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1. 如图,若P,Q和甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,为使△PQR∽△ABC,则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
)。A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
1. C
解析
【分析】
我们可以先设每个小方格的边长为1，首先用勾股定理计算△ABC的各边长，判断出△ABC为等腰三角形；再计算已知边PQ的长度，根据相似三角形三边对应成比例的性质求出相似比，得到△PQR另外两边的长度要求，同时因为相似三角形形状相同，△PQR也应为等腰三角形，即R点在PQ的垂直平分线上，最后分别验证甲、乙、丙、丁四个点到P、Q的距离，找到符合条件的点即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算△ABC的各边长：
AB的长度为2，由勾股定理得$AC=BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，因此△ABC是等腰三角形，三边比为$AB:AC:BC=2:\sqrt{10}:\sqrt{10}$。
2. 计算PQ的长度为4，因为$△ PQR ∽ △ ABC$，所以相似比$k=\frac{PQ}{AB}=\frac{4}{2}=2$，可得$△ PQR$的另外两边$PR=QR=2×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$，且R在PQ的垂直平分线上。
3. 分别计算各点到P、Q的距离：
甲：$PR=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}≠2\sqrt{10}$，不符合要求；
乙：$PR=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}≠2\sqrt{10}$，不符合要求；
丙：$PR=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，$QR=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，满足三边成比例，符合要求；
丁：$PR=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}≠2\sqrt{10}$，不符合要求。
因此点R应为丙。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题结合格点背景考查相似三角形的判定，解题时先通过相似比确定未知边的长度要求，再结合等腰三角形的性质缩小候选范围，最后用勾股定理验证即可，解题时要注意对应边比例关系的正确应用。
【难度系数】
0.7
我们可以先设每个小方格的边长为1，首先用勾股定理计算△ABC的各边长，判断出△ABC为等腰三角形；再计算已知边PQ的长度，根据相似三角形三边对应成比例的性质求出相似比，得到△PQR另外两边的长度要求，同时因为相似三角形形状相同，△PQR也应为等腰三角形，即R点在PQ的垂直平分线上，最后分别验证甲、乙、丙、丁四个点到P、Q的距离，找到符合条件的点即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算△ABC的各边长：
AB的长度为2，由勾股定理得$AC=BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，因此△ABC是等腰三角形，三边比为$AB:AC:BC=2:\sqrt{10}:\sqrt{10}$。
2. 计算PQ的长度为4，因为$△ PQR ∽ △ ABC$，所以相似比$k=\frac{PQ}{AB}=\frac{4}{2}=2$，可得$△ PQR$的另外两边$PR=QR=2×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$，且R在PQ的垂直平分线上。
3. 分别计算各点到P、Q的距离：
甲：$PR=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}≠2\sqrt{10}$，不符合要求；
乙：$PR=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}≠2\sqrt{10}$，不符合要求；
丙：$PR=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，$QR=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，满足三边成比例，符合要求；
丁：$PR=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}≠2\sqrt{10}$，不符合要求。
因此点R应为丙。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题结合格点背景考查相似三角形的判定，解题时先通过相似比确定未知边的长度要求，再结合等腰三角形的性质缩小候选范围，最后用勾股定理验证即可，解题时要注意对应边比例关系的正确应用。
【难度系数】
0.7
2.一个钢筋三脚架(其形状是三角形)的三边长分别为20 cm,50 cm,60 cm,现要再做一个与其相似的钢筋三脚架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另两条边,则不同的截法有(
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
B
)。A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
2. B
解析
【分析】
解题核心是利用相似三角形对应边成比例的性质。首先先判断可作为完整边的钢筋：若以50cm为完整边，另外两边需从30cm上截取，两段和最大为30cm，结合原三角形周长可推出新三角形周长必然超过80cm，矛盾，因此只能以30cm为完整边，从50cm钢筋上截两段。再分情况讨论30cm边对应原三角形三条边的三种情况，计算另外两边长度，验证两段和是否≤50cm，符合要求的即为有效截法。
【解析】
已知原三角形三边长为20cm、50cm、60cm，设新三角形与原三角形的相似比为$k$。
1. 确定完整边：若选50cm为新三角形的一边，另外两边从30cm钢筋截取，两段和≤30cm，则新三角形周长≤$50+30=80cm$。原三角形周长为$20+50+60=130cm$，若50cm为新三角形的边，相似比$k$最小为$\frac{50}{60}\approx0.83$，此时新三角形周长为$130×0.83\approx108cm＞80cm$，不符合要求，因此只能选30cm为新三角形的完整边，另外两段从50cm钢筋截取，两段和需≤50cm。
2. 分情况讨论：
情况1：30cm对应原三角形20cm的边，相似比$k=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$，另外两边长为$50×\frac{3}{2}=75cm$、$60×\frac{3}{2}=90cm$，$75+90=165cm＞50cm$，不符合要求，舍去。
情况2：30cm对应原三角形50cm的边，相似比$k=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$，另外两边长为$20×\frac{3}{5}=12cm$、$60×\frac{3}{5}=36cm$，$12+36=48cm≤50cm$，符合要求。
情况3：30cm对应原三角形60cm的边，相似比$k=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$，另外两边长为$20×\frac{1}{2}=10cm$、$50×\frac{1}{2}=25cm$，$10+25=35cm≤50cm$，符合要求。
综上共有2种符合要求的截法。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似三角形对应边成比例的应用，解题时需要先排除不可能的情况，再分情况讨论，同时要注意验证截取的两段长度之和是否符合钢筋长度限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65
解题核心是利用相似三角形对应边成比例的性质。首先先判断可作为完整边的钢筋：若以50cm为完整边，另外两边需从30cm上截取，两段和最大为30cm，结合原三角形周长可推出新三角形周长必然超过80cm，矛盾，因此只能以30cm为完整边，从50cm钢筋上截两段。再分情况讨论30cm边对应原三角形三条边的三种情况，计算另外两边长度，验证两段和是否≤50cm，符合要求的即为有效截法。
【解析】
已知原三角形三边长为20cm、50cm、60cm，设新三角形与原三角形的相似比为$k$。
1. 确定完整边：若选50cm为新三角形的一边，另外两边从30cm钢筋截取，两段和≤30cm，则新三角形周长≤$50+30=80cm$。原三角形周长为$20+50+60=130cm$，若50cm为新三角形的边，相似比$k$最小为$\frac{50}{60}\approx0.83$，此时新三角形周长为$130×0.83\approx108cm＞80cm$，不符合要求，因此只能选30cm为新三角形的完整边，另外两段从50cm钢筋截取，两段和需≤50cm。
2. 分情况讨论：
情况1：30cm对应原三角形20cm的边，相似比$k=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$，另外两边长为$50×\frac{3}{2}=75cm$、$60×\frac{3}{2}=90cm$，$75+90=165cm＞50cm$，不符合要求，舍去。
情况2：30cm对应原三角形50cm的边，相似比$k=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$，另外两边长为$20×\frac{3}{5}=12cm$、$60×\frac{3}{5}=36cm$，$12+36=48cm≤50cm$，符合要求。
情况3：30cm对应原三角形60cm的边，相似比$k=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$，另外两边长为$20×\frac{1}{2}=10cm$、$50×\frac{1}{2}=25cm$，$10+25=35cm≤50cm$，符合要求。
综上共有2种符合要求的截法。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似三角形对应边成比例的应用，解题时需要先排除不可能的情况，再分情况讨论，同时要注意验证截取的两段长度之和是否符合钢筋长度限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.65
3. 已知△ABC三边长的比为2:4:5，△A'B'C'∽△ABC，若△A'B'C'的最大边长为15 cm，则△A'B'C'的周长为
33 cm
。答案
3. 33 cm
解析
【分析】
要解决这道题，首先运用相似三角形的核心性质：相似三角形的对应边成比例。已知原△ABC的三边比为2:4:5，和它相似的△A'B'C'的三边比也与它相等。题中给出△A'B'C'的最大边长为15cm，对应比例里的5份，我们可以先求出1份对应的长度，再分别算出另外两条边的长度，最后把三边相加就能得到周长。
【解析】
解：
∵△A'B'C'∽△ABC，且△ABC三边长的比为2:4:5
∴△A'B'C'的三边长的比也为2:4:5（相似三角形对应边成比例）
设△A'B'C'的三边长分别为2x cm，4x cm，5x cm，其中最长边为5x cm
由题意得：$5x = 15$
解得：$x = 3$
∴另外两边长分别为：$2x = 2×3 = 6\ \mathrm{cm}$，$4x = 4×3 = 12\ \mathrm{cm}$
∴△A'B'C'的周长 $= 6 + 12 + 15 = 33\ \mathrm{cm}$
【答案】
33 cm
【知识点】
相似三角形的性质；比例运算；三角形周长计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是利用相似关系确定所求三角形的三边比例，再结合已知条件求出各边长度即可，解题思路清晰，属于常考基础题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先运用相似三角形的核心性质：相似三角形的对应边成比例。已知原△ABC的三边比为2:4:5，和它相似的△A'B'C'的三边比也与它相等。题中给出△A'B'C'的最大边长为15cm，对应比例里的5份，我们可以先求出1份对应的长度，再分别算出另外两条边的长度，最后把三边相加就能得到周长。
【解析】
解：
∵△A'B'C'∽△ABC，且△ABC三边长的比为2:4:5
∴△A'B'C'的三边长的比也为2:4:5（相似三角形对应边成比例）
设△A'B'C'的三边长分别为2x cm，4x cm，5x cm，其中最长边为5x cm
由题意得：$5x = 15$
解得：$x = 3$
∴另外两边长分别为：$2x = 2×3 = 6\ \mathrm{cm}$，$4x = 4×3 = 12\ \mathrm{cm}$
∴△A'B'C'的周长 $= 6 + 12 + 15 = 33\ \mathrm{cm}$
【答案】
33 cm
【知识点】
相似三角形的性质；比例运算；三角形周长计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是利用相似关系确定所求三角形的三边比例，再结合已知条件求出各边长度即可，解题思路清晰，属于常考基础题。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在△ABC中,D是AB边上一点,AC=4,AD=2,BD=6,CD=3.5,BC=7,则△ADC与△ACB相似吗?为什么?
答案
相似,因为三边对应成比例
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，题目给出了两个三角形全部边的长度，优先选择“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。第一步先计算△ACB中AB的总长度，第二步分别找出△ADC和△ACB的三组对应边并计算比值，若三组比值相等即可证明两个三角形相似。
【解析】
解：△ADC与△ACB相似，理由如下：
先计算AB的长度：
$AB=AD+BD=2+6=8$
分别计算两组三角形对应边的比值：
$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
$\frac{CD}{BC}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$
可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}$
根据三边对应成比例的两个三角形相似，因此$△ ADC ∽ △ ACB$。
【答案】
相似,因为三边对应成比例
【知识点】
相似三角形的判定、比例计算、线段和计算
【点评】
本题是三角形相似判定的基础题，核心是结合已知的边长条件选择合适的相似判定定理，解题时注意不要找错对应边，准确计算比值即可完成判断。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否相似，题目给出了两个三角形全部边的长度，优先选择“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。第一步先计算△ACB中AB的总长度，第二步分别找出△ADC和△ACB的三组对应边并计算比值，若三组比值相等即可证明两个三角形相似。
【解析】
解：△ADC与△ACB相似，理由如下：
先计算AB的长度：
$AB=AD+BD=2+6=8$
分别计算两组三角形对应边的比值：
$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
$\frac{CD}{BC}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$
可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}$
根据三边对应成比例的两个三角形相似，因此$△ ADC ∽ △ ACB$。
【答案】
相似,因为三边对应成比例
【知识点】
相似三角形的判定、比例计算、线段和计算
【点评】
本题是三角形相似判定的基础题，核心是结合已知的边长条件选择合适的相似判定定理，解题时注意不要找错对应边，准确计算比值即可完成判断。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点F,点E在BD上,且$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$。
(1)∠BAE与∠FAD相等吗?为什么?
(2)判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由。
(1)∠BAE与∠FAD相等吗?为什么?
(2)判断△ABE与△ACD是否相似,并说明理由。
答案
(1) ∠BAE与∠FAD相等。提示：△ABC ∽ △AED, ∠BAC = ∠EAD, ∠BAC - ∠EAC = ∠EAD - ∠EAC,即∠BAE = ∠FAD
(2) △ABE与△ACD相似。理由如下:
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$。
∵ ∠BAE = ∠CAD,
∴ △ABE∽△ACD
(2) △ABE与△ACD相似。理由如下:
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$。
∵ ∠BAE = ∠CAD,
∴ △ABE∽△ACD
解析
【分析】
(1) 要判断∠BAE与∠FAD是否相等，首先观察已知给出三组边对应成比例，可先依据“三边对应成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED，得到对应角∠BAC=∠EAD，再将两个角同时减去公共角∠EAC，即可推出两角相等。
(2) 要判断△ABE与△ACD是否相似，先将已知的边的比例式变形，得到两组对应边成比例，再结合(1)中得到的夹角相等，依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可判定相似。
【解析】
(1) ∠BAE与∠FAD相等，理由如下：
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，
∴ △ABC ∽ △AED（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ ∠BAC = ∠EAD（相似三角形对应角相等），
∴ ∠BAC - ∠EAC = ∠EAD - ∠EAC，即∠BAE = ∠FAD。
(2) △ABE与△ACD相似，理由如下：
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∴ 由比例的基本性质变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
又
∵ 由(1)得∠BAE = ∠CAD，
∴ △ABE∽△ACD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) 相等，理由：由$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$得△ABC ∽ △AED，故∠BAC = ∠EAD，∠BAC - ∠EAC = ∠EAD - ∠EAC，即∠BAE = ∠FAD；
(2) 相似，理由：由$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，结合∠BAE = ∠CAD，可证△ABE∽△ACD。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，核心考查相似三角形判定定理与性质的应用，解题关键是先通过三边成比例得到角的等量关系，再转换比例式结合夹角相等证明相似，熟练掌握相似的判定规则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断∠BAE与∠FAD是否相等，首先观察已知给出三组边对应成比例，可先依据“三边对应成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED，得到对应角∠BAC=∠EAD，再将两个角同时减去公共角∠EAC，即可推出两角相等。
(2) 要判断△ABE与△ACD是否相似，先将已知的边的比例式变形，得到两组对应边成比例，再结合(1)中得到的夹角相等，依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可判定相似。
【解析】
(1) ∠BAE与∠FAD相等，理由如下：
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，
∴ △ABC ∽ △AED（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ ∠BAC = ∠EAD（相似三角形对应角相等），
∴ ∠BAC - ∠EAC = ∠EAD - ∠EAC，即∠BAE = ∠FAD。
(2) △ABE与△ACD相似，理由如下：
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∴ 由比例的基本性质变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
又
∵ 由(1)得∠BAE = ∠CAD，
∴ △ABE∽△ACD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) 相等，理由：由$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$得△ABC ∽ △AED，故∠BAC = ∠EAD，∠BAC - ∠EAC = ∠EAD - ∠EAC，即∠BAE = ∠FAD；
(2) 相似，理由：由$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，结合∠BAE = ∠CAD，可证△ABE∽△ACD。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，核心考查相似三角形判定定理与性质的应用，解题关键是先通过三边成比例得到角的等量关系，再转换比例式结合夹角相等证明相似，熟练掌握相似的判定规则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
