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知识梳理
数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0，选取某一长度作为
有关概念
相反数：如果两个数只有
绝对值：一个数表示的
倒数：如果两个有理数的乘积为1，那么称这两个有理数互为倒数
有理数及其运算
分类
整数
正整数
负整数
分数
正分数
负分数
大小比较
数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大
正数大于0，负数小于0，正数大于负数
两个负数比较大小，绝对值大的反而
运算
加法：先确定符号，再将绝对值相加减
减法：减一个数，等于加这个数的相反数
乘法：先确定符号，再把绝对值相乘
除法
先确定符号，再把绝对值相除
除以一个数等于乘这个数的倒数
乘方
意义：$a^n=\underbrace{a × a × \dots × a}_{n个}$
运算：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是
用计算器进行计算
运算律
交换律
加法：
乘法：$a × b = b × a$
结合律
加法：$(a + b) + c = a + (b + c)$
乘法：
乘法对加法的分配律：
科学记数法：$a × 10^n$（其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$是正整数）
数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0，选取某一长度作为
单位长度
①，规定直线向右的方向为正方向
②，就得到数轴有关概念
相反数：如果两个数只有
符号
③不同，那么称这两个数互为相反数绝对值：一个数表示的
数量多少
④叫作这个数的绝对值倒数：如果两个有理数的乘积为1，那么称这两个有理数互为倒数
有理数及其运算
分类
整数
正整数
零
⑤负整数
分数
正分数
负分数
大小比较
数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大
正数大于0，负数小于0，正数大于负数
两个负数比较大小，绝对值大的反而
小
⑥运算
加法：先确定符号，再将绝对值相加减
减法：减一个数，等于加这个数的相反数
乘法：先确定符号，再把绝对值相乘
除法
先确定符号，再把绝对值相除
除以一个数等于乘这个数的倒数
乘方
意义：$a^n=\underbrace{a × a × \dots × a}_{n个}$
运算：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是
负数
⑦，正数的任何次幂都是正数用计算器进行计算
运算律
交换律
加法：
$a+b=b+a$
⑧乘法：$a × b = b × a$
结合律
加法：$(a + b) + c = a + (b + c)$
乘法：
$(a × b) × c = a × (b × c)$
⑨乘法对加法的分配律：
$a × (b + c) = a × b + a × c$
⑩科学记数法：$a × 10^n$（其中$1 ≤ a ＜ 10$，$n$是正整数）
答案
①单位长度 ②正方向 ③符号 ④数量多少 ⑤零 ⑥小 ⑦负数 ⑧$a+b=b+a$ ⑨$(a×b)×c=a×(b×c)$ ⑩$a×(b+c)=a×b+a×c$
解析
【分析】
本题为有理数章节基础概念填空题，考查数轴、相反数、绝对值、有理数分类、大小比较、乘方性质、运算律等基础识记类知识点，解题时只需回忆课本对应基础定义、规则，逐一匹配空缺位置即可。
【解析】
①根据数轴的构成要素，确定原点后需选取固定长度作为单位长度，因此填单位长度；
②数轴的方向规则为规定向右的方向为正方向，因此填正方向；
③根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此填符号；
④根据绝对值的定义，一个数表示的数量多少叫作这个数的绝对值，因此填数量多少；
⑤整数的分类包含正整数、零、负整数三类，因此填零；
⑥负数比较大小的规则为：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因此填小；
⑦根据乘方的运算性质，负数的奇次幂是负数，因此填负数；
⑧加法交换律的表达式为$a+b=b+a$，因此填$a+b=b+a$；
⑨乘法结合律的表达式为$(a×b)×c=a×(b×c)$，因此填$(a×b)×c=a×(b×c)$；
⑩乘法对加法的分配律表达式为$a×(b+c)=a×b+a×c$，因此填$a×(b+c)=a×b+a×c$。
【答案】
①单位长度；②正方向；③符号；④数量多少；⑤零；⑥小；⑦负数；⑧$a+b=b+a$；⑨$(a×b)×c=a×(b×c)$；⑩$a×(b+c)=a×b+a×c$
【知识点】
数轴与有理数相关概念；有理数大小比较；有理数运算律
【点评】
本题侧重考查有理数章节的基础概念和规则，均为识记类内容，是整个代数学习的基础，需要熟练掌握相关定义、性质和运算律。
【难度系数】
0.9
本题为有理数章节基础概念填空题，考查数轴、相反数、绝对值、有理数分类、大小比较、乘方性质、运算律等基础识记类知识点，解题时只需回忆课本对应基础定义、规则，逐一匹配空缺位置即可。
【解析】
①根据数轴的构成要素，确定原点后需选取固定长度作为单位长度，因此填单位长度；
②数轴的方向规则为规定向右的方向为正方向，因此填正方向；
③根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此填符号；
④根据绝对值的定义，一个数表示的数量多少叫作这个数的绝对值，因此填数量多少；
⑤整数的分类包含正整数、零、负整数三类，因此填零；
⑥负数比较大小的规则为：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因此填小；
⑦根据乘方的运算性质，负数的奇次幂是负数，因此填负数；
⑧加法交换律的表达式为$a+b=b+a$，因此填$a+b=b+a$；
⑨乘法结合律的表达式为$(a×b)×c=a×(b×c)$，因此填$(a×b)×c=a×(b×c)$；
⑩乘法对加法的分配律表达式为$a×(b+c)=a×b+a×c$，因此填$a×(b+c)=a×b+a×c$。
【答案】
①单位长度；②正方向；③符号；④数量多少；⑤零；⑥小；⑦负数；⑧$a+b=b+a$；⑨$(a×b)×c=a×(b×c)$；⑩$a×(b+c)=a×b+a×c$
【知识点】
数轴与有理数相关概念；有理数大小比较；有理数运算律
【点评】
本题侧重考查有理数章节的基础概念和规则，均为识记类内容，是整个代数学习的基础，需要熟练掌握相关定义、性质和运算律。
【难度系数】
0.9
1. $|-5|$的倒数是（
A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{5}$
C.5
D.$-5$
A
）。A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{5}$
C.5
D.$-5$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，需要分两步思考：第一步先化简绝对值$|-5|$，根据绝对值的性质求出它的结果；第二步再根据倒数的定义，求出化简后所得数的倒数，对应选项即可得到答案。需要注意不要未化简绝对值直接求-5的倒数，避免出错。
【解析】
第一步：计算绝对值，根据绝对值的代数意义：负数的绝对值是它的相反数，可得$\vert -5\vert = 5$；
第二步：求5的倒数，根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，可知5的倒数为$\frac{1}{5}$。
因此$\vert -5\vert$的倒数是$\frac{1}{5}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的化简；倒数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略先化简绝对值，直接求-5的倒数从而误选错误选项，掌握绝对值和倒数的基本概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需要分两步思考：第一步先化简绝对值$|-5|$，根据绝对值的性质求出它的结果；第二步再根据倒数的定义，求出化简后所得数的倒数，对应选项即可得到答案。需要注意不要未化简绝对值直接求-5的倒数，避免出错。
【解析】
第一步：计算绝对值，根据绝对值的代数意义：负数的绝对值是它的相反数，可得$\vert -5\vert = 5$；
第二步：求5的倒数，根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，可知5的倒数为$\frac{1}{5}$。
因此$\vert -5\vert$的倒数是$\frac{1}{5}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的化简；倒数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略先化简绝对值，直接求-5的倒数从而误选错误选项，掌握绝对值和倒数的基本概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
2.绝对值大于2.5且小于7.2的所有负整数为
$-7,-6,-5,-4,-3$
。答案
2.$-7,-6,-5,-4,-3$
解析
【分析】
解题时先明确题目要求：找满足“绝对值大于2.5且小于7.2”的负整数。首先设所求的数为x，先根据绝对值的要求列出不等式，再结合x是负整数的限制缩小x的取值范围，最后筛选出符合条件的整数即可。第一步先根据绝对值的含义把绝对值不等式转化为普通不等式，第二步结合负整数的要求确定最终的取值。
【解析】
设满足条件的数为$ x $，根据题意可列不等式：
$ 2.5 ＜ |x| ＜ 7.2 $，且$ x $为负整数，即$ x ＜ 0 $。
因为负数的绝对值等于它的相反数，所以$ |x| = -x $，代入不等式得：
$ 2.5 ＜ -x ＜ 7.2 $
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$ -7.2 ＜ x ＜ -2.5 $
在$-7.2$到$-2.5$之间的负整数为：$-7、-6、-5、-4、-3$。
【答案】
$-7,-6,-5,-4,-3$
【知识点】
绝对值的性质；负整数的概念
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时要注意两个限制条件：一是绝对值的范围不包含端点2.5和7.2，二是要求的是负整数，避免多写正整数或者错算边界处的整数。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题目要求：找满足“绝对值大于2.5且小于7.2”的负整数。首先设所求的数为x，先根据绝对值的要求列出不等式，再结合x是负整数的限制缩小x的取值范围，最后筛选出符合条件的整数即可。第一步先根据绝对值的含义把绝对值不等式转化为普通不等式，第二步结合负整数的要求确定最终的取值。
【解析】
设满足条件的数为$ x $，根据题意可列不等式：
$ 2.5 ＜ |x| ＜ 7.2 $，且$ x $为负整数，即$ x ＜ 0 $。
因为负数的绝对值等于它的相反数，所以$ |x| = -x $，代入不等式得：
$ 2.5 ＜ -x ＜ 7.2 $
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$ -7.2 ＜ x ＜ -2.5 $
在$-7.2$到$-2.5$之间的负整数为：$-7、-6、-5、-4、-3$。
【答案】
$-7,-6,-5,-4,-3$
【知识点】
绝对值的性质；负整数的概念
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时要注意两个限制条件：一是绝对值的范围不包含端点2.5和7.2，二是要求的是负整数，避免多写正整数或者错算边界处的整数。
【难度系数】
0.7
3. 把下列各数分别填在相应的大括号内：
$-\dfrac{2}{3},3.14,+8,3\dfrac{1}{2},-2028,0,-3.6$。
非负数集合：$\{ \dots \}$；
分数集合：$\{ \dots \}$；
负整数集合：$\{ \dots \}$。
$-\dfrac{2}{3},3.14,+8,3\dfrac{1}{2},-2028,0,-3.6$。
非负数集合：$\{ \dots \}$；
分数集合：$\{ \dots \}$；
负整数集合：$\{ \dots \}$。
答案
3.解:非负数集合: $\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
分数集合: $\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合: $\{-2\ 028,\dots\}$。
分数集合: $\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合: $\{-2\ 028,\dots\}$。
解析
【分析】
解题前先明确三类集合的定义：①非负数指正数和0，即所有大于等于0的数；②分数包括正分数、负分数，初中阶段有限小数、带分数都可以转化为分数形式，属于分数范畴；③负整数指既是负数又是整数的数。接下来逐个分析给出的数：$-\dfrac{2}{3}$是负分数，3.14是正有限小数（属于正分数），+8是正整数，$3\dfrac{1}{2}$是正带分数（属于正分数），-2028是负整数，0既不是正数也不是负数，-3.6是负有限小数（属于负分数），最后按定义筛选对应数字填入集合即可。
【解析】
根据各类数的定义逐一筛选：
1. 非负数包含正数和0，符合要求的数有：3.14、+8、$3\dfrac{1}{2}$、0，故非负数集合：$\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
2. 分数包含所有可化为分数形式的数，符合要求的数有：$-\dfrac{2}{3}$、3.14、$3\dfrac{1}{2}$、-3.6，故分数集合：$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
3. 负整数是小于0的整数，符合要求的数有：-2028，故负整数集合：$\{-2028,\dots\}$。
【答案】
非负数集合: $\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
分数集合: $\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合: $\{-2028,\dots\}$。
【知识点】
有理数的分类，非负数定义，分数的定义
【点评】
本题属于有理数分类的基础题型，解题关键是准确掌握不同类别数的定义，需要注意有限小数和带分数都归为分数，非负数包含0，避免出现漏写、错写的情况。
【难度系数】
0.85
解题前先明确三类集合的定义：①非负数指正数和0，即所有大于等于0的数；②分数包括正分数、负分数，初中阶段有限小数、带分数都可以转化为分数形式，属于分数范畴；③负整数指既是负数又是整数的数。接下来逐个分析给出的数：$-\dfrac{2}{3}$是负分数，3.14是正有限小数（属于正分数），+8是正整数，$3\dfrac{1}{2}$是正带分数（属于正分数），-2028是负整数，0既不是正数也不是负数，-3.6是负有限小数（属于负分数），最后按定义筛选对应数字填入集合即可。
【解析】
根据各类数的定义逐一筛选：
1. 非负数包含正数和0，符合要求的数有：3.14、+8、$3\dfrac{1}{2}$、0，故非负数集合：$\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
2. 分数包含所有可化为分数形式的数，符合要求的数有：$-\dfrac{2}{3}$、3.14、$3\dfrac{1}{2}$、-3.6，故分数集合：$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
3. 负整数是小于0的整数，符合要求的数有：-2028，故负整数集合：$\{-2028,\dots\}$。
【答案】
非负数集合: $\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
分数集合: $\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合: $\{-2028,\dots\}$。
【知识点】
有理数的分类，非负数定义，分数的定义
【点评】
本题属于有理数分类的基础题型，解题关键是准确掌握不同类别数的定义，需要注意有限小数和带分数都归为分数，非负数包含0，避免出现漏写、错写的情况。
【难度系数】
0.85
