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二、填空题
1. 方程$(x+1)^2=4$的解是
1. 方程$(x+1)^2=4$的解是
$x_1=1,x_2=-3$
。答案
1. $x_1=1,x_2=-3$
解析
【分析】
观察方程形式，左边是关于x的整式的平方，右边是正的常数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题时可以将$(x+1)$看作一个整体，根据平方根的定义对等式两边同时开平方，把原二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的解。
【解析】
对$(x+1)^2=4$两边同时开平方，得：
$x+1=\pm\sqrt{4}=\pm2$
分两种情况分别求解：
当$x+1=2$时，解得$x=2-1=1$；
当$x+1=-2$时，解得$x=-2-1=-3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题核心是识别方程的结构特征，将含未知数的括号部分视为整体通过开平方运算降次，计算量小，熟练掌握直接开平方法的适用场景即可快速解答。
【难度系数】
0.9
观察方程形式，左边是关于x的整式的平方，右边是正的常数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题时可以将$(x+1)$看作一个整体，根据平方根的定义对等式两边同时开平方，把原二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的解。
【解析】
对$(x+1)^2=4$两边同时开平方，得：
$x+1=\pm\sqrt{4}=\pm2$
分两种情况分别求解：
当$x+1=2$时，解得$x=2-1=1$；
当$x+1=-2$时，解得$x=-2-1=-3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题核心是识别方程的结构特征，将含未知数的括号部分视为整体通过开平方运算降次，计算量小，熟练掌握直接开平方法的适用场景即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 若关于x的一元二次方程$(x-4)^2=m-1$可以用直接开平方法求解,则m的值可以是
（取一个即可）
1(答案不唯一)
.（取一个即可）
答案
2. 1(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确直接开平方法解一元二次方程的前提条件：形如$(ax+b)^2=p$的方程，只有当右边的$p$为非负数时，才能直接开平方求解，因为任意实数的平方都是非负数，负数没有平方根。本题中方程已经是$(x-4)^2=m-1$的形式，左边是平方项，因此只需让右边的$m-1$满足非负的要求，求出$m$的取值范围后，在范围内任取一个值即可。
【解析】
用直接开平方法解一元二次方程$(x-4)^2=m-1$，需满足右边的被开方数为非负数，即：
$m-1≥0$
解不等式得：$m≥1$
因此只需取大于等于1的任意实数都符合要求，例如取$m=1$。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的适用条件，解题核心是牢记平方项的非负性，根据条件列出不等式就能快速得到$m$的取值范围。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确直接开平方法解一元二次方程的前提条件：形如$(ax+b)^2=p$的方程，只有当右边的$p$为非负数时，才能直接开平方求解，因为任意实数的平方都是非负数，负数没有平方根。本题中方程已经是$(x-4)^2=m-1$的形式，左边是平方项，因此只需让右边的$m-1$满足非负的要求，求出$m$的取值范围后，在范围内任取一个值即可。
【解析】
用直接开平方法解一元二次方程$(x-4)^2=m-1$，需满足右边的被开方数为非负数，即：
$m-1≥0$
解不等式得：$m≥1$
因此只需取大于等于1的任意实数都符合要求，例如取$m=1$。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的适用条件，解题核心是牢记平方项的非负性，根据条件列出不等式就能快速得到$m$的取值范围。
【难度系数】
0.8
3. 电流通过导线时会产生热量. 电流$I$(单位:A)、导线电阻$R$(单位:$\Omega$)、通电时间$t$(单位:s)与产生的热量$Q$(单位:J)满足: $Q=I^2Rt$. 已知导线的电阻$4\ \Omega$,$1\ \mathrm{s}$的时间导线产生$40\ \mathrm{J}$的热量,则电流$I$为
$\sqrt{10}$
A.(结果用二次根式表示)答案
3. $\sqrt{10}$
解析
【分析】
题目给出了电流产生热量的计算公式，已知热量Q、电阻R、通电时间t的取值，要求电流I。解题时首先对公式$Q=I^2Rt$进行变形，把$I^2$单独放在等式一侧，再代入已知数值计算，最后结合电流为正数的实际意义，取正的平方根就能得到I的结果。
【解析】
已知热量公式为$Q=I^2Rt$，将$R=4\Omega$，$t=1s$，$Q=40J$代入公式：
$40 = I^2 × 4 × 1$
整理等式可得：
$4I^2 = 40$
等式两边同时除以4得：
$I^2 = 10$
由于电流I为正数，舍去负根，因此$I=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式的应用；算术平方根；代数式求值
【点评】
本题属于跨学科基础计算题，结合物理焦耳定律考查二次根式的计算，解题时要注意结合实际问题的意义，对开平方的结果进行合理取舍。
【难度系数】
0.8
题目给出了电流产生热量的计算公式，已知热量Q、电阻R、通电时间t的取值，要求电流I。解题时首先对公式$Q=I^2Rt$进行变形，把$I^2$单独放在等式一侧，再代入已知数值计算，最后结合电流为正数的实际意义，取正的平方根就能得到I的结果。
【解析】
已知热量公式为$Q=I^2Rt$，将$R=4\Omega$，$t=1s$，$Q=40J$代入公式：
$40 = I^2 × 4 × 1$
整理等式可得：
$4I^2 = 40$
等式两边同时除以4得：
$I^2 = 10$
由于电流I为正数，舍去负根，因此$I=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式的应用；算术平方根；代数式求值
【点评】
本题属于跨学科基础计算题，结合物理焦耳定律考查二次根式的计算，解题时要注意结合实际问题的意义，对开平方的结果进行合理取舍。
【难度系数】
0.8
4*. 我们用符号$\min\{p,q\}$表示$p,q$两实数中较小的数，如$\min\{-1,2\}=-1$. 若$\min\{(x-1)^2,x^2\}=9$，则$x=$
-3或4
.答案
4. -3或4
解析
【分析】
首先理解新定义符号$\min\{p,q\}$的含义：取p、q中较小的数。已知$\min\{(x-1)^2,x^2\}=9$，说明较小的代数式值为9，因此分两种情况讨论：①若$(x-1)^2≤ x^2$，则$(x-1)^2=9$且$x^2≥9$；②若$x^2＜(x-1)^2$，则$x^2=9$且$(x-1)^2≥9$。分别求解两种情况的x值后，验证是否符合对应情况的前提条件，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$(x-1)^2 ≤ x^2$时，$\min\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=9$
对$(x-1)^2=9$开平方得：$x-1=\pm3$
解得$x=4$或$x=-2$
化简前提不等式$(x-1)^2 ≤ x^2$：
$x^2-2x+1≤ x^2$，得$x≥\frac{1}{2}$
因此$x=-2$不符合条件，舍去，保留$x=4$。
2. 当$x^2 ＜ (x-1)^2$时，$\min\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=9$
对$x^2=9$开平方得：$x=\pm3$
化简前提不等式$x^2 ＜ (x-1)^2$：
$x^2 ＜ x^2-2x+1$，得$x＜\frac{1}{2}$
因此$x=3$不符合条件，舍去，保留$x=-3$。
综上，满足条件的x的值为-3或4。
【答案】
-3或4
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义符号考查一元二次方程的解法，解题核心是准确理解新定义的运算规则，分类讨论求解后要注意验证解是否符合对应分类的前提，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
首先理解新定义符号$\min\{p,q\}$的含义：取p、q中较小的数。已知$\min\{(x-1)^2,x^2\}=9$，说明较小的代数式值为9，因此分两种情况讨论：①若$(x-1)^2≤ x^2$，则$(x-1)^2=9$且$x^2≥9$；②若$x^2＜(x-1)^2$，则$x^2=9$且$(x-1)^2≥9$。分别求解两种情况的x值后，验证是否符合对应情况的前提条件，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$(x-1)^2 ≤ x^2$时，$\min\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=9$
对$(x-1)^2=9$开平方得：$x-1=\pm3$
解得$x=4$或$x=-2$
化简前提不等式$(x-1)^2 ≤ x^2$：
$x^2-2x+1≤ x^2$，得$x≥\frac{1}{2}$
因此$x=-2$不符合条件，舍去，保留$x=4$。
2. 当$x^2 ＜ (x-1)^2$时，$\min\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=9$
对$x^2=9$开平方得：$x=\pm3$
化简前提不等式$x^2 ＜ (x-1)^2$：
$x^2 ＜ x^2-2x+1$，得$x＜\frac{1}{2}$
因此$x=3$不符合条件，舍去，保留$x=-3$。
综上，满足条件的x的值为-3或4。
【答案】
-3或4
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义符号考查一元二次方程的解法，解题核心是准确理解新定义的运算规则，分类讨论求解后要注意验证解是否符合对应分类的前提，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 解下列方程：
(1)$9t^2 -16=0$
(2)$(3x+2)^2=25$
(3)$(x+1)^2 -4=0$
(4)$(2-x)^2 +9=0$
1. 解下列方程：
(1)$9t^2 -16=0$
(2)$(3x+2)^2=25$
(3)$(x+1)^2 -4=0$
(4)$(2-x)^2 +9=0$
答案
1. (1) $t_1=\dfrac{4}{3},t_2=-\dfrac{4}{3}$ (2) $x_1=1,x_2=-\dfrac{7}{3}$ (3) $x_1=1,x_2=-3$ (4) 无解
解析
【分析】
这4道题均适合用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程结构，均可以通过移项、系数化为1变形为“含未知数的完全平方式=常数”的形式；若常数为负数，根据实数平方的非负性可直接判断方程无实数根；若常数非负，根据平方根的定义对等式两边开平方，将一元二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 移项得：$9t^2=16$
系数化为1得：$t^2=\dfrac{16}{9}$
开平方得：$t=\pm\dfrac{4}{3}$
即 $t_1=\dfrac{4}{3},t_2=-\dfrac{4}{3}$
(2) 开平方得：$3x+2=\pm5$
当$3x+2=5$时，解得$x=1$
当$3x+2=-5$时，解得$x=-\dfrac{7}{3}$
即 $x_1=1,x_2=-\dfrac{7}{3}$
(3) 移项得：$(x+1)^2=4$
开平方得：$x+1=\pm2$
当$x+1=2$时，解得$x=1$
当$x+1=-2$时，解得$x=-3$
即 $x_1=1,x_2=-3$
(4) 移项得：$(2-x)^2=-9$
$\because$ 任意实数的平方均为非负数，即$(2-x)^2≥0$，$-9＜0$
$\therefore$ 该方程无实数解
【答案】
(1) $t_1=\dfrac{4}{3},t_2=-\dfrac{4}{3}$ (2) $x_1=1,x_2=-\dfrac{7}{3}$ (3) $x_1=1,x_2=-3$ (4) 无解
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、平方的非负性
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，核心是将方程转化为完全平方式等于常数的形式，解题时需注意开平方后存在正负两种情况，不要漏解，同时要熟练运用平方的非负性判断无实根的情况，掌握该类题型可为后续学习更复杂的一元二次方程解法打好基础。
【难度系数】
0.8
这4道题均适合用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程结构，均可以通过移项、系数化为1变形为“含未知数的完全平方式=常数”的形式；若常数为负数，根据实数平方的非负性可直接判断方程无实数根；若常数非负，根据平方根的定义对等式两边开平方，将一元二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 移项得：$9t^2=16$
系数化为1得：$t^2=\dfrac{16}{9}$
开平方得：$t=\pm\dfrac{4}{3}$
即 $t_1=\dfrac{4}{3},t_2=-\dfrac{4}{3}$
(2) 开平方得：$3x+2=\pm5$
当$3x+2=5$时，解得$x=1$
当$3x+2=-5$时，解得$x=-\dfrac{7}{3}$
即 $x_1=1,x_2=-\dfrac{7}{3}$
(3) 移项得：$(x+1)^2=4$
开平方得：$x+1=\pm2$
当$x+1=2$时，解得$x=1$
当$x+1=-2$时，解得$x=-3$
即 $x_1=1,x_2=-3$
(4) 移项得：$(2-x)^2=-9$
$\because$ 任意实数的平方均为非负数，即$(2-x)^2≥0$，$-9＜0$
$\therefore$ 该方程无实数解
【答案】
(1) $t_1=\dfrac{4}{3},t_2=-\dfrac{4}{3}$ (2) $x_1=1,x_2=-\dfrac{7}{3}$ (3) $x_1=1,x_2=-3$ (4) 无解
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、平方的非负性
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，核心是将方程转化为完全平方式等于常数的形式，解题时需注意开平方后存在正负两种情况，不要漏解，同时要熟练运用平方的非负性判断无实根的情况，掌握该类题型可为后续学习更复杂的一元二次方程解法打好基础。
【难度系数】
0.8
2. 如果$a,b$为实数,满足$\sqrt{3a+4}+b^2-12b+36=0$,求$ab$的值.
答案
2. -8
解析
【分析】
首先观察等式结构，等式中含有算术平方根和关于b的二次三项式，可先利用完全平方公式对关于b的二次三项式配方，将原式转化为两个非负数（算术平方根、完全平方式）相加等于0的形式。再根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，分别列方程求解a、b的值，最后代入计算ab即可。
【解析】
先对原式变形，将后三项配方：
$\sqrt{3a+4} + b^2 -12b +36 = 0$
整理得：$\sqrt{3a+4} + (b-6)^2 = 0$
∵ 算术平方根$\sqrt{3a+4} ≥ 0$，完全平方式$(b-6)^2 ≥ 0$，且两个非负数的和为0
∴ $\begin{cases} 3a + 4 = 0 \\ b - 6 = 0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} a = -\dfrac{4}{3} \\ b = 6 \end{cases}$
将a、b代入ab计算：
$ab = -\dfrac{4}{3} × 6 = -8$
【答案】
-8
【知识点】
非负数的性质、完全平方公式、算术平方根的非负性
【点评】
本题是代数基础计算题，核心考查配方法的应用以及非负数性质的理解，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过配方将原式转化为非负数求和的形式即可快速求解，是该类知识点的典型常考题。
【难度系数】
0.8
首先观察等式结构，等式中含有算术平方根和关于b的二次三项式，可先利用完全平方公式对关于b的二次三项式配方，将原式转化为两个非负数（算术平方根、完全平方式）相加等于0的形式。再根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，分别列方程求解a、b的值，最后代入计算ab即可。
【解析】
先对原式变形，将后三项配方：
$\sqrt{3a+4} + b^2 -12b +36 = 0$
整理得：$\sqrt{3a+4} + (b-6)^2 = 0$
∵ 算术平方根$\sqrt{3a+4} ≥ 0$，完全平方式$(b-6)^2 ≥ 0$，且两个非负数的和为0
∴ $\begin{cases} 3a + 4 = 0 \\ b - 6 = 0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} a = -\dfrac{4}{3} \\ b = 6 \end{cases}$
将a、b代入ab计算：
$ab = -\dfrac{4}{3} × 6 = -8$
【答案】
-8
【知识点】
非负数的性质、完全平方公式、算术平方根的非负性
【点评】
本题是代数基础计算题，核心考查配方法的应用以及非负数性质的理解，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过配方将原式转化为非负数求和的形式即可快速求解，是该类知识点的典型常考题。
【难度系数】
0.8
