6. 如图,已知∠A=60°,BD,CE是△ABC的两条高,求证:△ADE∽△ABC。

$\because BD ⊥ AC,CE ⊥ AB,\therefore ∠ADB = ∠AEC = 90°$。又$\because ∠A = 60°,\therefore ∠ABD = ∠ACE = 30°,\therefore AB = 2AD$,$AC = 2AE,\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$。又$\because ∠BAC = ∠DAE$,$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$

【分析】
要证明△ADE∽△ABC，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需再证明夹∠A的两组对应边成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$即可。已知BD、CE是△ABC的高，可得到Rt△ADB和Rt△AEC，结合∠A=60°，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，可推出AB=2AD、AC=2AE，进而得到对应边的比例相等，最后结合公共角即可完成相似的证明。
【解析】
证明：
$\because BD ⊥ AC,CE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADB = ∠ AEC = 90°$，
又$\because ∠ A = 60°$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ ACE = 90° - 60° = 30°$，
$\therefore AB = 2AD$，$AC = 2AE$，
$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$，
又$\because ∠ BAC = ∠ DAE$（公共角），
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
$△ ADE ∽ △ ABC$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质，三角形高的定义
【点评】
本题属于基础证明题，主要考查特殊直角三角形的性质和相似三角形的判定，解题的关键是通过已知的高和特殊角得到对应边的比例关系，结合公共角完成证明，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

1. $△ ABC$ 和$△ DEF$ 是两个等腰直角三角形，$∠ A = ∠ D = 90°$，$△ DEF$ 的顶点 $E$ 是边 $BC$ 的中点。
(1)如图①，设 $DE$ 与 $AB$ 交于点 $M$，$EF$ 与 $AC$ 交于点 $N$，求证：$△ BEM ∽ △ CNE$。
(2)如图②，将$△ DEF$ 绕点 $E$ 旋转，使得 $DE$ 与 $BA$ 的延长线交于点 $M$，$EF$ 与 $AC$ 交于点 $N$，连接 $MN$，则除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？并证明你的结论。

1.(1) $\because △ABC$ 是等腰直角三角形,$\therefore ∠MBE = 45°,\therefore ∠BME + ∠MEB = 135°$。又$\because △DEF$ 是等腰直角三角形,$\therefore ∠DEF = 45°$。$\therefore ∠NEC + ∠MEB = 135°$。$\therefore ∠BME = ∠NEC$。而 $∠MBE = ∠ECN = 45°,\therefore △BEM∽△CNE$
1.(2) 能。$△ECN∽△MEN$。证明如下:与(1)同理$△BEM∽△CNE,\therefore \frac{BE}{CN}=\frac{EM}{NE}$。又$\because BE = EC,\therefore \frac{EC}{CN}=\frac{EM}{NE}$, 即 $\frac{EC}{EM} = \frac{CN}{NE}$。又$∠ECN = ∠MEN = 45°$,$\therefore △ECN∽△MEN$

【分析】
(1) 要证明△BEM∽△CNE，可使用两角对应相等的相似判定定理：先由等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠DEF=45°，再结合三角形内角和与平角的性质，推导得到∠BME=∠NEC，即可完成证明。
(2) 先借助(1)的相似结论得到对应边成比例，再结合E是BC中点的条件，将BE替换为EC，得到新的边比例关系，最后结合相等的45°夹角，用两边成比例且夹角相等的判定定理即可找出新的相似三角形。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，
∴∠MBE=∠ECN=45°，
在△BEM中，∠BME + ∠MEB = 180° - ∠B = 135°，
又
∵△DEF是等腰直角三角形，∠D=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠MEB + ∠NEC + ∠DEF = 180°，
∴∠NEC + ∠MEB = 180° - 45° = 135°，
∴∠BME = ∠NEC，
又
∵∠MBE = ∠ECN = 45°，
∴△BEM∽△CNE。
(2) 能，相似三角形为△ECN∽△MEN，证明如下：
与(1)同理可证△BEM∽△CNE，
∴$\frac{BE}{CN}=\frac{EM}{NE}$，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴$\frac{EC}{CN}=\frac{EM}{NE}$，即$\frac{EC}{EM} = \frac{CN}{NE}$，
又
∵∠ECN = ∠MEN = 45°，
∴△ECN∽△MEN。
【答案】
(1) 证明成立，△BEM∽△CNE；
(2) 能，△ECN∽△MEN，证明过程见上述解析。
【知识点】
相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质、旋转的性质
【点评】
本题属于几何综合类基础题型，核心考查相似三角形的判定方法和特殊三角形的性质，解题关键是灵活推导等角关系，并且能利用前一问的结论推导后续的边比例关系，对逻辑推理能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.65

2. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,求满足条件的AP的长。


当使用定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”时,一定要注意相等的角必须是成比例的两边的夹角。

如图,易得$∠PAD = ∠PBC = 90°$。设$AP$的长为$x$,则$BP$的长为$8-x$。若$AB$边上存在点$P$,使$△PAD$与$△PBC$相似,则分两种情况:①若$△APD∽△BPC$,则$AP:BP = AD:BC$,即$x:(8-x) = 3:4$,解得$x = \frac{24}{7}$;②若$△APD∽△BCP$,则$AP:BC = AD:BP$,即$x:4 = 3:(8-x)$,解得$x=2$或$x=6$。综上所述,$AP$的长为$\frac{24}{7},2$或$6$

【分析】
首先由AD//BC，∠ABC=90°可推出∠A=90°，因此△PAD和△PBC都是直角三角形，两个直角相等，是两组对应边的夹角，符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件。由于题目未明确两个相似三角形的对应顶点，因此需要分两种对应情况讨论：①△APD与△BPC相似，此时AP对应BP，AD对应BC；②△APD与△BCP相似，此时AP对应BC，AD对应BP。我们可设AP的长为x，用含x的式子表示BP的长，再根据不同对应情况的比例关系列方程求解，最后验证解是否符合线段长度的取值范围即可。
【解析】
解：
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠A=180°-∠ABC=90°，即∠PAD=∠PBC=90°。
设AP的长为$x$，则BP的长为$8-x$（$0＜x＜8$），△PAD与△PBC相似分两种情况：
① 当$△ APD ∽ △ BPC$时，对应边成比例：$\frac{AP}{BP}=\frac{AD}{BC}$，
代入数据得$\frac{x}{8-x}=\frac{3}{4}$，
交叉相乘解得：$x=\frac{24}{7}$，符合取值范围；
② 当$△ APD ∽ △ BCP$时，对应边成比例：$\frac{AP}{BC}=\frac{AD}{BP}$，
代入数据得$\frac{x}{4}=\frac{3}{8-x}$，
整理得$x^2-8x+12=0$，解得$x=2$或$x=6$，均符合取值范围。
【答案】
AP的长为$\frac{24}{7},2$或$6$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 分类讨论思想
3. 平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形的动点类问题，易错点是忽略相似三角形对应顶点的不确定性，未分类讨论导致漏解。解题时要注意：当未明确相似三角形的对应关系时，需结合已知角的位置分情况讨论，得到解后要验证是否符合线段的实际取值范围。
【难度系数】
0.6