登录
2. 已知$x=1$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx-40=0$的一个解，且$a≠b$，求$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b}$的值.
答案
2. 20
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程解的定义，将x=1代入原方程，求出a+b的数值；再对所求分式进行化简，分子用平方差公式因式分解，分母提取公因式，结合已知条件a≠b约去公因式后，将a+b的值代入即可计算出结果。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$ax^2+bx-40=0$的一个解，
∴将x=1代入方程得：$a×1^2 + b×1 - 40 = 0$，
整理得$a + b = 40$。
对所求代数式化简：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{(a+b)(a-b)}{2(a-b)}$
∵$a≠b$，
∴$a-b≠0$，可约去公因式$a-b$，
得原式$=\frac{a+b}{2}$
将$a+b=40$代入得：$\frac{40}{2}=20$。
【答案】
20
【知识点】
1.一元二次方程的解
2.因式分解
3.分式化简求值
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查点是方程解的含义和代数式的化简技巧，解题时不需要分别求出a、b的具体数值，通过整体代入即可快速得出结果，能有效考查学生的化简计算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程解的定义，将x=1代入原方程，求出a+b的数值；再对所求分式进行化简，分子用平方差公式因式分解，分母提取公因式，结合已知条件a≠b约去公因式后，将a+b的值代入即可计算出结果。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$ax^2+bx-40=0$的一个解，
∴将x=1代入方程得：$a×1^2 + b×1 - 40 = 0$，
整理得$a + b = 40$。
对所求代数式化简：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{(a+b)(a-b)}{2(a-b)}$
∵$a≠b$，
∴$a-b≠0$，可约去公因式$a-b$，
得原式$=\frac{a+b}{2}$
将$a+b=40$代入得：$\frac{40}{2}=20$。
【答案】
20
【知识点】
1.一元二次方程的解
2.因式分解
3.分式化简求值
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查点是方程解的含义和代数式的化简技巧，解题时不需要分别求出a、b的具体数值，通过整体代入即可快速得出结果，能有效考查学生的化简计算能力。
【难度系数】
0.8
3. 学校打算用长16 m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物,生物园的一面靠墙(如图),面积是30 m²,求生物园的长和宽.设生物园的宽(与墙垂直的一边)为x m,根据题意列出方程并化为一般形式.
答案
$x(16-2x)=30$,一般形式为$x^2-8x+15=0$
解析
【分析】
解题时先明确篱笆的组成：因为生物园一面靠墙，所以16m长的篱笆仅需围2条与墙垂直的宽和1条与墙平行的长。已知宽为x m，可先表示出长为(16-2x)m，再根据“长方形面积=长×宽”的等量关系列出方程，最后整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程一般形式即可。
【解析】
解：设生物园与墙垂直的宽为$x$ m，
则与墙平行的长为$(16-2x)$ m，
根据长方形面积为$30 \ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(16-2x)=30$
将方程整理为一般形式：
展开左边得$16x - 2x^2 = 30$，
移项后两边同时除以$-2$，整理得：
$x^2 - 8x + 15 = 0$
【答案】
$x(16-2x)=30$，一般形式为$x^2-8x+15=0$
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程一般形式；矩形面积计算
【点评】
本题是实际生活中的矩形围建问题，解题核心是结合靠墙的条件正确表示出矩形的长，再利用面积公式建立等量关系，侧重考查将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.8
解题时先明确篱笆的组成：因为生物园一面靠墙，所以16m长的篱笆仅需围2条与墙垂直的宽和1条与墙平行的长。已知宽为x m，可先表示出长为(16-2x)m，再根据“长方形面积=长×宽”的等量关系列出方程，最后整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程一般形式即可。
【解析】
解：设生物园与墙垂直的宽为$x$ m，
则与墙平行的长为$(16-2x)$ m，
根据长方形面积为$30 \ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(16-2x)=30$
将方程整理为一般形式：
展开左边得$16x - 2x^2 = 30$，
移项后两边同时除以$-2$，整理得：
$x^2 - 8x + 15 = 0$
【答案】
$x(16-2x)=30$，一般形式为$x^2-8x+15=0$
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程一般形式；矩形面积计算
【点评】
本题是实际生活中的矩形围建问题，解题核心是结合靠墙的条件正确表示出矩形的长，再利用面积公式建立等量关系，侧重考查将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】
0.8
一、选择题
1. 一元二次方程$x^2 -1=0$的根为(
A.$x=-1$
B.$x=1$
C.$x=\pm1$
D.$x=0$
1. 一元二次方程$x^2 -1=0$的根为(
C
)A.$x=-1$
B.$x=1$
C.$x=\pm1$
D.$x=0$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的基础求解，解题可选择两种常用思路：思路1：利用直接开平方法，先将常数项移到等号右侧，再对等式两边同时开平方得到方程的根；思路2：利用平方差公式对等式左侧因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理求解根，两种方法均属于一元二次方程的基础解法，步骤简单易掌握。
【解析】
解法一（直接开平方法）：
对原方程移项，得：$x^2=1$
等式两边同时开平方，得：$x=\pm\sqrt{1}$
化简得$x=\pm1$，即方程的根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
解法二（因式分解法）：
原方程左侧符合平方差公式，因式分解得：$(x-1)(x+1)=0$
因此有$x-1=0$或$x+1=0$
分别解得$x_1=1$，$x_2=-1$，即方程的根为$x=\pm1$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 直接开平方法
3. 因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，考查最基础的解方程方法，难度较低，熟练掌握这类基础题的解法，是后续学习复杂一元二次方程解法的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的基础求解，解题可选择两种常用思路：思路1：利用直接开平方法，先将常数项移到等号右侧，再对等式两边同时开平方得到方程的根；思路2：利用平方差公式对等式左侧因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理求解根，两种方法均属于一元二次方程的基础解法，步骤简单易掌握。
【解析】
解法一（直接开平方法）：
对原方程移项，得：$x^2=1$
等式两边同时开平方，得：$x=\pm\sqrt{1}$
化简得$x=\pm1$，即方程的根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
解法二（因式分解法）：
原方程左侧符合平方差公式，因式分解得：$(x-1)(x+1)=0$
因此有$x-1=0$或$x+1=0$
分别解得$x_1=1$，$x_2=-1$，即方程的根为$x=\pm1$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 直接开平方法
3. 因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，考查最基础的解方程方法，难度较低，熟练掌握这类基础题的解法，是后续学习复杂一元二次方程解法的前提。
【难度系数】
0.9
2. 下列方程中无实数根的是(
A.$x^2=0$
B.$x^2-\dfrac{1}{3}=0$
C.$-x^2+4=0$
D.$x^2+9=0$
D
)A.$x^2=0$
B.$x^2-\dfrac{1}{3}=0$
C.$-x^2+4=0$
D.$x^2+9=0$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，本题可通过移项将各选项方程变形为$x^2=a$的形式，根据“任意实数的平方都是非负数（即$x^2≥0$）”的性质判断：若$a≥0$，方程有实数根；若$a＜0$，方程无实数根。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方程$x^2=0$，解得$x=0$，有实数根，不符合题意；
B. 对$x^2-\frac{1}{3}=0$移项得$x^2=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}＞0$，有实数根$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$，不符合题意；
C. 对$-x^2+4=0$移项得$x^2=4$，$4＞0$，有实数根$x=\pm2$，不符合题意；
D. 对$x^2+9=0$移项得$x^2=-9$，$-9＜0$，不存在实数$x$满足等式，方程无实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 实数平方的非负性
2. 直接开平方法解方程
3. 一元二次方程实根判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查对实数平方性质的掌握和直接开平方法解一元二次方程的应用，解题时只需将方程变形为$x^2=a$的形式即可快速判断，计算量小。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程是否有实数根，本题可通过移项将各选项方程变形为$x^2=a$的形式，根据“任意实数的平方都是非负数（即$x^2≥0$）”的性质判断：若$a≥0$，方程有实数根；若$a＜0$，方程无实数根。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方程$x^2=0$，解得$x=0$，有实数根，不符合题意；
B. 对$x^2-\frac{1}{3}=0$移项得$x^2=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}＞0$，有实数根$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$，不符合题意；
C. 对$-x^2+4=0$移项得$x^2=4$，$4＞0$，有实数根$x=\pm2$，不符合题意；
D. 对$x^2+9=0$移项得$x^2=-9$，$-9＜0$，不存在实数$x$满足等式，方程无实数根，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 实数平方的非负性
2. 直接开平方法解方程
3. 一元二次方程实根判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查对实数平方性质的掌握和直接开平方法解一元二次方程的应用，解题时只需将方程变形为$x^2=a$的形式即可快速判断，计算量小。
【难度系数】
0.9
3. 若$x=-1$是方程$x^2 - 2(a+1)^2 x -9=0$的一个根,则$a$的值是(
A.1或-1
B.-1或3
C.1或-3
D.3或-3
C
)A.1或-1
B.-1或3
C.1或-3
D.3或-3
答案
3. C
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=-1是方程的根，只需将x=-1代入原方程，即可得到只含有参数a的方程，再求解这个关于a的方程就能得到a的取值，最后匹配选项即可。
【解析】
∵x=-1是方程$x^2 - 2(a+1)^2 x -9=0$的一个根
∴将x=-1代入方程，等式成立，即：
$(-1)^2 - 2(a+1)^2 × (-1) -9 = 0$
化简计算：
$1 + 2(a+1)^2 - 9 = 0$
整理得：$2(a+1)^2 = 8$
两边同时除以2：$(a+1)^2 = 4$
开平方得：$a+1 = \pm 2$
当$a+1=2$时，$a=1$；当$a+1=-2$时，$a=-3$
∴a的值为1或-3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的应用，将已知根代入原方程转化为参数方程求解是常规解题思路，计算量小，掌握基础定义即可得分。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=-1是方程的根，只需将x=-1代入原方程，即可得到只含有参数a的方程，再求解这个关于a的方程就能得到a的取值，最后匹配选项即可。
【解析】
∵x=-1是方程$x^2 - 2(a+1)^2 x -9=0$的一个根
∴将x=-1代入方程，等式成立，即：
$(-1)^2 - 2(a+1)^2 × (-1) -9 = 0$
化简计算：
$1 + 2(a+1)^2 - 9 = 0$
整理得：$2(a+1)^2 = 8$
两边同时除以2：$(a+1)^2 = 4$
开平方得：$a+1 = \pm 2$
当$a+1=2$时，$a=1$；当$a+1=-2$时，$a=-3$
∴a的值为1或-3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的应用，将已知根代入原方程转化为参数方程求解是常规解题思路，计算量小，掌握基础定义即可得分。
【难度系数】
0.8
4. 某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是(
A.$\pm\sqrt{2}$
B.2或$-\sqrt{2}$
C.2或$\pm\sqrt{2}$
D.2
A
)A.$\pm\sqrt{2}$
B.2或$-\sqrt{2}$
C.2或$\pm\sqrt{2}$
D.2
答案
4. A
解析
【分析】
该数值转换器采用分段运算规则，自变量x的取值范围不同，对应的运算代数式不同。已知输出值为4求输入x，需分$x≤2$和$x＞2$两种情况分别列方程求解，求出解后要验证是否符合对应区间的x取值范围，不符合的解要舍去，最终汇总符合条件的x值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$x ≤ 2$时，由运算规则列方程：
$x^2 + 2 = 4$
移项得$x^2 = 2$，解得$x = \sqrt{2}$或$x = -\sqrt{2}$，两个值均满足$x ≤ 2$，符合要求；
2. 当$x ＞ 2$时，由运算规则列方程：
$2x = 4$
解得$x = 2$，但$2$不满足$x ＞ 2$的条件，因此该解舍去。
综上，输入的$x$值为$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
分段函数求值，解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题考查分段运算的逆向求值问题，解题的关键是明确不同自变量范围对应的运算规则，求解后要注意验证解是否符合对应区间的取值要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
该数值转换器采用分段运算规则，自变量x的取值范围不同，对应的运算代数式不同。已知输出值为4求输入x，需分$x≤2$和$x＞2$两种情况分别列方程求解，求出解后要验证是否符合对应区间的x取值范围，不符合的解要舍去，最终汇总符合条件的x值即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$x ≤ 2$时，由运算规则列方程：
$x^2 + 2 = 4$
移项得$x^2 = 2$，解得$x = \sqrt{2}$或$x = -\sqrt{2}$，两个值均满足$x ≤ 2$，符合要求；
2. 当$x ＞ 2$时，由运算规则列方程：
$2x = 4$
解得$x = 2$，但$2$不满足$x ＞ 2$的条件，因此该解舍去。
综上，输入的$x$值为$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
分段函数求值，解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题考查分段运算的逆向求值问题，解题的关键是明确不同自变量范围对应的运算规则，求解后要注意验证解是否符合对应区间的取值要求，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
