登录
16.若$x^2 + mx -8 =0$的两个实数根都是整数，则m可取的值有…………【 】
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
答案
B。
解析
【分析】
本题属于一元二次方程整数根问题，解题核心是利用韦达定理建立根与系数的关联。首先回忆韦达定理内容：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根$x_1、x_2$满足$x_1· x_2=\frac{c}{a}$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。本题中方程二次项系数为1，因此两根乘积为-8，我们只需枚举所有乘积为-8的整数根对，再根据根的和计算对应的m值，排除重复值即可得到结果。
【解析】
设方程$x^2 + mx -8 =0$的两个整数根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理可得：
$x_1 · x_2 = -8$，$x_1 + x_2 = -m$，即$m=-(x_1+x_2)$。
枚举所有乘积为$-8$的整数对（不计顺序避免重复）：
1. 当$x_1=1$，$x_2=-8$时，$x_1+x_2=-7$，得$m=7$；
2. 当$x_1=-1$，$x_2=8$时，$x_1+x_2=7$，得$m=-7$；
3. 当$x_1=2$，$x_2=-4$时，$x_1+x_2=-2$，得$m=2$；
4. 当$x_1=-2$，$x_2=4$时，$x_1+x_2=2$，得$m=-2$。
其余整数对均为上述组合的顺序交换，得到的m值与上述结果重复，因此m可取的值共有4个。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 整数根问题求解
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型题型，重点考查韦达定理的灵活运用，解题时要注意有序枚举所有符合条件的整数组合，避免遗漏或重复计算。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程整数根问题，解题核心是利用韦达定理建立根与系数的关联。首先回忆韦达定理内容：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根$x_1、x_2$满足$x_1· x_2=\frac{c}{a}$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。本题中方程二次项系数为1，因此两根乘积为-8，我们只需枚举所有乘积为-8的整数根对，再根据根的和计算对应的m值，排除重复值即可得到结果。
【解析】
设方程$x^2 + mx -8 =0$的两个整数根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理可得：
$x_1 · x_2 = -8$，$x_1 + x_2 = -m$，即$m=-(x_1+x_2)$。
枚举所有乘积为$-8$的整数对（不计顺序避免重复）：
1. 当$x_1=1$，$x_2=-8$时，$x_1+x_2=-7$，得$m=7$；
2. 当$x_1=-1$，$x_2=8$时，$x_1+x_2=7$，得$m=-7$；
3. 当$x_1=2$，$x_2=-4$时，$x_1+x_2=-2$，得$m=2$；
4. 当$x_1=-2$，$x_2=4$时，$x_1+x_2=2$，得$m=-2$。
其余整数对均为上述组合的顺序交换，得到的m值与上述结果重复，因此m可取的值共有4个。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 整数根问题求解
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型题型，重点考查韦达定理的灵活运用，解题时要注意有序枚举所有符合条件的整数组合，避免遗漏或重复计算。
【难度系数】
0.7
17.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx + 1 = 0$和$x^2 - 2x - 1 = 0$有一个相同的实数根，那么$m$的值是………………【 】
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$或2
C.$2\sqrt{2}$或$-2\sqrt{2}$
D.$-2\sqrt{2}$或$-2$
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$或2
C.$2\sqrt{2}$或$-2\sqrt{2}$
D.$-2\sqrt{2}$或$-2$
答案
C。
解析
【分析】
要解决两个一元二次方程有公共实根求参数的问题，解题思路如下：第一步先求解不含参数的方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的所有实数根；第二步将求出的每个根分别代入含参数$m$的方程$x^2 - mx + 1 = 0$，利用方程根的定义即可求出对应的$m$值，最后结合选项得到结果。
【解析】
首先解方程$x^2 - 2x - 1 = 0$：
用配方法变形得：$(x-1)^2 = 2$，开方得$x = 1 \pm \sqrt{2}$。
分两种情况代入第一个方程求解$m$：
1. 当公共根为$x = 1+\sqrt{2}$时，代入$x^2 - mx + 1 = 0$：
$(1+\sqrt{2})^2 - m(1+\sqrt{2}) + 1 = 0$
计算得：$3 + 2\sqrt{2} - m(1+\sqrt{2}) + 1 = 0$
整理得：$m(1+\sqrt{2}) = 4 + 2\sqrt{2}$
分母有理化计算：$m = \frac{4+2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{(4+2\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)} = 2\sqrt{2}$
2. 当公共根为$x = 1-\sqrt{2}$时，代入$x^2 - mx + 1 = 0$：
$(1-\sqrt{2})^2 - m(1-\sqrt{2}) + 1 = 0$
计算得：$3 - 2\sqrt{2} - m(1-\sqrt{2}) + 1 = 0$
整理得：$m(1-\sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2}$
分母有理化计算：$m = \frac{4-2\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{(4-2\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = -2\sqrt{2}$
综上，$m$的值为$2\sqrt{2}$或$-2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程的解法；二次根式的化简
【点评】
本题是一元二次方程公共根问题的基础题型，解题关键是先求解无参数方程的根，再代入含参方程计算参数，计算过程中注意二次根式分母有理化的运算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决两个一元二次方程有公共实根求参数的问题，解题思路如下：第一步先求解不含参数的方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的所有实数根；第二步将求出的每个根分别代入含参数$m$的方程$x^2 - mx + 1 = 0$，利用方程根的定义即可求出对应的$m$值，最后结合选项得到结果。
【解析】
首先解方程$x^2 - 2x - 1 = 0$：
用配方法变形得：$(x-1)^2 = 2$，开方得$x = 1 \pm \sqrt{2}$。
分两种情况代入第一个方程求解$m$：
1. 当公共根为$x = 1+\sqrt{2}$时，代入$x^2 - mx + 1 = 0$：
$(1+\sqrt{2})^2 - m(1+\sqrt{2}) + 1 = 0$
计算得：$3 + 2\sqrt{2} - m(1+\sqrt{2}) + 1 = 0$
整理得：$m(1+\sqrt{2}) = 4 + 2\sqrt{2}$
分母有理化计算：$m = \frac{4+2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{(4+2\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)} = 2\sqrt{2}$
2. 当公共根为$x = 1-\sqrt{2}$时，代入$x^2 - mx + 1 = 0$：
$(1-\sqrt{2})^2 - m(1-\sqrt{2}) + 1 = 0$
计算得：$3 - 2\sqrt{2} - m(1-\sqrt{2}) + 1 = 0$
整理得：$m(1-\sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2}$
分母有理化计算：$m = \frac{4-2\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{(4-2\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = -2\sqrt{2}$
综上，$m$的值为$2\sqrt{2}$或$-2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程的解法；二次根式的化简
【点评】
本题是一元二次方程公共根问题的基础题型，解题关键是先求解无参数方程的根，再代入含参方程计算参数，计算过程中注意二次根式分母有理化的运算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
18.一个三角形的两边长分别是6和8,第三边长是一元二次方程$x^2 -16x +60=0$的一个实数根,则这个三角形的面积是 【 】
A.24或$6\sqrt{7}$
B.48或$16\sqrt{5}$
C.24或$8\sqrt{5}$
D.48或$12\sqrt{7}$
A.24或$6\sqrt{7}$
B.48或$16\sqrt{5}$
C.24或$8\sqrt{5}$
D.48或$12\sqrt{7}$
答案
C。
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先先求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能取值；其次利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）验证得到的根是否都能构成三角形；最后分两种符合条件的情况，分别计算对应三角形的面积，匹配选项即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -16x +60=0$
因式分解得：$(x-6)(x-10)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=10$，即第三边的可能长度为6或10。
第二步：验证三边关系
① 当第三边长为6时：$6+6＞8$，$8-6＜6$，满足三角形三边关系，可构成三角形；
② 当第三边长为10时：$6+8＞10$，$10-6＜8$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
第三步：分情况计算面积
① 三边长为6、8、10时：
$\because 6^2+8^2=36+64=100=10^2$，$\therefore$ 该三角形为直角三角形，直角边为6和8，
面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
② 三边长为6、6、8时：
该三角形为等腰三角形，过顶点作底边8的高，由等腰三角形三线合一可知高平分底边，半底长为$8÷2=4$，
由勾股定理得高$h=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
面积$S=\frac{1}{2}×8×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
综上，三角形的面积为24或$8\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系；三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，考查多个知识点的融合应用，易错点是容易遗漏其中一种边长情况，或计算等腰三角形面积时求高出错，解题时要注意分类讨论思想的运用，结合几何性质准确计算。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：首先先求解给定的一元二次方程，得到第三边的可能取值；其次利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）验证得到的根是否都能构成三角形；最后分两种符合条件的情况，分别计算对应三角形的面积，匹配选项即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -16x +60=0$
因式分解得：$(x-6)(x-10)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=10$，即第三边的可能长度为6或10。
第二步：验证三边关系
① 当第三边长为6时：$6+6＞8$，$8-6＜6$，满足三角形三边关系，可构成三角形；
② 当第三边长为10时：$6+8＞10$，$10-6＜8$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
第三步：分情况计算面积
① 三边长为6、8、10时：
$\because 6^2+8^2=36+64=100=10^2$，$\therefore$ 该三角形为直角三角形，直角边为6和8，
面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
② 三边长为6、6、8时：
该三角形为等腰三角形，过顶点作底边8的高，由等腰三角形三线合一可知高平分底边，半底长为$8÷2=4$，
由勾股定理得高$h=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
面积$S=\frac{1}{2}×8×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
综上，三角形的面积为24或$8\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系；三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，考查多个知识点的融合应用，易错点是容易遗漏其中一种边长情况，或计算等腰三角形面积时求高出错，解题时要注意分类讨论思想的运用，结合几何性质准确计算。
【难度系数】
0.6
19. $3(2x - 1)^2 = 8$
20. $(x + \sqrt{3})^2 = 4\sqrt{3}x$
21. $x^2 - 2x - 15 = 0$
22. $(y - 3)^2 - 2(y - 3) - 35 = 0$
23. $t^2 - 2\sqrt{5}t + 4 = 0$
24. $ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$（用配方法）
(上)—142
20. $(x + \sqrt{3})^2 = 4\sqrt{3}x$
21. $x^2 - 2x - 15 = 0$
22. $(y - 3)^2 - 2(y - 3) - 35 = 0$
23. $t^2 - 2\sqrt{5}t + 4 = 0$
24. $ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$（用配方法）
(上)—142
答案
19. $x_1 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3}, x_2 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3}$.
20. $x_1 = x_2 = \sqrt{3}$.
21. $x_1 = -3, x_2 = 5$.
22. $y_1 = 10, y_2 = -2$.
23. $t_1 = \sqrt{5} + 1, t_2 = \sqrt{5} - 1$.
24. 答案略。
20. $x_1 = x_2 = \sqrt{3}$.
21. $x_1 = -3, x_2 = 5$.
22. $y_1 = 10, y_2 = -2$.
23. $t_1 = \sqrt{5} + 1, t_2 = \sqrt{5} - 1$.
24. 答案略。
解析
【分析】
本组题目均为一元二次方程求解类习题，需根据方程结构选择最优解法：
19题左边是含未知数的完全平方乘常数，右边是常数，优先用直接开平方法，先将完全平方项系数化为1，再开平方求解；
20题先展开整理后可化为完全平方式，用配方法或因式分解法求解；
21题二次三项式可直接用十字相乘法因式分解，快速得解；
22题可将(y-3)看作整体，用换元法简化后因式分解求解；
23题可直接用公式法或配方法求解；
24题考查配方法的通用步骤，需先移项、二次项系数化1，再配方变形推导求根公式。
【解析】
19. 解：$3(2x - 1)^2 = 8$
两边同时除以3，得：$(2x-1)^2=\frac{8}{3}$
开平方，得：$2x-1=\pm\sqrt{\frac{8}{3}}=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$
移项得：$2x=1\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$
系数化为1，得：$x=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{6}}{3}$
20. 解：$(x + \sqrt{3})^2 = 4\sqrt{3}x$
展开左边得：$x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 4\sqrt{3}x$
移项合并同类项得：$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$
变形为完全平方式：$(x-\sqrt{3})^2=0$
21. 解：$x^2 - 2x - 15 = 0$
十字相乘法因式分解得：$(x-5)(x+3)=0$
令每个因式为0，得：$x-5=0$或$x+3=0$
22. 解：$(y - 3)^2 - 2(y - 3) - 35 = 0$
设$u=y-3$，原方程化为：$u^2 - 2u -35=0$
因式分解得：$(u-7)(u+5)=0$
解得$u=7$或$u=-5$
代回$u=y-3$得：$y-3=7$或$y-3=-5$
23. 解：$t^2 - 2\sqrt{5}t + 4 = 0$
这里$a=1,b=-2\sqrt{5},c=4$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{5})^2 - 4×1×4=20-16=4＞0$
由求根公式得：$t=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{4}}{2×1}=\sqrt{5}\pm1$
24. 解：$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$
移项得：$ax^2+bx=-c$
两边同时除以a得：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
配方，两边同时加$(\frac{b}{2a})^2$得：
$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$
左边化为完全平方式，右边通分得：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
当$b^2-4ac≥0$时，开平方得：
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
解得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
当$b^2-4ac＜0$时，方程无实数根。
【答案】
19. $x_1 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3}, x_2 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3}$
20. $x_1 = x_2 = \sqrt{3}$
21. $x_1 = -3, x_2 = 5$
22. $y_1 = 10, y_2 = -2$
23. $t_1 = \sqrt{5} + 1, t_2 = \sqrt{5} - 1$
24. 答案略
【知识点】
一元二次方程求解，配方法，因式分解法
【点评】
本组题目全面覆盖了一元二次方程的常用求解方法，解题时需结合方程的结构特征灵活选择最优解法，既能提升解题速度，也能减少计算出错概率，同时要注意重根、无实根等特殊情况的规范表达。
【难度系数】
0.7
本组题目均为一元二次方程求解类习题，需根据方程结构选择最优解法：
19题左边是含未知数的完全平方乘常数，右边是常数，优先用直接开平方法，先将完全平方项系数化为1，再开平方求解；
20题先展开整理后可化为完全平方式，用配方法或因式分解法求解；
21题二次三项式可直接用十字相乘法因式分解，快速得解；
22题可将(y-3)看作整体，用换元法简化后因式分解求解；
23题可直接用公式法或配方法求解；
24题考查配方法的通用步骤，需先移项、二次项系数化1，再配方变形推导求根公式。
【解析】
19. 解：$3(2x - 1)^2 = 8$
两边同时除以3，得：$(2x-1)^2=\frac{8}{3}$
开平方，得：$2x-1=\pm\sqrt{\frac{8}{3}}=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$
移项得：$2x=1\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$
系数化为1，得：$x=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{6}}{3}$
20. 解：$(x + \sqrt{3})^2 = 4\sqrt{3}x$
展开左边得：$x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 4\sqrt{3}x$
移项合并同类项得：$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$
变形为完全平方式：$(x-\sqrt{3})^2=0$
21. 解：$x^2 - 2x - 15 = 0$
十字相乘法因式分解得：$(x-5)(x+3)=0$
令每个因式为0，得：$x-5=0$或$x+3=0$
22. 解：$(y - 3)^2 - 2(y - 3) - 35 = 0$
设$u=y-3$，原方程化为：$u^2 - 2u -35=0$
因式分解得：$(u-7)(u+5)=0$
解得$u=7$或$u=-5$
代回$u=y-3$得：$y-3=7$或$y-3=-5$
23. 解：$t^2 - 2\sqrt{5}t + 4 = 0$
这里$a=1,b=-2\sqrt{5},c=4$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{5})^2 - 4×1×4=20-16=4＞0$
由求根公式得：$t=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{4}}{2×1}=\sqrt{5}\pm1$
24. 解：$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$
移项得：$ax^2+bx=-c$
两边同时除以a得：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
配方，两边同时加$(\frac{b}{2a})^2$得：
$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$
左边化为完全平方式，右边通分得：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
当$b^2-4ac≥0$时，开平方得：
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
解得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
当$b^2-4ac＜0$时，方程无实数根。
【答案】
19. $x_1 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3}, x_2 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3}$
20. $x_1 = x_2 = \sqrt{3}$
21. $x_1 = -3, x_2 = 5$
22. $y_1 = 10, y_2 = -2$
23. $t_1 = \sqrt{5} + 1, t_2 = \sqrt{5} - 1$
24. 答案略
【知识点】
一元二次方程求解，配方法，因式分解法
【点评】
本组题目全面覆盖了一元二次方程的常用求解方法，解题时需结合方程的结构特征灵活选择最优解法，既能提升解题速度，也能减少计算出错概率，同时要注意重根、无实根等特殊情况的规范表达。
【难度系数】
0.7
