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6.借助计算器计算：
$11^2=$
$1111^2=$
(1)试猜想$111111^2=$
(2)不用计算器直接写出$\underbrace{111···11}_{9个1}^2$的结果。
$11^2=$
121
，$111^2=$12 321
，$1111^2=$
1 234 321
，$11111^2=$123 454 321
。(1)试猜想$111111^2=$
12 345 654 321
；(2)不用计算器直接写出$\underbrace{111···11}_{9个1}^2$的结果。
答案
121 12 321 1 234 321 123 454 321
(1)12 345 654 321
(2)12 345 678 987 654 321
(1)12 345 654 321
(2)12 345 678 987 654 321
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先借助计算器计算出前4个算式的结果，第二步观察底数中1的个数与运算结果的数字排列规律：当底数是k个1组成的数时，平方的结果是从1按自然数顺序递增到k，再从k递减到1的整数，最后用得到的规律求解(1)(2)问即可。
【解析】
首先用计算器计算前四个算式：
$11^2=121$
$111^2=12321$
$1111^2=1234321$
$11111^2=123454321$
观察上述结果可总结规律：由n个1组成的正整数的平方，计算结果是从1开始依次递增到n，再从n依次递减到1的正整数。
(1) $111111$是由6个1组成的数，结合规律可得$111111^2=12345654321$；
(2) $\underbrace{111···11}_{9个1}$是由9个1组成的数，结合规律可得其平方的结果为12345678987654321。
【答案】
121；12321；1234321；123454321
(1)12345654321
(2)12345678987654321
【知识点】
有理数乘方运算；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察、归纳总结的能力，只要准确找到底数中1的个数和计算结果的数字排列对应关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先借助计算器计算出前4个算式的结果，第二步观察底数中1的个数与运算结果的数字排列规律：当底数是k个1组成的数时，平方的结果是从1按自然数顺序递增到k，再从k递减到1的整数，最后用得到的规律求解(1)(2)问即可。
【解析】
首先用计算器计算前四个算式：
$11^2=121$
$111^2=12321$
$1111^2=1234321$
$11111^2=123454321$
观察上述结果可总结规律：由n个1组成的正整数的平方，计算结果是从1开始依次递增到n，再从n依次递减到1的正整数。
(1) $111111$是由6个1组成的数，结合规律可得$111111^2=12345654321$；
(2) $\underbrace{111···11}_{9个1}$是由9个1组成的数，结合规律可得其平方的结果为12345678987654321。
【答案】
121；12321；1234321；123454321
(1)12345654321
(2)12345678987654321
【知识点】
有理数乘方运算；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察、归纳总结的能力，只要准确找到底数中1的个数和计算结果的数字排列对应关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7.用计算器计算下列各式：
$6×7=$
$66×67=$
$666×667=$
$6\ 666×6\ 667=$
$66\ 666×66\ 667=$
观察上述结果，你发现了什么规律？
$6×7=$
42
；$66×67=$
4 422
；$666×667=$
444 222
；$6\ 666×6\ 667=$
44 442 222
；$66\ 666×66\ 667=$
4 444 422 222
。观察上述结果，你发现了什么规律？
答案
42 4 422 444 222 44 442 222 4 444 422 222
规律略
规律略
解析
【分析】
解题时先根据有理数乘法的计算规则，依次计算出5个乘法式子的结果，再观察每个式子中两个因数的位数、数字构成特征，对比对应乘积的数字组成和位数，即可归纳出通用规律。
【解析】
我们依次计算各算式的结果：
1. $6×7=42$
2. $66×67=4422$
3. $666×667=444222$
4. $6666×6667=44442222$
5. $66666×66667=4444422222$
观察结果可得规律：当两个因数均为$n$位正整数，第一个因数由$n$个6组成，第二个因数前$n-1$位是6、末位是7时，乘积为$2n$位正整数，前$n$位均为4，后$n$位均为2。
【答案】
42；4422；444222；44442222；4444422222
规律：若两个因数均为$n$位正整数，第一个因数由$n$个6组成，第二个因数前$n-1$位为6，末位为7，则乘积由$n$个4后接$n$个2组成。
【知识点】
1. 有理数乘法运算
2. 数字规律探究
【点评】
本题通过基础的乘法计算引导学生归纳数字规律，侧重考察学生的观察能力和从特殊到一般的归纳推理能力，计算难度低，规律特征较为明显。
【难度系数】
0.8
解题时先根据有理数乘法的计算规则，依次计算出5个乘法式子的结果，再观察每个式子中两个因数的位数、数字构成特征，对比对应乘积的数字组成和位数，即可归纳出通用规律。
【解析】
我们依次计算各算式的结果：
1. $6×7=42$
2. $66×67=4422$
3. $666×667=444222$
4. $6666×6667=44442222$
5. $66666×66667=4444422222$
观察结果可得规律：当两个因数均为$n$位正整数，第一个因数由$n$个6组成，第二个因数前$n-1$位是6、末位是7时，乘积为$2n$位正整数，前$n$位均为4，后$n$位均为2。
【答案】
42；4422；444222；44442222；4444422222
规律：若两个因数均为$n$位正整数，第一个因数由$n$个6组成，第二个因数前$n-1$位为6，末位为7，则乘积由$n$个4后接$n$个2组成。
【知识点】
1. 有理数乘法运算
2. 数字规律探究
【点评】
本题通过基础的乘法计算引导学生归纳数字规律，侧重考察学生的观察能力和从特殊到一般的归纳推理能力，计算难度低，规律特征较为明显。
【难度系数】
0.8
8.一张纸的厚度约为0.3 mm，对折一次后的厚度为$(2×0.3)\mathrm{mm}$，按照上面的规律，假设把这张纸对折32次后，它的厚度与珠穆朗玛峰的海拔8 848.86 m相比，哪个更高？
答案
解:纸的厚度为$2^{32}×0.3≈1\ 288\ 490\ 189(\mathrm{mm})≈1\ 288\ 490(\mathrm{m})$，比珠穆朗玛峰的海拔高。
解析
【分析】
解决这道题首先要梳理纸对折后的厚度变化规律：每对折1次，纸的厚度就变为原来的2倍，因此对折n次后，纸的厚度是初始厚度的$2^n$倍。接下来先计算对折32次后纸的厚度，注意统一长度单位，再和珠穆朗玛峰的海拔高度比较大小即可得到结论。
【解析】
解：由题意得，对折n次后纸的厚度为初始厚度的$2^n$倍，
则对折32次后纸的厚度为：
$2^{32} × 0.3$
计算得$2^{32}=4294967296$，代入得：
$4294967296 × 0.3 = 1288490188.8 \, \mathrm{mm}$
根据长度单位换算规则$1\,\mathrm{m}=1000\,\mathrm{mm}$，换算单位得：
$1288490188.8 \, \mathrm{mm} \approx 1288490 \, \mathrm{m}$
已知珠穆朗玛峰的海拔为8848.86 m，
因为$1288490 ＞ 8848.86$，因此对折32次后纸的厚度更高。
【答案】
对折32次后纸的厚度比珠穆朗玛峰的海拔更高。
【知识点】
乘方的实际应用，长度单位换算，有理数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的应用，解题关键是先归纳出对折次数和厚度倍数的关系，计算过程中要注意单位统一，通过本题也能直观感受到乘方运算的增长速度非常快。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要梳理纸对折后的厚度变化规律：每对折1次，纸的厚度就变为原来的2倍，因此对折n次后，纸的厚度是初始厚度的$2^n$倍。接下来先计算对折32次后纸的厚度，注意统一长度单位，再和珠穆朗玛峰的海拔高度比较大小即可得到结论。
【解析】
解：由题意得，对折n次后纸的厚度为初始厚度的$2^n$倍，
则对折32次后纸的厚度为：
$2^{32} × 0.3$
计算得$2^{32}=4294967296$，代入得：
$4294967296 × 0.3 = 1288490188.8 \, \mathrm{mm}$
根据长度单位换算规则$1\,\mathrm{m}=1000\,\mathrm{mm}$，换算单位得：
$1288490188.8 \, \mathrm{mm} \approx 1288490 \, \mathrm{m}$
已知珠穆朗玛峰的海拔为8848.86 m，
因为$1288490 ＞ 8848.86$，因此对折32次后纸的厚度更高。
【答案】
对折32次后纸的厚度比珠穆朗玛峰的海拔更高。
【知识点】
乘方的实际应用，长度单位换算，有理数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的应用，解题关键是先归纳出对折次数和厚度倍数的关系，计算过程中要注意单位统一，通过本题也能直观感受到乘方运算的增长速度非常快。
【难度系数】
0.6
