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4.从$-3,-2,-1,4,5$中任取两个数相乘，若所得积中的最大值为$a$，最小值为$b$，则$\frac{a}{b}$的值为（
A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{20}{3}$
A
）。A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{20}{3}$
答案
4.A
解析
【分析】
要解决这道题，需结合有理数乘法的符号规律找到乘积的最大值和最小值，再计算两数的商即可。思考步骤如下：1. 根据“同号得正、异号得负，正数大于一切负数”的规律，最大的乘积一定是正数，只需比较两个最大正数的乘积、两个绝对值最大的负数的乘积，就能得到最大值a；2. 最小的乘积一定是负数，只需找绝对值最大的负数，也就是最大正数和绝对值最大的负数的乘积，即可得到最小值b；3. 最后代入计算$\frac{a}{b}$的结果，匹配对应选项。
【解析】
给定数字为：$-3,-2,-1,4,5$
1. 求最大值$a$：
正数乘积的两种情况：
两个正数相乘：$4×5=20$
两个负数相乘：最大的乘积为$(-3)×(-2)=6$
比较可得最大乘积$a=20$
2. 求最小值$b$：
负数乘积为异号两数相乘所得，要找最小的负数，即计算绝对值最大的正数和绝对值最大的负数的乘积：$5×(-3)=-15$
对比其他异号乘积（如$4×(-3)=-12$、$5×(-2)=-10$等），可得最小乘积$b=-15$
3. 计算$\frac{a}{b}$：
$\frac{a}{b}=\frac{20}{-15}=-\frac{4}{3}$
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法法则、有理数大小比较、有理数除法
【点评】
本题考查有理数乘除的应用，解题的关键是准确判断乘积最值的符号和对应的数字组合，要注意不要遗漏负数相乘得正的情况，避免误算最大值。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合有理数乘法的符号规律找到乘积的最大值和最小值，再计算两数的商即可。思考步骤如下：1. 根据“同号得正、异号得负，正数大于一切负数”的规律，最大的乘积一定是正数，只需比较两个最大正数的乘积、两个绝对值最大的负数的乘积，就能得到最大值a；2. 最小的乘积一定是负数，只需找绝对值最大的负数，也就是最大正数和绝对值最大的负数的乘积，即可得到最小值b；3. 最后代入计算$\frac{a}{b}$的结果，匹配对应选项。
【解析】
给定数字为：$-3,-2,-1,4,5$
1. 求最大值$a$：
正数乘积的两种情况：
两个正数相乘：$4×5=20$
两个负数相乘：最大的乘积为$(-3)×(-2)=6$
比较可得最大乘积$a=20$
2. 求最小值$b$：
负数乘积为异号两数相乘所得，要找最小的负数，即计算绝对值最大的正数和绝对值最大的负数的乘积：$5×(-3)=-15$
对比其他异号乘积（如$4×(-3)=-12$、$5×(-2)=-10$等），可得最小乘积$b=-15$
3. 计算$\frac{a}{b}$：
$\frac{a}{b}=\frac{20}{-15}=-\frac{4}{3}$
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法法则、有理数大小比较、有理数除法
【点评】
本题考查有理数乘除的应用，解题的关键是准确判断乘积最值的符号和对应的数字组合，要注意不要遗漏负数相乘得正的情况，避免误算最大值。
【难度系数】
0.7
5.山西历史悠久，人文荟萃，拥有丰厚的历史文化遗产。某旅行团到山西十日游的费用为108 000元，用科学记数法可表示为
$1.08×10^5$
元。答案
5.$1.08×10^5$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确科学记数法的表示规则：科学记数法的固定形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题时分为两步操作：第一步确定$a$的值，将原数的小数点向左移动，直到得到的数落在1到10的区间内，这个数就是$a$；第二步确定$n$的值，小数点向左移动的位数就是$n$的取值。
【解析】
解：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，当原数绝对值大于10时，$n$为正整数。
对108000进行处理，将小数点向左移动5位，可得符合要求的$a=1.08$，由于小数点共向左移动了5位，因此$n=5$。
综上，108000用科学记数法表示为$1.08×10^5$。
【答案】
$1.08×10^5$
【知识点】
科学记数法表示较大的数
【点评】
本题考查科学记数法的基础应用，掌握$a$的取值范围和$n$的确定规则是解题的关键，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先需要明确科学记数法的表示规则：科学记数法的固定形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题时分为两步操作：第一步确定$a$的值，将原数的小数点向左移动，直到得到的数落在1到10的区间内，这个数就是$a$；第二步确定$n$的值，小数点向左移动的位数就是$n$的取值。
【解析】
解：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，当原数绝对值大于10时，$n$为正整数。
对108000进行处理，将小数点向左移动5位，可得符合要求的$a=1.08$，由于小数点共向左移动了5位，因此$n=5$。
综上，108000用科学记数法表示为$1.08×10^5$。
【答案】
$1.08×10^5$
【知识点】
科学记数法表示较大的数
【点评】
本题考查科学记数法的基础应用，掌握$a$的取值范围和$n$的确定规则是解题的关键，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.85
6.计算：
(1)$(-\frac{1}{2})-(-\frac{7}{3})+\frac{11}{4}+(-\frac{7}{8})-\frac{11}{3}$；
(2)$-1^4-(1-0.5)×\frac{2}{3}×[2-(-3)^2]$。
(1)$(-\frac{1}{2})-(-\frac{7}{3})+\frac{11}{4}+(-\frac{7}{8})-\frac{11}{3}$；
(2)$-1^4-(1-0.5)×\frac{2}{3}×[2-(-3)^2]$。
答案
6.解:(1)原式$=-\frac{1}{2}+\frac{7}{3}+\frac{11}{4}-\frac{7}{8}-\frac{11}{3}$
$=(-\frac{1}{2}+\frac{11}{4}-\frac{7}{8})+(\frac{7}{3}-\frac{11}{3})$
$=\frac{11}{8}-\frac{4}{3}$
$=\frac{1}{24}$。
(2)原式$=-1-\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×(2-9)$
$=-1+\frac{7}{3}$
$=\frac{4}{3}$。
$=(-\frac{1}{2}+\frac{11}{4}-\frac{7}{8})+(\frac{7}{3}-\frac{11}{3})$
$=\frac{11}{8}-\frac{4}{3}$
$=\frac{1}{24}$。
(2)原式$=-1-\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×(2-9)$
$=-1+\frac{7}{3}$
$=\frac{4}{3}$。
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题思路如下：
(1) 第一问为有理数加减混合运算，先根据减法法则将所有减法统一为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母或便于通分的分数分组计算，简化运算过程，最后通分求出结果，计算时注意符号不要出错。
(2) 第二问为有理数四则混合运算，严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的内容。注意区分$-1^4$和$(-1)^4$的差异，$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果为-1，运算过程中注意负号的处理。
【解析】
(1) 先去括号，将减法转化为加法：
原式$=-\frac{1}{2}+\frac{7}{3}+\frac{11}{4}-\frac{7}{8}-\frac{11}{3}$
利用加法交换律、结合律分组：
$=(-\frac{1}{2}+\frac{11}{4}-\frac{7}{8})+(\frac{7}{3}-\frac{11}{3})$
分别计算两组结果：
第一组通分计算得$\frac{11}{8}$，第二组计算得$-\frac{4}{3}$
再通分计算最终结果：
$\frac{11}{8}-\frac{4}{3}=\frac{33-32}{24}=\frac{1}{24}$
(2) 先算乘方：
原式$=-1-(1-0.5)×\frac{2}{3}×(2-9)$
再计算括号内的运算：
$=-1-\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×(-7)$
接下来计算乘法运算：
$=-1+\frac{7}{3}$
最后计算加减运算：
$=\frac{-3+7}{3}=\frac{4}{3}$
【答案】
(1) $\frac{1}{24}$；(2) $\frac{4}{3}$
【知识点】
有理数加减混合运算、有理数混合运算顺序、加法运算律应用
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心是熟练掌握运算规则，灵活运用运算律简化计算，其中符号判断（乘方符号、去括号符号）是高频易错点，计算时需格外注意。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的混合运算，解题思路如下：
(1) 第一问为有理数加减混合运算，先根据减法法则将所有减法统一为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母或便于通分的分数分组计算，简化运算过程，最后通分求出结果，计算时注意符号不要出错。
(2) 第二问为有理数四则混合运算，严格遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的内容。注意区分$-1^4$和$(-1)^4$的差异，$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果为-1，运算过程中注意负号的处理。
【解析】
(1) 先去括号，将减法转化为加法：
原式$=-\frac{1}{2}+\frac{7}{3}+\frac{11}{4}-\frac{7}{8}-\frac{11}{3}$
利用加法交换律、结合律分组：
$=(-\frac{1}{2}+\frac{11}{4}-\frac{7}{8})+(\frac{7}{3}-\frac{11}{3})$
分别计算两组结果：
第一组通分计算得$\frac{11}{8}$，第二组计算得$-\frac{4}{3}$
再通分计算最终结果：
$\frac{11}{8}-\frac{4}{3}=\frac{33-32}{24}=\frac{1}{24}$
(2) 先算乘方：
原式$=-1-(1-0.5)×\frac{2}{3}×(2-9)$
再计算括号内的运算：
$=-1-\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×(-7)$
接下来计算乘法运算：
$=-1+\frac{7}{3}$
最后计算加减运算：
$=\frac{-3+7}{3}=\frac{4}{3}$
【答案】
(1) $\frac{1}{24}$；(2) $\frac{4}{3}$
【知识点】
有理数加减混合运算、有理数混合运算顺序、加法运算律应用
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心是熟练掌握运算规则，灵活运用运算律简化计算，其中符号判断（乘方符号、去括号符号）是高频易错点，计算时需格外注意。
【难度系数】
0.7
7.阅读下面答题过程：
计算：$(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})$。
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得出原式的值。
解：$(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})÷(-\dfrac{1}{24})=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})×(-24)=-16+18-21=-19$，所以原式$=-\dfrac{1}{19}$。
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：
$(-\dfrac{1}{42})÷[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]$。
计算：$(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})$。
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得出原式的值。
解：$(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})÷(-\dfrac{1}{24})=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})×(-24)=-16+18-21=-19$，所以原式$=-\dfrac{1}{19}$。
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：
$(-\dfrac{1}{42})÷[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]$。
答案
7.解:$[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]÷(-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})÷(-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})×(-42)$
$=-7-30+112=75$，
所以原式$=\dfrac{1}{75}$。
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})÷(-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})×(-42)$
$=-7-30+112=75$，
所以原式$=\dfrac{1}{75}$。
解析
【分析】
本题可仿照题干给出的示例，采用倒数法简化计算：首先根据倒数的定义，先求原式的倒数，即将原式的被除数与除数交换位置，把除法转化为乘法后，可利用乘法分配律简化计算，最后再对计算结果取倒数，即可得到原式的值。计算过程中要注意中括号内的运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后算加减，逐步化简中括号内的式子。
【解析】
先求原式的倒数：
$\begin{aligned}&[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]÷(-\dfrac{1}{42})\\=&[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+\dfrac{4}{9}×(-6)]÷(-\dfrac{1}{42})\\=&(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})÷(-\dfrac{1}{42})\\=&(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})×(-42)\\=&\dfrac{1}{6}×(-42)+\dfrac{5}{7}×(-42)+(-\dfrac{8}{3})×(-42)\\=&-7-30+112\\=&75\end{aligned}$
根据倒数的定义，可得原式的值为75的倒数。
【答案】
$\dfrac{1}{75}$
【知识点】
倒数的性质；有理数混合运算；乘法分配律
【点评】
本题通过倒数法将复杂的除法运算转化为可利用乘法分配律计算的形式，有效降低了计算难度，解题时需注意严格遵循有理数运算顺序，计算过程中要特别关注符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.65
本题可仿照题干给出的示例，采用倒数法简化计算：首先根据倒数的定义，先求原式的倒数，即将原式的被除数与除数交换位置，把除法转化为乘法后，可利用乘法分配律简化计算，最后再对计算结果取倒数，即可得到原式的值。计算过程中要注意中括号内的运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后算加减，逐步化简中括号内的式子。
【解析】
先求原式的倒数：
$\begin{aligned}&[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]÷(-\dfrac{1}{42})\\=&[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+\dfrac{4}{9}×(-6)]÷(-\dfrac{1}{42})\\=&(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})÷(-\dfrac{1}{42})\\=&(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})×(-42)\\=&\dfrac{1}{6}×(-42)+\dfrac{5}{7}×(-42)+(-\dfrac{8}{3})×(-42)\\=&-7-30+112\\=&75\end{aligned}$
根据倒数的定义，可得原式的值为75的倒数。
【答案】
$\dfrac{1}{75}$
【知识点】
倒数的性质；有理数混合运算；乘法分配律
【点评】
本题通过倒数法将复杂的除法运算转化为可利用乘法分配律计算的形式，有效降低了计算难度，解题时需注意严格遵循有理数运算顺序，计算过程中要特别关注符号的变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.65
8.观察下列解题过程：
计算：$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$。
解：设$s=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$，
则$5s=5+5^2+5^3+\dots+5^{25}+5^{26}$，
故$s=\dfrac{5^{26}-1}{4}$，即原式$=\dfrac{5^{26}-1}{4}$。
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请用你学到的方法计算：
$1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10}$。
计算：$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$。
解：设$s=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{24}+5^{25}$，
则$5s=5+5^2+5^3+\dots+5^{25}+5^{26}$，
故$s=\dfrac{5^{26}-1}{4}$，即原式$=\dfrac{5^{26}-1}{4}$。
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请用你学到的方法计算：
$1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10}$。
答案
8.解:设$s=1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10}$，
则$3s=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}+3^{11}$，
故$s=\dfrac{3^{11}-1}{2}$。
则$3s=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}+3^{11}$，
故$s=\dfrac{3^{11}-1}{2}$。
解析
【分析】
这是一道方法迁移类的计算题，解题采用错位相减法。我们可参照题目给出的示例思路解题：第一步先设所求式子的总和为$s$，观察可知本题式子中后一项是前一项的3倍；第二步将等式两边同时乘3得到新的等式；第三步用新等式减去原等式，中间重复的项会相互抵消，最后整理等式即可求出$s$的值，也就是原式的结果。
【解析】
解：设$ s=1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10} $ ①，
将①式两边同时乘3，可得：
$ 3s=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}+3^{11} $ ②，
用②式减去①式，可得：
$ 3s - s = (3+3^2+3^3+\dots+3^{11}) - (1+3+3^2+\dots+3^{10}) $
左边化简为$2s$，右边相同项抵消后剩余$3^{11} - 1$，即：
$ 2s = 3^{11} - 1 $
系数化为1得：$ s=\dfrac{3^{11}-1}{2} $
【答案】
$\dfrac{3^{11}-1}{2}$
【知识点】
错位相减法；有理数乘方；整式加减
【点评】
本题重点考查对新方法的理解和迁移应用能力，解题核心是读懂材料给出的错位相减求和的方法，再结合所求式子的特征类比运用，计算时要注意两个等式相减后剩余的首尾项，避免漏项。
【难度系数】
0.7
这是一道方法迁移类的计算题，解题采用错位相减法。我们可参照题目给出的示例思路解题：第一步先设所求式子的总和为$s$，观察可知本题式子中后一项是前一项的3倍；第二步将等式两边同时乘3得到新的等式；第三步用新等式减去原等式，中间重复的项会相互抵消，最后整理等式即可求出$s$的值，也就是原式的结果。
【解析】
解：设$ s=1+3+3^2+3^3+\dots+3^9+3^{10} $ ①，
将①式两边同时乘3，可得：
$ 3s=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{10}+3^{11} $ ②，
用②式减去①式，可得：
$ 3s - s = (3+3^2+3^3+\dots+3^{11}) - (1+3+3^2+\dots+3^{10}) $
左边化简为$2s$，右边相同项抵消后剩余$3^{11} - 1$，即：
$ 2s = 3^{11} - 1 $
系数化为1得：$ s=\dfrac{3^{11}-1}{2} $
【答案】
$\dfrac{3^{11}-1}{2}$
【知识点】
错位相减法；有理数乘方；整式加减
【点评】
本题重点考查对新方法的理解和迁移应用能力，解题核心是读懂材料给出的错位相减求和的方法，再结合所求式子的特征类比运用，计算时要注意两个等式相减后剩余的首尾项，避免漏项。
【难度系数】
0.7
