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1. 如图，已知$∠ 1 = ∠ 2$，那么添加下列一个条件后，仍无法判定$△ ABC ∽ △ ADE$的是（
A.$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$
B.$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$
C.$∠ B = ∠ D$
D.$∠ C = ∠ AED$
B
）。A.$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$
B.$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$
C.$∠ B = ∠ D$
D.$∠ C = ∠ AED$
答案
1. B
解析
【分析】
首先由已知∠1=∠2，可推出∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，此时已有一组对应角相等。接下来结合相似三角形的判定定理，逐一分析每个选项添加后是否能满足相似判定条件：若用两边成比例判定，需成比例的两边是这组等角的夹边（SAS判定）；若用角判定，只需再添加一组对应角相等即可（AA判定），由此找出无法判定的选项。
【解析】
第一步：推导相等的对应角
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即$\boldsymbol{∠DAE=∠BAC}$。
第二步：逐一分析选项
选项A：添加$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$，此时两组对应边成比例，且夹角∠DAE=∠BAC，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE。
选项B：添加$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$，成比例的两组边中，BC、DE不是∠DAE和∠BAC的夹边，不符合“两边成比例且夹角相等”的判定条件，SSA无法判定两个三角形相似，故不能判定△ABC∽△ADE。
选项C：添加∠B=∠D，此时有两组对应角相等（∠DAE=∠BAC，∠B=∠D），根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE。
选项D：添加∠C=∠AED，此时有两组对应角相等（∠DAE=∠BAC，∠C=∠AED），根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题核心是对相似三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是先根据已知角推导得到一组公共的相等对应角，要特别注意：两边对应成比例时，只有夹角相等才能判定相似，非夹角相等的情况不能判定两个三角形相似。
【难度系数】
0.7
首先由已知∠1=∠2，可推出∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，此时已有一组对应角相等。接下来结合相似三角形的判定定理，逐一分析每个选项添加后是否能满足相似判定条件：若用两边成比例判定，需成比例的两边是这组等角的夹边（SAS判定）；若用角判定，只需再添加一组对应角相等即可（AA判定），由此找出无法判定的选项。
【解析】
第一步：推导相等的对应角
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即$\boldsymbol{∠DAE=∠BAC}$。
第二步：逐一分析选项
选项A：添加$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$，此时两组对应边成比例，且夹角∠DAE=∠BAC，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE。
选项B：添加$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$，成比例的两组边中，BC、DE不是∠DAE和∠BAC的夹边，不符合“两边成比例且夹角相等”的判定条件，SSA无法判定两个三角形相似，故不能判定△ABC∽△ADE。
选项C：添加∠B=∠D，此时有两组对应角相等（∠DAE=∠BAC，∠B=∠D），根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE。
选项D：添加∠C=∠AED，此时有两组对应角相等（∠DAE=∠BAC，∠C=∠AED），根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题核心是对相似三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是先根据已知角推导得到一组公共的相等对应角，要特别注意：两边对应成比例时，只有夹角相等才能判定相似，非夹角相等的情况不能判定两个三角形相似。
【难度系数】
0.7
2. 已知△ABC，∠B=60°，AB=6，BC=8。将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（
D
）。答案
2. D
解析
【分析】
要判断剪下的阴影三角形与△ABC是否相似，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似等），逐一分析各选项中阴影三角形和原△ABC的角、边对应关系即可得出结论。已知△ABC中∠B=60°，AB=6，BC=8，可先计算出AC的长度辅助判断边的比例关系。
【解析】
已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8。过A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠BAH=30°，因此BH=$\frac{1}{2}$AB=3，AH=$\sqrt{AB^2-BH^2}=3\sqrt{3}$，HC=BC-BH=8-3=5，由勾股定理得AC=$\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{27+25}=2\sqrt{13}$。
逐个分析选项：
选项A：阴影三角形中∠C是公共角，且∠DEC=∠B=60°，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，因此阴影三角形与△ABC相似。
选项B：阴影三角形中∠C是公共角，且∠EDC=∠B=60°，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，因此阴影三角形与△ABC相似。
选项C：阴影三角形中BE=AB-AE=6-2=4，BD=BC-DC=8-5=3，可得$\frac{BD}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{BE}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，且夹角∠B是公共角，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，因此阴影三角形与△ABC相似。
选项D：阴影三角形与△ABC仅有公共角∠A，夹∠A的两组边比例：$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}≠\frac{1}{2}$；$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{2\sqrt{13}}≠\frac{AD}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，不满足相似判定条件，因此阴影三角形与△ABC不相似。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题时需要准确匹配两个三角形的对应角和对应边，结合判定条件逐一验证，注意不要混淆边的对应关系，避免因对应关系判断错误导致失分。
【难度系数】
0.7
要判断剪下的阴影三角形与△ABC是否相似，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似等），逐一分析各选项中阴影三角形和原△ABC的角、边对应关系即可得出结论。已知△ABC中∠B=60°，AB=6，BC=8，可先计算出AC的长度辅助判断边的比例关系。
【解析】
已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8。过A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠BAH=30°，因此BH=$\frac{1}{2}$AB=3，AH=$\sqrt{AB^2-BH^2}=3\sqrt{3}$，HC=BC-BH=8-3=5，由勾股定理得AC=$\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{27+25}=2\sqrt{13}$。
逐个分析选项：
选项A：阴影三角形中∠C是公共角，且∠DEC=∠B=60°，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，因此阴影三角形与△ABC相似。
选项B：阴影三角形中∠C是公共角，且∠EDC=∠B=60°，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，因此阴影三角形与△ABC相似。
选项C：阴影三角形中BE=AB-AE=6-2=4，BD=BC-DC=8-5=3，可得$\frac{BD}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{BE}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，且夹角∠B是公共角，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，因此阴影三角形与△ABC相似。
选项D：阴影三角形与△ABC仅有公共角∠A，夹∠A的两组边比例：$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}≠\frac{1}{2}$；$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{2\sqrt{13}}≠\frac{AD}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，不满足相似判定条件，因此阴影三角形与△ABC不相似。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题时需要准确匹配两个三角形的对应角和对应边，结合判定条件逐一验证，注意不要混淆边的对应关系，避免因对应关系判断错误导致失分。
【难度系数】
0.7
3. 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$∠ A=50°$，$AB=4$，$AC=3.2$，$∠ A'=50°$，$A'B'=2$，$A'C'=1.6$，$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否相似？
相似
（填“相似”或“不相似”）。理由：$\because ∠A = ∠A',\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = 2,\therefore △ABC ∽ △A'B'C'$
。答案
3. 相似 $\because ∠A = ∠A',\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = 2,\therefore △ABC ∽ △A'B'C'$
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，可结合已知条件选择合适的判定定理。本题已知两个三角形有一组对应角相等（∠A=∠A'=50°），接下来只需验证这组相等角的两组夹边是否对应成比例即可。首先明确∠A的夹边是AB、AC，∠A'的夹边是A'B'、A'C'，分别计算两组夹边的比值，若比值相等，则符合相似三角形的判定定理，即可证明两三角形相似。
【解析】
第一步：验证对应角相等
已知∠A=50°，∠A'=50°，因此$∠ A=∠ A'$。
第二步：计算对应夹边的比值
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{2}=2$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{3.2}{1.6}=2$，因此$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=2$。
第三步：依据判定定理得出结论
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
【答案】
相似；$\because ∠A = ∠A',\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = 2,\therefore △ABC ∽ △A'B'C'$
【知识点】
相似三角形的判定、比例的计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题核心是找准相等角对应的夹边，正确匹配对应边并计算比值，避免对应边混淆出错。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否相似，可结合已知条件选择合适的判定定理。本题已知两个三角形有一组对应角相等（∠A=∠A'=50°），接下来只需验证这组相等角的两组夹边是否对应成比例即可。首先明确∠A的夹边是AB、AC，∠A'的夹边是A'B'、A'C'，分别计算两组夹边的比值，若比值相等，则符合相似三角形的判定定理，即可证明两三角形相似。
【解析】
第一步：验证对应角相等
已知∠A=50°，∠A'=50°，因此$∠ A=∠ A'$。
第二步：计算对应夹边的比值
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{2}=2$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{3.2}{1.6}=2$，因此$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=2$。
第三步：依据判定定理得出结论
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABC ∽ △ A'B'C'$。
【答案】
相似；$\because ∠A = ∠A',\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = 2,\therefore △ABC ∽ △A'B'C'$
【知识点】
相似三角形的判定、比例的计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题核心是找准相等角对应的夹边，正确匹配对应边并计算比值，避免对应边混淆出错。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在△ABC中,$AC^2 = BC·DC$,则△ABC∽
$△ DAC$
,理由:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
。答案
4. $△ DAC$ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
解析
【分析】
首先处理已知的等积式，利用比例的基本性质将其转化为比例式，得到两组边的对应比例关系：$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$。接着观察这两组边的夹角，可发现$∠ C$是$△ ABC$和待判定三角形的公共角，满足“两边成比例且夹角相等”的相似三角形判定条件，由此即可确定相似的三角形。
【解析】
已知$AC^2 = BC·DC$，根据比例的基本性质，将等积式转化为比例式可得：
$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$
又$∠ C$是$△ ABC$和$△ DAC$的公共角，即$∠ C=∠ C$，
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DAC$。
【答案】
$△ DAC$；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题关键是熟练掌握等积式到比例式的变形方法，同时准确找到两组比例边的公共夹角，注意不要混淆相似三角形的对应边和对应关系。
【难度系数】
0.8
首先处理已知的等积式，利用比例的基本性质将其转化为比例式，得到两组边的对应比例关系：$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$。接着观察这两组边的夹角，可发现$∠ C$是$△ ABC$和待判定三角形的公共角，满足“两边成比例且夹角相等”的相似三角形判定条件，由此即可确定相似的三角形。
【解析】
已知$AC^2 = BC·DC$，根据比例的基本性质，将等积式转化为比例式可得：
$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$
又$∠ C$是$△ ABC$和$△ DAC$的公共角，即$∠ C=∠ C$，
根据相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DAC$。
【答案】
$△ DAC$；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题关键是熟练掌握等积式到比例式的变形方法，同时准确找到两组比例边的公共夹角，注意不要混淆相似三角形的对应边和对应关系。
【难度系数】
0.8
5.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM=
$\frac{2\sqrt{5}}{5}或\frac{\sqrt{5}}{5}$
时,△ADE与△MNC相似。答案
5. $\frac{2\sqrt{5}}{5}或\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
首先明确正方形内角均为90°，因此△ADE和△MNC都是直角三角形，直角分别为∠A和∠C。因为相似三角形的对应边未明确给出，所以需要分两种对应情况讨论：第一种是△ADE∽△CMN，第二种是△ADE∽△CNM。先计算出Rt△ADE的各边长，再结合相似三角形对应边成比例的性质分别列方程求解，即可得到CM的长度。
【解析】
已知正方形ABCD边长为2，因此$∠ A=∠ C=90°$，$AD=AB=2$。
因为$AE=EB$，所以$AE=\frac{1}{2}AB=1$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
设$CM=x$，已知$MN=1$，分两种情况讨论相似：
1. 当$△ ADE ∽ △ CMN$时，对应边成比例：$\frac{AD}{CM}=\frac{DE}{MN}$
代入数值：$\frac{2}{x}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，符合题意；
2. 当$△ ADE ∽ △ CNM$时，对应边成比例：$\frac{AE}{CM}=\frac{DE}{MN}$
代入数值：$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$x=\frac{\sqrt{5}}{5}$，符合题意。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}或\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查相似三角形的分类讨论思想，未明确对应边的相似问题需要考虑所有可能的对应关系，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
首先明确正方形内角均为90°，因此△ADE和△MNC都是直角三角形，直角分别为∠A和∠C。因为相似三角形的对应边未明确给出，所以需要分两种对应情况讨论：第一种是△ADE∽△CMN，第二种是△ADE∽△CNM。先计算出Rt△ADE的各边长，再结合相似三角形对应边成比例的性质分别列方程求解，即可得到CM的长度。
【解析】
已知正方形ABCD边长为2，因此$∠ A=∠ C=90°$，$AD=AB=2$。
因为$AE=EB$，所以$AE=\frac{1}{2}AB=1$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
设$CM=x$，已知$MN=1$，分两种情况讨论相似：
1. 当$△ ADE ∽ △ CMN$时，对应边成比例：$\frac{AD}{CM}=\frac{DE}{MN}$
代入数值：$\frac{2}{x}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，符合题意；
2. 当$△ ADE ∽ △ CNM$时，对应边成比例：$\frac{AE}{CM}=\frac{DE}{MN}$
代入数值：$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$x=\frac{\sqrt{5}}{5}$，符合题意。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}或\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查相似三角形的分类讨论思想，未明确对应边的相似问题需要考虑所有可能的对应关系，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
