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一般地，如图3-1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
一般地，如图3-1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AC}$
，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点
，AC与AB的比叫作黄金比
。答案
1. $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AC}$
2. 黄金分割点
3. 黄金比
2. 黄金分割点
3. 黄金比
解析
【分析】
本题考查黄金分割的基础定义，解题时只需回忆黄金分割的相关概念即可：首先明确黄金分割的核心是线段间的比例关系，即较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，再对应记忆该情况下点的名称和比值的名称，依次填入对应空缺即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若较长线段AC与整条线段AB的比等于较短线段BC与较长线段AC的比，即$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AC}$，则称线段AB被点C黄金分割，此时点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
【答案】
$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AC}$；黄金分割点；黄金比
【知识点】
黄金分割的定义；黄金分割点；黄金比
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查黄金分割的相关基础概念，牢记对应定义即可快速解答，是黄金分割相关应用类题目的知识基础。
【难度系数】
0.9
本题考查黄金分割的基础定义，解题时只需回忆黄金分割的相关概念即可：首先明确黄金分割的核心是线段间的比例关系，即较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，再对应记忆该情况下点的名称和比值的名称，依次填入对应空缺即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若较长线段AC与整条线段AB的比等于较短线段BC与较长线段AC的比，即$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AC}$，则称线段AB被点C黄金分割，此时点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
【答案】
$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{BC}{AC}$；黄金分割点；黄金比
【知识点】
黄金分割的定义；黄金分割点；黄金比
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查黄金分割的相关基础概念，牢记对应定义即可快速解答，是黄金分割相关应用类题目的知识基础。
【难度系数】
0.9
1. 如图,点C将线段AB黄金分割,则AC=
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
AB≈0.618
AB。答案
1. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 0.618
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的相关概念：如果一个点把一条线段分成两部分，使得较长线段的长度与整条线段长度的比值等于较短线段与较长线段的比值，这个比值就是黄金比。观察题图可知AC是较长的线段，因此AC与AB的比值就是黄金比，分别写出黄金比的准确值和近似值即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC时，$\frac{AC}{AB}$为黄金比。
黄金比的准确值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，计算近似值：$\sqrt{5}\approx2.236$，因此$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx\frac{2.236-1}{2}=0.618$。
因此$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB\approx0.618AB$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；0.618
【知识点】
黄金分割的定义；黄金比
【点评】
本题是基础概念考察题，主要考查对黄金分割定义的理解和黄金比的记忆，解题的关键是明确黄金分割中较长线段与总线段的比值为固定的黄金比，熟记黄金比的准确值和近似值即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆黄金分割的相关概念：如果一个点把一条线段分成两部分，使得较长线段的长度与整条线段长度的比值等于较短线段与较长线段的比值，这个比值就是黄金比。观察题图可知AC是较长的线段，因此AC与AB的比值就是黄金比，分别写出黄金比的准确值和近似值即可。
【解析】
根据黄金分割的定义：点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC时，$\frac{AC}{AB}$为黄金比。
黄金比的准确值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，计算近似值：$\sqrt{5}\approx2.236$，因此$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx\frac{2.236-1}{2}=0.618$。
因此$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB\approx0.618AB$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；0.618
【知识点】
黄金分割的定义；黄金比
【点评】
本题是基础概念考察题，主要考查对黄金分割定义的理解和黄金比的记忆，解题的关键是明确黄金分割中较长线段与总线段的比值为固定的黄金比，熟记黄金比的准确值和近似值即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. C为线段AB的黄金分割点，AB的长为16 cm，则AC的长是
$(8\sqrt{5}-8)$或$(24-8\sqrt{5})$
cm。（结果保留根号）答案
2. $(8\sqrt{5}-8)$或$(24-8\sqrt{5})$
解析
【分析】
解题首先要明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。由于题目未明确说明AC是较长线段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论计算AC的长度。
【解析】
已知点C是线段AB的黄金分割点，AB=16cm，分两种情况计算：
① 当AC为较长线段时，$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
代入AB=16得：$AC=16×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=8\sqrt{5}-8$（cm）；
② 当AC为较短线段时，此时BC为较长线段，$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
则$AC=AB-BC=16 - 16×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=16-(8\sqrt{5}-8)=24-8\sqrt{5}$（cm）。
【答案】
$(8\sqrt{5}-8)$或$(24-8\sqrt{5})$
【知识点】
黄金分割的定义；线段长度计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查黄金分割的相关计算，易错点是忽略黄金分割点存在两种位置情况，仅计算其中一种长度导致漏解，解题时需注意对未知长度的线段分长短两类讨论。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。由于题目未明确说明AC是较长线段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论计算AC的长度。
【解析】
已知点C是线段AB的黄金分割点，AB=16cm，分两种情况计算：
① 当AC为较长线段时，$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
代入AB=16得：$AC=16×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=8\sqrt{5}-8$（cm）；
② 当AC为较短线段时，此时BC为较长线段，$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
则$AC=AB-BC=16 - 16×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=16-(8\sqrt{5}-8)=24-8\sqrt{5}$（cm）。
【答案】
$(8\sqrt{5}-8)$或$(24-8\sqrt{5})$
【知识点】
黄金分割的定义；线段长度计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查黄金分割的相关计算，易错点是忽略黄金分割点存在两种位置情况，仅计算其中一种长度导致漏解，解题时需注意对未知长度的线段分长短两类讨论。
【难度系数】
0.6
3. 小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为（
A.12.36 cm
B.13.6 cm
C.32.36 cm
D.7.64 cm
A
）。A.12.36 cm
B.13.6 cm
C.32.36 cm
D.7.64 cm
答案
3. A
解析
【分析】
解题首先需要明确黄金比的定义：黄金比的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，指的是较短部分与较长部分的比值。本题中宽与长之比为黄金比，说明宽是较短边、长是较长边，因此宽的长度=长的长度×黄金比，代入已知的长的数值计算即可，也可先根据宽小于长排除大于20cm的错误选项C，缩小选择范围。
【解析】
已知黄金比的比值约为$0.618$，由题意得：$\frac{宽}{长}=0.618$。
将长=20cm代入公式，可得：
宽$=20×0.618=12.36\mathrm{cm}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割；比例计算
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是牢记黄金比的比值，同时要注意明确比例的前后项，避免将宽和长的比例关系搞反导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解题首先需要明确黄金比的定义：黄金比的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，指的是较短部分与较长部分的比值。本题中宽与长之比为黄金比，说明宽是较短边、长是较长边，因此宽的长度=长的长度×黄金比，代入已知的长的数值计算即可，也可先根据宽小于长排除大于20cm的错误选项C，缩小选择范围。
【解析】
已知黄金比的比值约为$0.618$，由题意得：$\frac{宽}{长}=0.618$。
将长=20cm代入公式，可得：
宽$=20×0.618=12.36\mathrm{cm}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割；比例计算
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是牢记黄金比的比值，同时要注意明确比例的前后项，避免将宽和长的比例关系搞反导致计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 大自然巧夺天工，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”。如图，P为AB的黄金分割点（AP ＜ BP），如果BP的长为6 cm，那么AP的长是（
A.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ cm
B.$(\sqrt{5} + 1)$ cm
C.3 cm
D.$(3\sqrt{5} - 3)$ cm
（第4题）
D
）。A.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ cm
B.$(\sqrt{5} + 1)$ cm
C.3 cm
D.$(3\sqrt{5} - 3)$ cm
（第4题）答案
4. D
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与整条线段的比等于较短部分与较长部分的比，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中已知P是AB的黄金分割点且$AP＜BP$，因此BP是较长线段，我们可以先根据黄金分割的比例关系求出AB的总长度，再用总长度减去BP的长度即可得到AP的长度，计算过程中注意二次根式的分母有理化。
【解析】
解：
∵P为AB的黄金分割点，且$AP＜BP$，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知$BP=6\ \mathrm{cm}$，代入得：
$AB=\frac{BP}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{6×2}{\sqrt{5}-1}=\frac{12(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{12(\sqrt{5}+1)}{4}=3(\sqrt{5}+1)=(3\sqrt{5}+3)\ \mathrm{cm}$，
∴$AP=AB-BP=(3\sqrt{5}+3)-6=(3\sqrt{5}-3)\ \mathrm{cm}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，二次根式运算
【点评】
本题考查黄金分割的应用，解题核心是准确判断较长线段，牢记黄金分割的比值，同时掌握二次根式的化简方法，整体考查的是基础概念的应用。
【难度系数】
0.7
首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与整条线段的比等于较短部分与较长部分的比，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中已知P是AB的黄金分割点且$AP＜BP$，因此BP是较长线段，我们可以先根据黄金分割的比例关系求出AB的总长度，再用总长度减去BP的长度即可得到AP的长度，计算过程中注意二次根式的分母有理化。
【解析】
解：
∵P为AB的黄金分割点，且$AP＜BP$，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知$BP=6\ \mathrm{cm}$，代入得：
$AB=\frac{BP}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{6×2}{\sqrt{5}-1}=\frac{12(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{12(\sqrt{5}+1)}{4}=3(\sqrt{5}+1)=(3\sqrt{5}+3)\ \mathrm{cm}$，
∴$AP=AB-BP=(3\sqrt{5}+3)-6=(3\sqrt{5}-3)\ \mathrm{cm}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，二次根式运算
【点评】
本题考查黄金分割的应用，解题核心是准确判断较长线段，牢记黄金分割的比值，同时掌握二次根式的化简方法，整体考查的是基础概念的应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图,已知线段AB,点P是它的黄金分割点,AP＞BP。设以AP为边的正方形的面积是$S_1$,以PB和AB的长为一组邻边的矩形的面积是$S_2$,则$S_1$与$S_2$的关系是(
A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 = S_2$
C.$S_1 ＜ S_2$
D.以上都不对
B
)。A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 = S_2$
C.$S_1 ＜ S_2$
D.以上都不对
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：已知点P是线段AB的黄金分割点且AP＞BP，可得AP与AB、BP的比例关系；再分别写出S₁、S₂的面积表达式，将二者和黄金分割的比例结论对比，即可判断大小关系。
【解析】
∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP
∴根据黄金分割的性质得：$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，交叉相乘可得$AP^2 = AB · BP$
由题意得：$S_1 = AP^2$，$S_2 = AB · BP$
∴$S_1 = S_2$
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的性质、正方形面积计算、矩形面积计算
【点评】
本题核心考查黄金分割性质的应用，解题关键是熟记黄金分割对应的比例关系，结合基础图形的面积公式即可快速得到结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆黄金分割的定义：已知点P是线段AB的黄金分割点且AP＞BP，可得AP与AB、BP的比例关系；再分别写出S₁、S₂的面积表达式，将二者和黄金分割的比例结论对比，即可判断大小关系。
【解析】
∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP
∴根据黄金分割的性质得：$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，交叉相乘可得$AP^2 = AB · BP$
由题意得：$S_1 = AP^2$，$S_2 = AB · BP$
∴$S_1 = S_2$
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的性质、正方形面积计算、矩形面积计算
【点评】
本题核心考查黄金分割性质的应用，解题关键是熟记黄金分割对应的比例关系，结合基础图形的面积公式即可快速得到结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6.“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用。秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为0.2 m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离是
$\frac{\sqrt{5}-1}{10}$
m。（结果保留根号）答案
6. $\frac{\sqrt{5}-1}{10}$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的数量关系：眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，已知头顶到下巴的距离，求眼睛到下巴的距离，只需用头顶到下巴的距离乘以该比值，再化简计算即可得到结果。
【解析】
解：设该兵马俑眼睛到下巴的距离为$x$ m，根据题意列关系式：
$\frac{x}{0.2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
对式子变形计算：
$\begin{aligned}x&=0.2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\&=0.1×(\sqrt{5}-1)\\&=\frac{\sqrt{5}-1}{10}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{10}$
【知识点】
黄金分割，代数式求值，二次根式化简
【点评】
本题以秦始皇陵兵马俑为背景考查黄金分割的实际应用，将数学知识与历史文化、生活场景结合，既考查基础计算能力，也能让学生体会到数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的数量关系：眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，已知头顶到下巴的距离，求眼睛到下巴的距离，只需用头顶到下巴的距离乘以该比值，再化简计算即可得到结果。
【解析】
解：设该兵马俑眼睛到下巴的距离为$x$ m，根据题意列关系式：
$\frac{x}{0.2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
对式子变形计算：
$\begin{aligned}x&=0.2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\&=0.1×(\sqrt{5}-1)\\&=\frac{\sqrt{5}-1}{10}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{10}$
【知识点】
黄金分割，代数式求值，二次根式化简
【点评】
本题以秦始皇陵兵马俑为背景考查黄金分割的实际应用，将数学知识与历史文化、生活场景结合，既考查基础计算能力，也能让学生体会到数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.8
