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1. 若$△ ABC$和$△ A'B'C'$符合下列条件，则不能使$△ ABC$和$△ A'B'C'$相似的是(
A.$∠ A = ∠ A' = 45°, ∠ B = 26°, ∠ B' = 109°$
B.$AB = 1, AC = 1.5, BC = 2, A'B' = 4, A'C' = 2, B'C' = 3$
C.$∠ A = ∠ B', AB = 2, AC = 2.4, A'B' = 3.6, B'C' = 3$
D.$AB = 3, AC = 5, BC = 7, A'B' = \sqrt{3}, A'C' = \sqrt{5}, B'C' = \sqrt{7}$
D
)。A.$∠ A = ∠ A' = 45°, ∠ B = 26°, ∠ B' = 109°$
B.$AB = 1, AC = 1.5, BC = 2, A'B' = 4, A'C' = 2, B'C' = 3$
C.$∠ A = ∠ B', AB = 2, AC = 2.4, A'B' = 3.6, B'C' = 3$
D.$AB = 3, AC = 5, BC = 7, A'B' = \sqrt{3}, A'C' = \sqrt{5}, B'C' = \sqrt{7}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，解题时需结合相似三角形的三类判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），对四个选项逐一验证，找出无法判定两个三角形相似的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-26°=109°，因此∠C=∠B'=109°，又已知∠A=∠A'=45°，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故△ABC与△A'B'C'相似，不符合题意。
选项B：先将两个三角形的边按从小到大排序：△ABC的边长为1、1.5、2，△A'B'C'的边长为2、3、4。计算对应边的比值：$\frac{1}{2}=\frac{1.5}{3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，满足“三边对应成比例的两个三角形相似”，故△ABC与△A'B'C'相似，不符合题意。
选项C：已知∠A=∠B'，分别计算夹这两个角的两组边的比值：$\frac{AB}{B'C'}=\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{A'B'}=\frac{2.4}{3.6}=\frac{2}{3}$，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故△ABC与△A'B'C'相似，不符合题意。
选项D：计算对应边的比值：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7}$，三组比值互不相等，不满足相似三角形的判定条件，故无法判定△ABC与△A'B'C'相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.三角形内角和定理
3.比例的化简
【点评】
本题是相似三角形判定的常规基础题，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，注意验证三边成比例时要先将边统一按大小排序后再计算对应比值，验证两边成比例加角相等时，需确认角是两组对应边的夹角。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定，解题时需结合相似三角形的三类判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），对四个选项逐一验证，找出无法判定两个三角形相似的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-26°=109°，因此∠C=∠B'=109°，又已知∠A=∠A'=45°，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故△ABC与△A'B'C'相似，不符合题意。
选项B：先将两个三角形的边按从小到大排序：△ABC的边长为1、1.5、2，△A'B'C'的边长为2、3、4。计算对应边的比值：$\frac{1}{2}=\frac{1.5}{3}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，满足“三边对应成比例的两个三角形相似”，故△ABC与△A'B'C'相似，不符合题意。
选项C：已知∠A=∠B'，分别计算夹这两个角的两组边的比值：$\frac{AB}{B'C'}=\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{A'B'}=\frac{2.4}{3.6}=\frac{2}{3}$，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故△ABC与△A'B'C'相似，不符合题意。
选项D：计算对应边的比值：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7}$，三组比值互不相等，不满足相似三角形的判定条件，故无法判定△ABC与△A'B'C'相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.三角形内角和定理
3.比例的化简
【点评】
本题是相似三角形判定的常规基础题，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，注意验证三边成比例时要先将边统一按大小排序后再计算对应比值，验证两边成比例加角相等时，需确认角是两组对应边的夹角。
【难度系数】
0.7
2. 已知$△ ABC$的三边长分别是$\sqrt{2}$,$\sqrt{6}$,$2$, $△ A'B'C'$的两边长分别是1和$\sqrt{3}$,如果$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似,那么$△ A'B'C'$的第三边的长应该是(
A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
A
)。A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决相似三角形求未知边的问题，首先明确相似三角形的核心性质：对应边成比例。解题时第一步先将△ABC的三边按从小到大排序，方便匹配△A'B'C'的已知边，通过计算已知边的比值确定相似比，最后用相似比计算第三边，注意要保证三组边的比值完全相等，避免对应边匹配错误。
【解析】
1. 先对△ABC的三边长排序：
计算各边平方得$(√2)^2=2$，$2^2=4$，$(√6)^2=6$，因此△ABC三边从小到大依次为$√2$，$2$，$√6$，三边比值为$√2:2:√6=1:√2:√3$。
2. 设△A'B'C'的第三边长为$x$，已知两边为1和$√3$。
因为△ABC与△A'B'C'相似，所以三组对应边比值相等：
观察已知边可得：$\frac{√2}{1}=√2$，$\frac{√6}{√3}=√2$，两组边比值相等，说明这两组为对应边，相似比为$√2:1$。
3. 剩余的对应边为△ABC的边长2和△A'B'C'的第三边$x$，因此有：
$\frac{2}{x}=√2$
解得$x=\frac{2}{√2}=√2$。
验证：△A'B'C'三边为1、$√2$、$√3$，比值为$1:√2:√3$，与△ABC三边比值完全一致，符合相似条件。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题关键是先对已知边长排序，准确匹配对应边，避免因对应关系混淆出现计算错误，是相似三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要解决相似三角形求未知边的问题，首先明确相似三角形的核心性质：对应边成比例。解题时第一步先将△ABC的三边按从小到大排序，方便匹配△A'B'C'的已知边，通过计算已知边的比值确定相似比，最后用相似比计算第三边，注意要保证三组边的比值完全相等，避免对应边匹配错误。
【解析】
1. 先对△ABC的三边长排序：
计算各边平方得$(√2)^2=2$，$2^2=4$，$(√6)^2=6$，因此△ABC三边从小到大依次为$√2$，$2$，$√6$，三边比值为$√2:2:√6=1:√2:√3$。
2. 设△A'B'C'的第三边长为$x$，已知两边为1和$√3$。
因为△ABC与△A'B'C'相似，所以三组对应边比值相等：
观察已知边可得：$\frac{√2}{1}=√2$，$\frac{√6}{√3}=√2$，两组边比值相等，说明这两组为对应边，相似比为$√2:1$。
3. 剩余的对应边为△ABC的边长2和△A'B'C'的第三边$x$，因此有：
$\frac{2}{x}=√2$
解得$x=\frac{2}{√2}=√2$。
验证：△A'B'C'三边为1、$√2$、$√3$，比值为$1:√2:√3$，与△ABC三边比值完全一致，符合相似条件。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题关键是先对已知边长排序，准确匹配对应边，避免因对应关系混淆出现计算错误，是相似三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
3. 下列$4×4$的正方形方格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与图中$△ ABC$相似的三角形所在的网格图形是(
A
C
D
B
)。A
C
D
答案
3. B
解析
【分析】
要判断与△ABC相似的三角形，首先根据勾股定理计算出△ABC的三边长，得到三边的比值；再依次计算四个选项中每个三角形的三边长，求出它们的三边比值；最后根据“三边成比例的两个三角形相似”，比值和△ABC相同的三角形即为答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算△ABC的三边长：
$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边长度比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
再分别计算各选项三角形的三边比：
A选项：三边长为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$、$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边比为$2\sqrt{2}:\sqrt{10}:2\sqrt{5}=2:\sqrt{5}:\sqrt{10}$，与△ABC的三边比不符，不相似；
B选项：三边长为2、4、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边比为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相同，两三角形相似；
C选项：三边长为2、3、$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，三边比为$2:3:\sqrt{13}$，与△ABC的三边比不符，不相似；
D选项：三边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$、4，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{13}:4$，与△ABC的三边比不符，不相似。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题主要考查网格中三角形相似的判断，解题的核心是熟练运用勾股定理计算各边长度，再结合相似三角形的判定定理进行判断，解题时注意先化简三边的比值再比较，可简化计算。
【难度系数】
0.7
要判断与△ABC相似的三角形，首先根据勾股定理计算出△ABC的三边长，得到三边的比值；再依次计算四个选项中每个三角形的三边长，求出它们的三边比值；最后根据“三边成比例的两个三角形相似”，比值和△ABC相同的三角形即为答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算△ABC的三边长：
$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边长度比为$\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
再分别计算各选项三角形的三边比：
A选项：三边长为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$、$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边比为$2\sqrt{2}:\sqrt{10}:2\sqrt{5}=2:\sqrt{5}:\sqrt{10}$，与△ABC的三边比不符，不相似；
B选项：三边长为2、4、$\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，三边比为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相同，两三角形相似；
C选项：三边长为2、3、$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，三边比为$2:3:\sqrt{13}$，与△ABC的三边比不符，不相似；
D选项：三边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$、$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$、4，三边比为$\sqrt{5}:\sqrt{13}:4$，与△ABC的三边比不符，不相似。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题主要考查网格中三角形相似的判断，解题的核心是熟练运用勾股定理计算各边长度，再结合相似三角形的判定定理进行判断，解题时注意先化简三边的比值再比较，可简化计算。
【难度系数】
0.7
4. 如图，P是正方形ABCD边BC上一点，且$BP=3PC$，Q是DC的中点，则$AQ: QP =$
2:1
。答案
4. 2:1
解析
【分析】
要求线段AQ与QP的比值，我们可以结合正方形的性质来推导：正方形各边相等、各内角均为90°，已知BP和PC的比例、Q是DC中点，我们可以先设正方形边长为参数，将相关直角三角形的直角边长度用参数表示，既可以通过勾股定理分别计算AQ、QP的长度再求比值，也可以通过证明两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例直接得到结果，两种方法均符合九年级知识要求。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$4a(a＞0)$，则$AD=DC=BC=4a$，$∠ D=∠ C=90°$。
∵ $BP=3PC$，
∴ $PC=\frac{1}{4}BC=a$；
∵ Q是DC的中点，
∴ $DQ=QC=\frac{1}{2}DC=2a$。
在$△ ADQ$和$△ QCP$中：
$\frac{AD}{QC}=\frac{4a}{2a}=2$，$\frac{DQ}{PC}=\frac{2a}{a}=2$，且$∠ D=∠ C=90°$，
∴ $△ ADQ ∽ △ QCP$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AQ}{QP}=\frac{AD}{QC}=2$，即$AQ:QP=2:1$。
【答案】
$2:1$
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是结合已知线段比例合理设参数表示各边长度，解题方法灵活，既可以用勾股定理计算求解，也可以通过证明相似三角形快速得到结论，能够考查学生对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要求线段AQ与QP的比值，我们可以结合正方形的性质来推导：正方形各边相等、各内角均为90°，已知BP和PC的比例、Q是DC中点，我们可以先设正方形边长为参数，将相关直角三角形的直角边长度用参数表示，既可以通过勾股定理分别计算AQ、QP的长度再求比值，也可以通过证明两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例直接得到结果，两种方法均符合九年级知识要求。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$4a(a＞0)$，则$AD=DC=BC=4a$，$∠ D=∠ C=90°$。
∵ $BP=3PC$，
∴ $PC=\frac{1}{4}BC=a$；
∵ Q是DC的中点，
∴ $DQ=QC=\frac{1}{2}DC=2a$。
在$△ ADQ$和$△ QCP$中：
$\frac{AD}{QC}=\frac{4a}{2a}=2$，$\frac{DQ}{PC}=\frac{2a}{a}=2$，且$∠ D=∠ C=90°$，
∴ $△ ADQ ∽ △ QCP$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AQ}{QP}=\frac{AD}{QC}=2$，即$AQ:QP=2:1$。
【答案】
$2:1$
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是结合已知线段比例合理设参数表示各边长度，解题方法灵活，既可以用勾股定理计算求解，也可以通过证明相似三角形快速得到结论，能够考查学生对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$AB = 2\ \mathrm{cm}$，$BC = 3\ \mathrm{cm}$，$AC = 4\ \mathrm{cm}$，$A'B' = 18\ \mathrm{cm}$，$B'C' = 24\ \mathrm{cm}$，$A'C' = 12\ \mathrm{cm}$，$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似吗？请说明理由。
答案
相似。理由如下：
∵ $\frac{AB}{A'C'} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$，$\frac{BC}{A'B'} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$，$\frac{AC}{B'C'} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$，
∴ $△ABC$ 与 $△A'B'C'$相似
∵ $\frac{AB}{A'C'} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$，$\frac{BC}{A'B'} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$，$\frac{AC}{B'C'} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$，
∴ $△ABC$ 与 $△A'B'C'$相似
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，可使用三边成比例的相似判定定理：若两个三角形的三组对应边的比值相等，则这两个三角形相似。解题时首先将两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列：△ABC的三边从小到大依次为AB=2cm、BC=3cm、AC=4cm，△A'B'C'的三边从小到大依次为A'C'=12cm、A'B'=18cm、B'C'=24cm，再依次计算三组对应边的比值，若比值全部相等即可判定两三角形相似。
【解析】
相似，理由如下：
∵ $\frac{AB}{A'C'} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$，$\frac{BC}{A'B'} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$，$\frac{AC}{B'C'} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$，
∴ 两个三角形的三组对应边比值相等，根据三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理，可推出$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似。
【答案】
相似。理由如下：
∵ $\frac{AB}{A'C'} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$，$\frac{BC}{A'B'} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$，$\frac{AC}{B'C'} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$，
∴ $△ABC$ 与 $△A'B'C'$相似
【知识点】
相似三角形的判定；比例化简计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用类题目，解题核心是正确匹配两个三角形的对应边，再验证三组对应边的比值是否相等，做题时注意不要随意对应边导致比值计算错误。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否相似，可使用三边成比例的相似判定定理：若两个三角形的三组对应边的比值相等，则这两个三角形相似。解题时首先将两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列：△ABC的三边从小到大依次为AB=2cm、BC=3cm、AC=4cm，△A'B'C'的三边从小到大依次为A'C'=12cm、A'B'=18cm、B'C'=24cm，再依次计算三组对应边的比值，若比值全部相等即可判定两三角形相似。
【解析】
相似，理由如下：
∵ $\frac{AB}{A'C'} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$，$\frac{BC}{A'B'} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$，$\frac{AC}{B'C'} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$，
∴ 两个三角形的三组对应边比值相等，根据三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理，可推出$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似。
【答案】
相似。理由如下：
∵ $\frac{AB}{A'C'} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$，$\frac{BC}{A'B'} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$，$\frac{AC}{B'C'} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$，
∴ $△ABC$ 与 $△A'B'C'$相似
【知识点】
相似三角形的判定；比例化简计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用类题目，解题核心是正确匹配两个三角形的对应边，再验证三组对应边的比值是否相等，做题时注意不要随意对应边导致比值计算错误。
【难度系数】
0.8
