m-2$，因此十位数字为$(m-2)^2$；
2. 代入两位数表示公式：
这个两位数可写为$10×(m-2)^2 + m$
3. 展开化简：
根据完全平方公式展开$(m-2)^2 = m^2 -4m +4$，代入得：
$\begin{aligned}10(m^2 -4m +4) + m &= 10m^2 -40m +40 + m \\&=10m^2 -39m +40\end{aligned}$
【答案】
$10m^2-39m+40$
【知识点】
1. 列代数式
2. 完全平方公式
3. 整式化简
【点评】
本题属于数字类代数式表示的基础题，解题核心是牢记两位数的表示规则，注意十位数字需要乘10再和个位数字相加，运算过程中要正确运用完全平方公式展开，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要表示这个两位数，首先需明确两位数的构成规则：两位数=10×十位数字+个位数字。首先根据题意推导十位数字的表达式：已知个位数字为m，比个位小2的数是$m-2$，其平方就是十位数字，再代入两位数的表示公式，最后展开化简即可得到结果。
【解析】
解：设个位上的数为m，
1. 推导十位数字：由题意可知，比个位上的数小2的数为$m-2$，因此十位数字为$(m-2)^2$；
2. 代入两位数表示公式：
这个两位数可写为$10×(m-2)^2 + m$
3. 展开化简：
根据完全平方公式展开$(m-2)^2 = m^2 -4m +4$，代入得：
$\begin{aligned}10(m^2 -4m +4) + m &= 10m^2 -40m +40 + m \\&=10m^2 -39m +40\end{aligned}$
【答案】
$10m^2-39m+40$
【知识点】
1. 列代数式
2. 完全平方公式
3. 整式化简
【点评】
本题属于数字类代数式表示的基础题，解题核心是牢记两位数的表示规则，注意十位数字需要乘10再和个位数字相加，运算过程中要正确运用完全平方公式展开，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
7.如果方程$x^2 -4x =k$的一个实数根是$2+\sqrt{3}$，那么k的值是
-1
。答案
7. -1。
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值。我们只需将已知的实根$2+\sqrt{3}$代入原方程，按照运算规则计算即可求出$k$的值，计算过程中要用到完全平方公式展开，再合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
解：已知$x=2+\sqrt{3}$是方程$x^2 -4x =k$的实数根，将$x=2+\sqrt{3}$代入方程：
$\begin{aligned}k&=(2+\sqrt{3})^2 - 4×(2+\sqrt{3})\\&=(4+4\sqrt{3}+3)-(8+4\sqrt{3})\\&=7+4\sqrt{3}-8-4\sqrt{3}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程根的定义；二次根式运算；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的概念的应用，只要掌握根的意义，代入计算时注意完全平方的展开规则和二次根式的加减运算规则，避免运算失误即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值。我们只需将已知的实根$2+\sqrt{3}$代入原方程，按照运算规则计算即可求出$k$的值，计算过程中要用到完全平方公式展开，再合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
解：已知$x=2+\sqrt{3}$是方程$x^2 -4x =k$的实数根，将$x=2+\sqrt{3}$代入方程：
$\begin{aligned}k&=(2+\sqrt{3})^2 - 4×(2+\sqrt{3})\\&=(4+4\sqrt{3}+3)-(8+4\sqrt{3})\\&=7+4\sqrt{3}-8-4\sqrt{3}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程根的定义；二次根式运算；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的概念的应用，只要掌握根的意义，代入计算时注意完全平方的展开规则和二次根式的加减运算规则，避免运算失误即可快速求解。
【难度系数】
0.85
8.一个生产车间计划把产品的生产成本在今后两年内降低m元，平均每年生产成本的降低率为10％.用含m的代数式表示今年的生产成本是
$\frac{100}{19}m$元
.答案
8. $\frac{100}{19}m$元。
解析
【分析】
这是一道平均降低率的实际应用问题，解题思路如下：第一步，先设今年的生产成本为未知数；第二步，根据每年10%的降低率，分别表示出1年后、2年后的生产成本；第三步，抓住“今后两年内降低m元”的等量关系，即今年成本减去两年后的成本等于m，列方程求解即可得到今年生产成本的代数式。
【解析】
设今年的生产成本为$ x $元。
1. 计算1年后的生产成本：每年降低率为10%，因此1年后成本为$ x(1-10\%) = 0.9x $元；
2. 计算2年后的生产成本：在1年后成本的基础上再降低10%，因此2年后成本为$ 0.9x × (1-10\%) = 0.81x $元；
3. 根据“两年内总共降低m元”列方程：
$ x - 0.81x = m $
化简得：$ 0.19x = m $
解得：$ x = \frac{m}{0.19} = \frac{100}{19}m $
【答案】
$\frac{100}{19}m$元
【知识点】
平均降低率问题；列方程解应用题；代数式化简
【点评】
本题易错点是容易误将两年后的生产成本当成m，解题核心是明确平均降低率的计算逻辑，找准降低的总金额对应的等量关系，是降低率类问题的基础应用题型。
【难度系数】
0.6
这是一道平均降低率的实际应用问题，解题思路如下：第一步，先设今年的生产成本为未知数；第二步，根据每年10%的降低率，分别表示出1年后、2年后的生产成本；第三步，抓住“今后两年内降低m元”的等量关系，即今年成本减去两年后的成本等于m，列方程求解即可得到今年生产成本的代数式。
【解析】
设今年的生产成本为$ x $元。
1. 计算1年后的生产成本：每年降低率为10%，因此1年后成本为$ x(1-10\%) = 0.9x $元；
2. 计算2年后的生产成本：在1年后成本的基础上再降低10%，因此2年后成本为$ 0.9x × (1-10\%) = 0.81x $元；
3. 根据“两年内总共降低m元”列方程：
$ x - 0.81x = m $
化简得：$ 0.19x = m $
解得：$ x = \frac{m}{0.19} = \frac{100}{19}m $
【答案】
$\frac{100}{19}m$元
【知识点】
平均降低率问题；列方程解应用题；代数式化简
【点评】
本题易错点是容易误将两年后的生产成本当成m，解题核心是明确平均降低率的计算逻辑，找准降低的总金额对应的等量关系，是降低率类问题的基础应用题型。
【难度系数】
0.6
9.若方程$x^2 + px + q = 0$的两个实数根分别为-5和6，则$q =$
-30
.答案
9. -30。
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个实数根，求方程的常数项q，解题时可优先利用一元二次方程根与系数的关系求解。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根$x_1$、$x_2$满足：两根之积等于$\frac{c}{a}$；本题中方程二次项系数为1，常数项为q，因此q就等于两个根的乘积，直接代入两根计算即可，无需将根代入方程列方程组求解，可简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若其两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1· x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 + px + q = 0$的两个实数根为$-5$和$6$，该方程中$a=1$，$c=q$，因此：
$q = x_1· x_2 = (-5)×6 = -30$
【答案】
-30
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根与系数关系的理解与应用，熟练掌握两根和、两根积对应系数的关系即可快速得出结果，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的两个实数根，求方程的常数项q，解题时可优先利用一元二次方程根与系数的关系求解。首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根$x_1$、$x_2$满足：两根之积等于$\frac{c}{a}$；本题中方程二次项系数为1，常数项为q，因此q就等于两个根的乘积，直接代入两根计算即可，无需将根代入方程列方程组求解，可简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若其两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1· x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 + px + q = 0$的两个实数根为$-5$和$6$，该方程中$a=1$，$c=q$，因此：
$q = x_1· x_2 = (-5)×6 = -30$
【答案】
-30
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根与系数关系的理解与应用，熟练掌握两根和、两根积对应系数的关系即可快速得出结果，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
10.若$a^2 - 3a = 2$，$b^2 - 3b = 2$，试写出a与b的一种关系：
$a = b$，或$a + b = 3$，或$ab = -2$等
。答案
10. $a = b$，或$a + b = 3$，或$ab = -2$等。
解析
【分析】
观察已知条件可以发现，a和b满足的等式结构完全相同，可将a、b看作一元二次方程$x^2 - 3x = 2$（即$x^2 - 3x - 2 = 0$）的两个实数根。接下来分两种情况讨论：一是a、b为方程的同一个根，此时二者相等；二是a、b为方程的两个不同根，此时可通过一元二次方程根与系数的关系推导二者的和、积关系，任选一种关系作答即可。
【解析】
∵ $a^2 - 3a = 2$，$b^2 - 3b = 2$
∴ a、b是一元二次方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个实数根
分两种情况讨论：
1. 当a、b为方程的同一个根时，可得关系$\boldsymbol{a = b}$，满足已知条件；
2. 当a、b为方程的两个不相等的实数根时，根据根与系数的关系：
对于一元二次方程$mx^2+nx+c=0$（$m≠0$），两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{n}{m}$，$x_1x_2=\frac{c}{m}$
代入方程$x^2 - 3x - 2 = 0$中，$m=1$，$n=-3$，$c=-2$
可得$a + b = -\frac{-3}{1} = 3$，$ab = \frac{-2}{1} = -2$
因此a与b的关系可以是$a=b$，或$a+b=3$，或$ab=-2$，任选其一即可。
【答案】
$a = b$（或$a + b = 3$，或$ab = -2$，答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题解题的核心是发现a、b满足同一方程，将问题转化为一元二次方程根的相关问题求解，解题时注意不要遗漏$a=b$的特殊情况。
【难度系数】
0.7
观察已知条件可以发现，a和b满足的等式结构完全相同，可将a、b看作一元二次方程$x^2 - 3x = 2$（即$x^2 - 3x - 2 = 0$）的两个实数根。接下来分两种情况讨论：一是a、b为方程的同一个根，此时二者相等；二是a、b为方程的两个不同根，此时可通过一元二次方程根与系数的关系推导二者的和、积关系，任选一种关系作答即可。
【解析】
∵ $a^2 - 3a = 2$，$b^2 - 3b = 2$
∴ a、b是一元二次方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个实数根
分两种情况讨论：
1. 当a、b为方程的同一个根时，可得关系$\boldsymbol{a = b}$，满足已知条件；
2. 当a、b为方程的两个不相等的实数根时，根据根与系数的关系：
对于一元二次方程$mx^2+nx+c=0$（$m≠0$），两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{n}{m}$，$x_1x_2=\frac{c}{m}$
代入方程$x^2 - 3x - 2 = 0$中，$m=1$，$n=-3$，$c=-2$
可得$a + b = -\frac{-3}{1} = 3$，$ab = \frac{-2}{1} = -2$
因此a与b的关系可以是$a=b$，或$a+b=3$，或$ab=-2$，任选其一即可。
【答案】
$a = b$（或$a + b = 3$，或$ab = -2$，答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题解题的核心是发现a、b满足同一方程，将问题转化为一元二次方程根的相关问题求解，解题时注意不要遗漏$a=b$的特殊情况。
【难度系数】
0.7
11.已知关于$x$的一元二次方程$(m - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$有两个实数根，那么$m$的取值范围是
$m ≤ 2$，且$m ≠ 1$
.答案
11. $m ≤ 2$，且$m ≠ 1$。
解析
【分析】
要解这道题，需同时满足两个核心条件：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先分别根据这两个条件列出关于m的不等式，再求解两个不等式的公共解集，就能得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(m - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $m - 1 ≠ 0$，解得 $m ≠ 1$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-1$，$b=2$，$c=1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4 × (m-1) × 1 = 8 - 4m ≥ 0$
解不等式$8-4m≥0$，移项得$4m≤8$，解得$m≤2$
综合两个条件，可得m的取值范围为$m≤2$且$m≠1$
【答案】
$m ≤ 2$，且$m ≠ 1$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，易错点是忽略二次项系数不为0的限制条件，导致取值范围多包含了m=1的情况，解题时要先确认二次项系数的取值要求，再结合根的情况列判别式求解。
【难度系数】
0.7
要解这道题，需同时满足两个核心条件：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先分别根据这两个条件列出关于m的不等式，再求解两个不等式的公共解集，就能得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(m - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $m - 1 ≠ 0$，解得 $m ≠ 1$
又
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m-1$，$b=2$，$c=1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4 × (m-1) × 1 = 8 - 4m ≥ 0$
解不等式$8-4m≥0$，移项得$4m≤8$，解得$m≤2$
综合两个条件，可得m的取值范围为$m≤2$且$m≠1$
【答案】
$m ≤ 2$，且$m ≠ 1$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，易错点是忽略二次项系数不为0的限制条件，导致取值范围多包含了m=1的情况，解题时要先确认二次项系数的取值要求，再结合根的情况列判别式求解。
【难度系数】
0.7
12.设$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且关于$x$的方程$(a^2 + b^2)x^2 - 2\sqrt{2}cx + 2 = 0$有两个相等的实数根，则$△ ABC$的形状是
直角三角形
。答案
12. 直角三角形。
解析
【分析】
解题时首先从题目的已知条件“方程有两个相等的实数根”切入，回忆一元二次方程根的判别式的性质：当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。接下来先明确方程的二次项系数、一次项系数、常数项（注意不要和三角形边长a、b混淆），代入判别式并令其等于0，化简得到三边的数量关系后，结合勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状。
【解析】
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，若方程有两个相等的实数根，则判别式$\Delta=B^2-4AC=0$。
本题中方程的二次项系数$A=a^2+b^2$，一次项系数$B=-2\sqrt{2}c$，常数项$C=2$，代入判别式得：
$\Delta=(-2\sqrt{2}c)^2 - 4×(a^2+b^2)×2=0$
计算化简：
$8c^2 - 8(a^2+b^2)=0$
两边同时除以8得：$c^2=a^2+b^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是一元二次方程性质和三角形判定的综合基础题，核心考点是根的判别式的应用和勾股定理逆定理的使用，解题时需注意区分方程系数和三角形边长，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先从题目的已知条件“方程有两个相等的实数根”切入，回忆一元二次方程根的判别式的性质：当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。接下来先明确方程的二次项系数、一次项系数、常数项（注意不要和三角形边长a、b混淆），代入判别式并令其等于0，化简得到三边的数量关系后，结合勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状。
【解析】
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，若方程有两个相等的实数根，则判别式$\Delta=B^2-4AC=0$。
本题中方程的二次项系数$A=a^2+b^2$，一次项系数$B=-2\sqrt{2}c$，常数项$C=2$，代入判别式得：
$\Delta=(-2\sqrt{2}c)^2 - 4×(a^2+b^2)×2=0$
计算化简：
$8c^2 - 8(a^2+b^2)=0$
两边同时除以8得：$c^2=a^2+b^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是一元二次方程性质和三角形判定的综合基础题，核心考点是根的判别式的应用和勾股定理逆定理的使用，解题时需注意区分方程系数和三角形边长，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
13.给出下列说法：①$ax^2+bx+c=0$是一元二次方程；②方程$x^2=x$的解是$x=1$；③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x=$
；④方程$x(x+2)(x-3)=0$有3个实数根。正确的是…………【 】
A.③④
B.①②③
C.④
D.①②③④
；④方程$x(x+2)(x-3)=0$有3个实数根。正确的是…………【 】A.③④
B.①②③
C.④
D.①②③④
答案
C。
解析
【分析】
我们需要逐个判断四个说法的正误，结合相关概念逐一排查：
1. 判断①：一元二次方程要求二次项系数不为0，题干未说明a≠0，因此①错误；
2. 判断②：对方程$x^2=x$移项因式分解后可得到两个解，并非只有$x=1$，因此②错误；
3. 判断③：求根公式仅适用于$a≠0$且判别式$b^2-4ac≥0$的一元二次方程，题干未给出这两个前提，因此③错误；
4. 判断④：方程$x(x+2)(x-3)=0$因式分解后可得到三个不同的实数根，因此④正确。
最终只有④正确，对应选项C。
【解析】
逐个分析各说法：
① 当$a=0$时，$ax^2+bx+c=0$未知数最高次数低于2，不是一元二次方程，故①错误；
② 方程$x^2=x$移项得$x^2-x=0$，因式分解为$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，并非只有$x=1$，故②错误；
③ 求根公式$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的适用前提是：方程为一元二次方程（即$a≠0$）且判别式$b^2-4ac≥0$，题干未满足这两个条件，不能直接用该公式表示方程的解，故③错误；
④ 方程$x(x+2)(x-3)=0$的解为$x_1=0$，$x_2=-2$，$x_3=3$，共3个实数根，故④正确。
综上，仅④正确。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；求根公式适用条件；解方程
【点评】
本题属于基础概念辨析题，考查一元二次方程相关核心基础知识点，易错点是容易忽略一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件，以及解方程时漏根，学习时要注意概念的完整性，解题时仔细审题。
【难度系数】
0.7
我们需要逐个判断四个说法的正误，结合相关概念逐一排查：
1. 判断①：一元二次方程要求二次项系数不为0，题干未说明a≠0，因此①错误；
2. 判断②：对方程$x^2=x$移项因式分解后可得到两个解，并非只有$x=1$，因此②错误；
3. 判断③：求根公式仅适用于$a≠0$且判别式$b^2-4ac≥0$的一元二次方程，题干未给出这两个前提，因此③错误；
4. 判断④：方程$x(x+2)(x-3)=0$因式分解后可得到三个不同的实数根，因此④正确。
最终只有④正确，对应选项C。
【解析】
逐个分析各说法：
① 当$a=0$时，$ax^2+bx+c=0$未知数最高次数低于2，不是一元二次方程，故①错误；
② 方程$x^2=x$移项得$x^2-x=0$，因式分解为$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，并非只有$x=1$，故②错误；
③ 求根公式$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的适用前提是：方程为一元二次方程（即$a≠0$）且判别式$b^2-4ac≥0$，题干未满足这两个条件，不能直接用该公式表示方程的解，故③错误；
④ 方程$x(x+2)(x-3)=0$的解为$x_1=0$，$x_2=-2$，$x_3=3$，共3个实数根，故④正确。
综上，仅④正确。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；求根公式适用条件；解方程
【点评】
本题属于基础概念辨析题，考查一元二次方程相关核心基础知识点，易错点是容易忽略一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件，以及解方程时漏根，学习时要注意概念的完整性，解题时仔细审题。
【难度系数】
0.7
14.已知m是关于x的一元二次方程$x^2 + 2x + n^2 - 6n + 10 = 0$的一个实数根，那么mn的值为………………【 】
A.10
B.$-3$
C.$-6$
D.$2$
A.10
B.$-3$
C.$-6$
D.$2$
答案
B。
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程，得到含有m、n的等式；接下来观察等式结构，用配方法将等式左边拆分成两个完全平方式的和；最后根据非负数的性质（平方数非负，两个非负数相加为0则各自为0）分别求出m、n的值，代入计算mn即可得到答案。
【解析】
∵ m是一元二次方程$x^2 + 2x + n^2 - 6n + 10 = 0$的实数根
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 + 2m + n^2 - 6n + 10 = 0$
对等式左边配方，将10拆分为1+9：
$ (m^2 + 2m + 1) + (n^2 - 6n + 9) = 0 $
即 $ (m+1)^2 + (n-3)^2 = 0 $
∵ 平方数具有非负性，$(m+1)^2 ≥ 0$，$(n-3)^2 ≥ 0$
∴ 只有当$(m+1)^2 = 0$且$(n-3)^2 = 0$时等式成立
解得：$m = -1$，$n = 3$
∴ $mn = (-1) × 3 = -3$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；配方法；非负数的性质
【点评】
本题是典型的代数综合题，解题核心是通过代入根转化等式，再用配方法构造平方和为0的形式，需要熟练掌握配方法的操作技巧和非负数的性质，对代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程，得到含有m、n的等式；接下来观察等式结构，用配方法将等式左边拆分成两个完全平方式的和；最后根据非负数的性质（平方数非负，两个非负数相加为0则各自为0）分别求出m、n的值，代入计算mn即可得到答案。
【解析】
∵ m是一元二次方程$x^2 + 2x + n^2 - 6n + 10 = 0$的实数根
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 + 2m + n^2 - 6n + 10 = 0$
对等式左边配方，将10拆分为1+9：
$ (m^2 + 2m + 1) + (n^2 - 6n + 9) = 0 $
即 $ (m+1)^2 + (n-3)^2 = 0 $
∵ 平方数具有非负性，$(m+1)^2 ≥ 0$，$(n-3)^2 ≥ 0$
∴ 只有当$(m+1)^2 = 0$且$(n-3)^2 = 0$时等式成立
解得：$m = -1$，$n = 3$
∴ $mn = (-1) × 3 = -3$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；配方法；非负数的性质
【点评】
本题是典型的代数综合题，解题核心是通过代入根转化等式，再用配方法构造平方和为0的形式，需要熟练掌握配方法的操作技巧和非负数的性质，对代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
15.若方程$kx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ……【 】
A.$k ＞ -1$
B.$k ＞ -1$且$k≠0$
C.$k ＜ 1$
D.$k ＜ 1$且$k≠0$
A.$k ＞ -1$
B.$k ＞ -1$且$k≠0$
C.$k ＜ 1$
D.$k ＜ 1$且$k≠0$
答案
D。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确方程有两个不相等实数根的前提：首先该方程必须是一元二次方程，否则一次方程最多只有1个实数根，因此首先要保证二次项系数不为0；其次一元二次方程有两个不相等实数根的判定条件是判别式Δ＞0，我们代入对应系数计算判别式，解不等式得到k的范围，再结合二次项系数不为0的限制，就能得到最终取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，即二次项系数 $k≠0$，
且一元二次方程根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=k$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× k × 1 = 4 - 4k ＞ 0$，
解不等式$4 - 4k ＞ 0$：
移项得 $-4k ＞ -4$，
两边同时除以-4，不等号方向改变，得 $k ＜ 1$，
综合两个条件，可得k的取值范围是 $k ＜ 1$且$k≠0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；不等式求解
【点评】
本题是根的判别式的常考题型，易错点是容易遗漏“二次项系数不为0”这个隐含条件，要注意只有一元二次方程才能用判别式判断根的个数情况。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确方程有两个不相等实数根的前提：首先该方程必须是一元二次方程，否则一次方程最多只有1个实数根，因此首先要保证二次项系数不为0；其次一元二次方程有两个不相等实数根的判定条件是判别式Δ＞0，我们代入对应系数计算判别式，解不等式得到k的范围，再结合二次项系数不为0的限制，就能得到最终取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，即二次项系数 $k≠0$，
且一元二次方程根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=k$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× k × 1 = 4 - 4k ＞ 0$，
解不等式$4 - 4k ＞ 0$：
移项得 $-4k ＞ -4$，
两边同时除以-4，不等号方向改变，得 $k ＜ 1$，
综合两个条件，可得k的取值范围是 $k ＜ 1$且$k≠0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；不等式求解
【点评】
本题是根的判别式的常考题型，易错点是容易遗漏“二次项系数不为0”这个隐含条件，要注意只有一元二次方程才能用判别式判断根的个数情况。
【难度系数】
0.7
