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21. 我们知道，$\sqrt{3^2}=3$，$\sqrt{7^2}=7$，反过来就是$3=\sqrt{3^2}$，$7=\sqrt{7^2}$，式子仍然成立.
利用以上结论可以进行二次根式化简：
$9\sqrt{\frac{5}{27}}=\sqrt{9^2}×\sqrt{\frac{5}{27}}$
$=\sqrt{\frac{9^2×5}{27}}$
$=\sqrt{15}$.
$4\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{4^2}×\sqrt{\frac{3}{8}}$
$=\sqrt{\frac{4^2×3}{8}}$
$=\sqrt{6}$.
（1）仿照上面的方法化简：
（2）仿照上面的方法，比较下列各组数的大小：
$10\sqrt{3}$ 和 $4\sqrt{19}$； $-7\sqrt{6}$ 和 $-6\sqrt{7}$.
（3）先判断$x$的取值范围，再仿照上面的方法化简 $x\sqrt{-\frac{x+1}{x^2}}$.
利用以上结论可以进行二次根式化简：
$9\sqrt{\frac{5}{27}}=\sqrt{9^2}×\sqrt{\frac{5}{27}}$
$=\sqrt{\frac{9^2×5}{27}}$
$=\sqrt{15}$.
$4\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{4^2}×\sqrt{\frac{3}{8}}$
$=\sqrt{\frac{4^2×3}{8}}$
$=\sqrt{6}$.
（1）仿照上面的方法化简：
（2）仿照上面的方法，比较下列各组数的大小：
$10\sqrt{3}$ 和 $4\sqrt{19}$； $-7\sqrt{6}$ 和 $-6\sqrt{7}$.
（3）先判断$x$的取值范围，再仿照上面的方法化简 $x\sqrt{-\frac{x+1}{x^2}}$.
答案
解：
（1）对$2\sqrt{\frac{1}{2}}$化简：
$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2^2} × \sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2^2 × 1}{2}}=\sqrt{2}$
对$6\sqrt{\frac{7}{12}}$化简：
$6\sqrt{\frac{7}{12}}=\sqrt{6^2} × \sqrt{\frac{7}{12}}=\sqrt{\frac{6^2 × 7}{12}}=\sqrt{21}$
（2）比较$10\sqrt{3}$和$4\sqrt{19}$的大小：
$10\sqrt{3}=\sqrt{10^2 × 3}=\sqrt{300}$，
$4\sqrt{19}=\sqrt{4^2 × 19}=\sqrt{304}$，
因为$\sqrt{300}＜\sqrt{304}$，所以$10\sqrt{3}＜4\sqrt{19}$；
比较$-7\sqrt{6}$和$-6\sqrt{7}$的大小：
$-7\sqrt{6}=-\sqrt{7^2 × 6}=-\sqrt{294}$，
$-6\sqrt{7}=-\sqrt{6^2 × 7}=-\sqrt{252}$，
因为$\sqrt{294}＞\sqrt{252}$，所以$-\sqrt{294}＜-\sqrt{252}$，即$-7\sqrt{6}＜-6\sqrt{7}$。
（3）首先确定$x$的取值范围：
由二次根式有意义的条件可知$-\frac{x+1}{x^2} ≥ 0$，且$x^2＞0$，因此$-(x+1)≥0$，解得$x ≤ -1$。
对式子化简：
$x\sqrt{-\frac{x+1}{x^2}}=x · \frac{\sqrt{-(x+1)}}{\sqrt{x^2}}=x · \frac{\sqrt{-x-1}}{|x|}$
因为$x ≤ -1$，所以$|x|=-x$，代入得：
原式$=x · \frac{\sqrt{-x-1}}{-x}=-\sqrt{-x-1}$
（1）对$2\sqrt{\frac{1}{2}}$化简：
$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2^2} × \sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2^2 × 1}{2}}=\sqrt{2}$
对$6\sqrt{\frac{7}{12}}$化简：
$6\sqrt{\frac{7}{12}}=\sqrt{6^2} × \sqrt{\frac{7}{12}}=\sqrt{\frac{6^2 × 7}{12}}=\sqrt{21}$
（2）比较$10\sqrt{3}$和$4\sqrt{19}$的大小：
$10\sqrt{3}=\sqrt{10^2 × 3}=\sqrt{300}$，
$4\sqrt{19}=\sqrt{4^2 × 19}=\sqrt{304}$，
因为$\sqrt{300}＜\sqrt{304}$，所以$10\sqrt{3}＜4\sqrt{19}$；
比较$-7\sqrt{6}$和$-6\sqrt{7}$的大小：
$-7\sqrt{6}=-\sqrt{7^2 × 6}=-\sqrt{294}$，
$-6\sqrt{7}=-\sqrt{6^2 × 7}=-\sqrt{252}$，
因为$\sqrt{294}＞\sqrt{252}$，所以$-\sqrt{294}＜-\sqrt{252}$，即$-7\sqrt{6}＜-6\sqrt{7}$。
（3）首先确定$x$的取值范围：
由二次根式有意义的条件可知$-\frac{x+1}{x^2} ≥ 0$，且$x^2＞0$，因此$-(x+1)≥0$，解得$x ≤ -1$。
对式子化简：
$x\sqrt{-\frac{x+1}{x^2}}=x · \frac{\sqrt{-(x+1)}}{\sqrt{x^2}}=x · \frac{\sqrt{-x-1}}{|x|}$
因为$x ≤ -1$，所以$|x|=-x$，代入得：
原式$=x · \frac{\sqrt{-x-1}}{-x}=-\sqrt{-x-1}$
解析
【分析】
（1）化简带系数的二次根式，可利用$a=\sqrt{a^2}(a≥0)$的性质，将根号外的正系数平方后移入根号内，计算根号内的乘积再化简即可。
（2）比较两个带二次根式的数的大小：若两数均为正数，可将两数的系数都移入根号内，通过比较被开方数的大小判断原数大小；若两数均为负数，先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”得出结论。
（3）化简含字母的二次根式，首先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为0）求出x的取值范围，再根据x的正负性，将根号外的x变形后移入根号内，注意负数移入根号时要保留负号在根号外。
【解析】
(1) 化简$2\sqrt{\frac{1}{2}}$：
$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2^2×\frac{1}{2}}=\sqrt{4×\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$；
化简$6\sqrt{\frac{7}{12}}$：
$6\sqrt{\frac{7}{12}}=\sqrt{6^2×\frac{7}{12}}=\sqrt{36×\frac{7}{12}}=\sqrt{21}$。
(2) 比较$10\sqrt{3}$和$4\sqrt{19}$：
先将两数移入根号内：$10\sqrt{3}=\sqrt{10^2×3}=\sqrt{300}$，$4\sqrt{19}=\sqrt{4^2×19}=\sqrt{304}$，
因为$300＜304$，所以$\sqrt{300}＜\sqrt{304}$，即$10\sqrt{3}＜4\sqrt{19}$；
比较$-7\sqrt{6}$和$-6\sqrt{7}$：
先比较绝对值：$7\sqrt{6}=\sqrt{7^2×6}=\sqrt{294}$，$6\sqrt{7}=\sqrt{6^2×7}=\sqrt{252}$，
因为$294＞252$，所以$\sqrt{294}＞\sqrt{252}$，即$7\sqrt{6}＞6\sqrt{7}$，
根据负数比较大小的规则，得$-7\sqrt{6}＜-6\sqrt{7}$。
(3) 先求x的取值范围：
要使二次根式有意义，需满足$\begin{cases}-\frac{x+1}{x^2}≥0 \\ x^2≠0\end{cases}$，
因为$x^2＞0$恒成立，所以$-(x+1)≥0$，解得$x≤-1$。
再化简原式：
因为$x≤-1$，所以$x＜0$，则$x=-\sqrt{x^2}$，
所以$x\sqrt{-\frac{x+1}{x^2}}=-\sqrt{x^2}×\sqrt{-\frac{x+1}{x^2}}=-\sqrt{x^2×(-\frac{x+1}{x^2})}=-\sqrt{-x-1}$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$； $\sqrt{21}$
(2) $10\sqrt{3}＜4\sqrt{19}$； $-7\sqrt{6}＜-6\sqrt{7}$
(3) $x≤-1$，化简结果为$-\sqrt{-x-1}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；实数大小比较
【点评】
本题核心考查二次根式性质的灵活运用，解题时需注意：将根号外的数移入根号内时，要先判断该数的正负性，负数移入根号需保留负号；比较含二次根式的负数大小时，不要忽略负数比较大小的规则；化简含字母的二次根式时，必须先根据根式有意义的条件确定字母的取值范围，避免符号出错。
【难度系数】
0.6
（1）化简带系数的二次根式，可利用$a=\sqrt{a^2}(a≥0)$的性质，将根号外的正系数平方后移入根号内，计算根号内的乘积再化简即可。
（2）比较两个带二次根式的数的大小：若两数均为正数，可将两数的系数都移入根号内，通过比较被开方数的大小判断原数大小；若两数均为负数，先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”得出结论。
（3）化简含字母的二次根式，首先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为0）求出x的取值范围，再根据x的正负性，将根号外的x变形后移入根号内，注意负数移入根号时要保留负号在根号外。
【解析】
(1) 化简$2\sqrt{\frac{1}{2}}$：
$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2^2×\frac{1}{2}}=\sqrt{4×\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$；
化简$6\sqrt{\frac{7}{12}}$：
$6\sqrt{\frac{7}{12}}=\sqrt{6^2×\frac{7}{12}}=\sqrt{36×\frac{7}{12}}=\sqrt{21}$。
(2) 比较$10\sqrt{3}$和$4\sqrt{19}$：
先将两数移入根号内：$10\sqrt{3}=\sqrt{10^2×3}=\sqrt{300}$，$4\sqrt{19}=\sqrt{4^2×19}=\sqrt{304}$，
因为$300＜304$，所以$\sqrt{300}＜\sqrt{304}$，即$10\sqrt{3}＜4\sqrt{19}$；
比较$-7\sqrt{6}$和$-6\sqrt{7}$：
先比较绝对值：$7\sqrt{6}=\sqrt{7^2×6}=\sqrt{294}$，$6\sqrt{7}=\sqrt{6^2×7}=\sqrt{252}$，
因为$294＞252$，所以$\sqrt{294}＞\sqrt{252}$，即$7\sqrt{6}＞6\sqrt{7}$，
根据负数比较大小的规则，得$-7\sqrt{6}＜-6\sqrt{7}$。
(3) 先求x的取值范围：
要使二次根式有意义，需满足$\begin{cases}-\frac{x+1}{x^2}≥0 \\ x^2≠0\end{cases}$，
因为$x^2＞0$恒成立，所以$-(x+1)≥0$，解得$x≤-1$。
再化简原式：
因为$x≤-1$，所以$x＜0$，则$x=-\sqrt{x^2}$，
所以$x\sqrt{-\frac{x+1}{x^2}}=-\sqrt{x^2}×\sqrt{-\frac{x+1}{x^2}}=-\sqrt{x^2×(-\frac{x+1}{x^2})}=-\sqrt{-x-1}$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$； $\sqrt{21}$
(2) $10\sqrt{3}＜4\sqrt{19}$； $-7\sqrt{6}＜-6\sqrt{7}$
(3) $x≤-1$，化简结果为$-\sqrt{-x-1}$
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；实数大小比较
【点评】
本题核心考查二次根式性质的灵活运用，解题时需注意：将根号外的数移入根号内时，要先判断该数的正负性，负数移入根号需保留负号；比较含二次根式的负数大小时，不要忽略负数比较大小的规则；化简含字母的二次根式时，必须先根据根式有意义的条件确定字母的取值范围，避免符号出错。
【难度系数】
0.6
