登录
1. 宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形。黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感。我们可以用如下的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作$GH ⊥ AD$，交AD的延长线于点H。则下列矩形是黄金矩形的是（
A.矩形ABFE
B.矩形EFCD
C.矩形EFGH
D.矩形DCGH
D
）。A.矩形ABFE
B.矩形EFCD
C.矩形EFGH
D.矩形DCGH
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个是黄金矩形，首先明确黄金矩形的判定标准：宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。我们可以通过设正方形边长简化计算，先利用正方形性质、勾股定理求出题中各线段的长度，再分别计算四个选项中矩形的宽长比，和黄金比对比即可得到答案。为了避免分数运算，设正方形ABCD的边长为2，再逐步推导相关线段长度。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2，则$CD=BC=2$。
∵F是BC的中点，
∴$FC=\frac{1}{2}BC=1$。
在$Rt△ FCD$中，由勾股定理得：
$FD=\sqrt{FC^2+CD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
∵以F为圆心，FD为半径画弧交BC延长线于G，
∴$FG=FD=\sqrt{5}$，
∴$CG=FG-FC=\sqrt{5}-1$。
接下来逐一分析选项：
A. 矩形ABFE：宽$AE=1$，长$AB=2$，宽长比为$\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，不是黄金矩形；
B. 矩形EFCD：宽$FC=1$，长$CD=2$，宽长比为$\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，不是黄金矩形；
C. 矩形EFGH：宽$EF=2$，长$FG=\sqrt{5}$，宽长比为$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，不是黄金矩形；
D. 矩形DCGH：宽$CG=\sqrt{5}-1$，长$CD=2$，宽长比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形定义。
【答案】
D
【知识点】
黄金矩形的定义；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题考查黄金矩形的判定，解题的关键是合理设出正方形的边长，简化计算过程，再通过计算各矩形的宽长比和黄金比对比得到结果，做题时要注意黄金比是较短边与较长边的比值，不要将分子分母颠倒。
【难度系数】
0.7
要判断哪个是黄金矩形，首先明确黄金矩形的判定标准：宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。我们可以通过设正方形边长简化计算，先利用正方形性质、勾股定理求出题中各线段的长度，再分别计算四个选项中矩形的宽长比，和黄金比对比即可得到答案。为了避免分数运算，设正方形ABCD的边长为2，再逐步推导相关线段长度。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2，则$CD=BC=2$。
∵F是BC的中点，
∴$FC=\frac{1}{2}BC=1$。
在$Rt△ FCD$中，由勾股定理得：
$FD=\sqrt{FC^2+CD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
∵以F为圆心，FD为半径画弧交BC延长线于G，
∴$FG=FD=\sqrt{5}$，
∴$CG=FG-FC=\sqrt{5}-1$。
接下来逐一分析选项：
A. 矩形ABFE：宽$AE=1$，长$AB=2$，宽长比为$\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，不是黄金矩形；
B. 矩形EFCD：宽$FC=1$，长$CD=2$，宽长比为$\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，不是黄金矩形；
C. 矩形EFGH：宽$EF=2$，长$FG=\sqrt{5}$，宽长比为$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，不是黄金矩形；
D. 矩形DCGH：宽$CG=\sqrt{5}-1$，长$CD=2$，宽长比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形定义。
【答案】
D
【知识点】
黄金矩形的定义；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题考查黄金矩形的判定，解题的关键是合理设出正方形的边长，简化计算过程，再通过计算各矩形的宽长比和黄金比对比得到结果，做题时要注意黄金比是较短边与较长边的比值，不要将分子分母颠倒。
【难度系数】
0.7
2.黄金分割是汉字结构最基本的规律。借助如图所示的田字格书写的汉字“远”端庄稳重、舒展美观。已知一条分割线的端点A,B分别在田字格的边MN,PQ上,且AB//NP,“远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。若NP=2 cm,则AC的长为
(3-√5)
cm(结果保留根号)。答案
2. $(3 - \sqrt{5})$
解析
【分析】
首先观察田字格结构，MNQP为正方形，AB平行于NP且MN、PQ均垂直于NP，可判定四边形ABPN为矩形，因此AB与NP长度相等，先求出AB的长度；再结合题目给出的黄金分割比例关系求出BC的长度，最后通过AC=AB-BC即可计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵AB//NP，MN⊥NP，PQ⊥NP，
∴四边形ABPN是矩形，
∴AB=NP=2 cm，
∵$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$BC=AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=2 × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$（cm），
∴$AC=AB-BC=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$（cm）。
【答案】
$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割，矩形的性质
【点评】
本题结合汉字书写的结构特点考查黄金分割的实际应用，解题的关键是先求出AB的长度，再结合黄金分割的比例关系计算所求线段长度，体现了数学与日常生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
首先观察田字格结构，MNQP为正方形，AB平行于NP且MN、PQ均垂直于NP，可判定四边形ABPN为矩形，因此AB与NP长度相等，先求出AB的长度；再结合题目给出的黄金分割比例关系求出BC的长度，最后通过AC=AB-BC即可计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵AB//NP，MN⊥NP，PQ⊥NP，
∴四边形ABPN是矩形，
∴AB=NP=2 cm，
∵$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$BC=AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=2 × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$（cm），
∴$AC=AB-BC=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$（cm）。
【答案】
$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割，矩形的性质
【点评】
本题结合汉字书写的结构特点考查黄金分割的实际应用，解题的关键是先求出AB的长度，再结合黄金分割的比例关系计算所求线段长度，体现了数学与日常生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=36°$,$AB=AC$,$BD$是$∠ ABC$的平分线,设$CD=a$,$BC=b$,$AB=c$。
(1)$a,b,c$之间有什么关系? 写出你的结论,并说明理由。
(2)点$D$是$AC$的黄金分割点吗? 请说明理由。
(1)$a,b,c$之间有什么关系? 写出你的结论,并说明理由。
(2)点$D$是$AC$的黄金分割点吗? 请说明理由。
答案
(1) $b^2 = ac$。理由如下: $△ BCD ∽ △ ABC ⇒ \frac{b}{a} = \frac{c}{b}$
(2) 点D是AC的黄金分割点,理由略
(2) 点D是AC的黄金分割点,理由略
解析
【分析】
(1) 先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠A=36°算出△ABC的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠DBC的度数，通过两角相等证明△BCD与△ACB相似，最后利用相似三角形对应边成比例推导a、b、c的关系；
(2) 先回忆黄金分割点的判定条件：若线段上一点将线段分成两段，较长段的平方等于全长与较短段的乘积，则该点是这条线段的黄金分割点。结合(1)的结论，通过角度推导得到AD与BC相等，进行等量代换后即可判断点D是否为AC的黄金分割点。
【解析】
(1) 结论：$b^2=ac$，理由如下：
$\because AB=AC$，$∠ A=36°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线，
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，即$∠ DBC=∠ A=36°$，
又$\because ∠ C=∠ C$，
$\therefore △ BCD ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，
代入$BC=b$，$AC=AB=c$，$CD=a$，得$\frac{b}{c}=\frac{a}{b}$，
交叉相乘得$b^2=ac$。
(2) 点D是AC的黄金分割点，理由如下：
在$△ BCD$中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
$\therefore ∠ BDC=∠ C$，$\therefore BD=BC=b$，
又$\because ∠ ABD=36°=∠ A$，$\therefore AD=BD=b$，
结合(1)的结论$b^2=ac$，代入$AD=b$，$AC=c$，$CD=a$，得$AD^2=AC· CD$，符合黄金分割点的定义，因此点D是AC的黄金分割点。
【答案】
(1) $b^2=ac$，理由见解析；
(2) 点D是AC的黄金分割点，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、黄金分割的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，将等腰三角形、相似三角形和黄金分割的知识点结合考查，解题的关键是通过角度计算推导等角关系，进而证明三角形相似，再结合性质完成推导，能有效锻炼几何逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠A=36°算出△ABC的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠DBC的度数，通过两角相等证明△BCD与△ACB相似，最后利用相似三角形对应边成比例推导a、b、c的关系；
(2) 先回忆黄金分割点的判定条件：若线段上一点将线段分成两段，较长段的平方等于全长与较短段的乘积，则该点是这条线段的黄金分割点。结合(1)的结论，通过角度推导得到AD与BC相等，进行等量代换后即可判断点D是否为AC的黄金分割点。
【解析】
(1) 结论：$b^2=ac$，理由如下：
$\because AB=AC$，$∠ A=36°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
$\because BD$是$∠ ABC$的平分线，
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，即$∠ DBC=∠ A=36°$，
又$\because ∠ C=∠ C$，
$\therefore △ BCD ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，
代入$BC=b$，$AC=AB=c$，$CD=a$，得$\frac{b}{c}=\frac{a}{b}$，
交叉相乘得$b^2=ac$。
(2) 点D是AC的黄金分割点，理由如下：
在$△ BCD$中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
$\therefore ∠ BDC=∠ C$，$\therefore BD=BC=b$，
又$\because ∠ ABD=36°=∠ A$，$\therefore AD=BD=b$，
结合(1)的结论$b^2=ac$，代入$AD=b$，$AC=c$，$CD=a$，得$AD^2=AC· CD$，符合黄金分割点的定义，因此点D是AC的黄金分割点。
【答案】
(1) $b^2=ac$，理由见解析；
(2) 点D是AC的黄金分割点，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、黄金分割的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，将等腰三角形、相似三角形和黄金分割的知识点结合考查，解题的关键是通过角度计算推导等角关系，进而证明三角形相似，再结合性质完成推导，能有效锻炼几何逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
4. 已知线段$MN=1$，在$MN$上有一点$A$，如果$AN=\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$，求证：点$A$是$MN$的黄金分割点。
答案
$\because MN = 1, AN = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \therefore AM = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, 故 AN:AM = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}:\frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, 而 AM:MN = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}:1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \therefore AN:AM = AM:MN, \therefore 点A是MN的黄金分割点$
解析
【分析】
要证明点A是MN的黄金分割点，首先明确黄金分割点的判定条件：若线段上一点将线段分为两段，满足较长段与整条线段的比等于较短段与较长段的比（比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），则该点为线段的黄金分割点。解题时可先根据线段和差关系求出AM的长度，再分别计算两组对应线段的比值，验证比值相等即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because MN=1$，$AN=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore AM = MN - AN = 1 - \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
计算比值：
$AN:AM = \frac{3-\sqrt{5}}{2} : \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$，
分母有理化得：$\frac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{2\sqrt{5}-2}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又$AM:MN = \frac{\sqrt{5}-1}{2} : 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore AN:AM = AM:MN$，符合黄金分割的定义，
$\therefore$ 点A是MN的黄金分割点。
【答案】
点A是MN的黄金分割点
【知识点】
黄金分割的定义、线段和差计算、比例化简
【点评】
本题主要考查黄金分割概念的应用，解题关键是牢记黄金分割的判定规则，通过计算线段长度、验证比例关系即可解答，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
要证明点A是MN的黄金分割点，首先明确黄金分割点的判定条件：若线段上一点将线段分为两段，满足较长段与整条线段的比等于较短段与较长段的比（比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），则该点为线段的黄金分割点。解题时可先根据线段和差关系求出AM的长度，再分别计算两组对应线段的比值，验证比值相等即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because MN=1$，$AN=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore AM = MN - AN = 1 - \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
计算比值：
$AN:AM = \frac{3-\sqrt{5}}{2} : \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$，
分母有理化得：$\frac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{2\sqrt{5}-2}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又$AM:MN = \frac{\sqrt{5}-1}{2} : 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore AN:AM = AM:MN$，符合黄金分割的定义，
$\therefore$ 点A是MN的黄金分割点。
【答案】
点A是MN的黄金分割点
【知识点】
黄金分割的定义、线段和差计算、比例化简
【点评】
本题主要考查黄金分割概念的应用，解题关键是牢记黄金分割的判定规则，通过计算线段长度、验证比例关系即可解答，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
