12.（浙江中考）如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，$AE$是边$BC$上的中线，$AB=10$，$AD=6$，$\tan∠ ACB=1$. 求：（1）$BC$的长；（2）$\sin∠ DAE$的值. （第12题）

12. (1) $\because AD ⊥ BC$，$AB = 10$，$AD = 6$，$\therefore BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$. $\because \tan∠ACB = 1, \therefore CD = AD = 6. \therefore BC = BD + CD = 8 + 6 = 14$
(2) $\because AE$是边$BC$上的中线，$\therefore CE = \frac{1}{2}BC = 7. \therefore DE = CE - CD = 7 - 6 = 1. \because AD ⊥ BC, \therefore AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}. \therefore \sin∠DAE = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$

【分析】
本题为解直角三角形的应用类题目，分两步思考解题：
（1）求BC的长度：观察图形可得BC=BD+CD，因此只需分别计算BD、CD的长度再求和即可。已知AD⊥BC，△ABD为直角三角形，已知AB、AD的长度，可直接用勾股定理算出BD；在Rt△ADC中，由tan∠ACB=1，结合正切的定义可得CD=AD，即可得到CD的长度。
（2）求sin∠DAE的值：锐角的正弦值为直角三角形中该角的对边与斜边的比值，因此先找到∠DAE所在的Rt△ADE，再计算对应边的长度即可。首先根据AE是BC中线，算出CE的长度，用CE减去CD得到DE的长度；再用勾股定理算出斜边AE的长度，最后根据正弦的定义计算比值，分母有理化后得到结果。
【解析】
(1) $\because AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=10$，$AD=6$，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan∠ ACB = \frac{AD}{CD}=1$
$\therefore CD = AD = 6$
$\therefore BC = BD + CD = 8 + 6 = 14$
(2) $\because AE$是边$BC$上的中线
$\therefore CE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 14 = 7$
$\therefore DE = CE - CD = 7 - 6 = 1$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$
根据正弦的定义：
$\sin∠ DAE = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$
【答案】
（1）$BC$的长为$\boxed{14}$；（2）$\sin∠ DAE$的值为$\boxed{\dfrac{\sqrt{37}}{37}}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义；三角形中线的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的常规基础题型，解题核心是将待求的线段、角度放在直角三角形中分析计算，需要熟练掌握勾股定理、锐角三角函数的定义，计算时注意最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7

13. 图①是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起.图②是其示意图，其中四边形BCDE是矩形，AB=CD=3.3m，BC=1m，现由于故障，AB不能完全升起，∠ABE最大为42°.
（1）故障时，点A距离地面最高多少米？
（2）若一辆箱式小货车宽1.8m，高2.4m，则这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？请说明理由.
（精确到0.1m.参考数据：$\sin42° \approx 0.67$，$\cos42° \approx 0.74$，$\tan42° \approx 0.9$）

13. (1) 如图，过点A作$AF ⊥ BE$，垂足为F. 在$Rt△ABF$中，$∠ABE = 42°$，$AB = 3.3\ \mathrm{m}, \therefore AF = AB · \sin42° ≈ 3.3 × 0.67 = 2.211(\mathrm{m}). \because BC = 1\ \mathrm{m}, \therefore$ 故障时，点A距离地面最高为$2.211 + 1 ≈ 3.2(\mathrm{m})$
(2) 不能. 理由如下：如图，在DC上截取$DH = 1.8\ \mathrm{m}$，过点H作$GH ⊥ CD$，交BE于点M，交AB于点G. 根据题意，得$BC = MH = 1\ \mathrm{m}$，$DH = ME = 1.8\ \mathrm{m}$，$BE = CD = 3.3\ \mathrm{m}. \therefore BM = BE - EM = 3.3 - 1.8 = 1.5(\mathrm{m})$. 在$Rt△BMG$中，$∠ABE = 42°, \therefore GM = BM · \tan42° ≈ 1.5 × 0.9 = 1.35(\mathrm{m}). \therefore GH = GM + MH = 1.35 + 1 = 2.35(\mathrm{m}). \because 2.35\ \mathrm{m} ＜ 2.4\ \mathrm{m}, \therefore$ 这辆车不能在升降杆故障时进入停车场

【分析】
（1）求点A到地面的最高高度时，已知矩形BCDE的BC边长为1m，即BE边到地面的高度固定为1m，因此只需先求出点A到BE的垂直距离，再加1m即可得到结果。我们可过点A作AF垂直BE于F，构造直角三角形ABF，已知∠ABE和AB的长度，选择正弦函数即可求出AF的长度。
（2）判断货车能否进入，需计算距离墙角D点1.8m位置处升降杆的离地高度，再和货车高度2.4m比较。可在DC上截取DH=1.8m，过H作GH垂直CD交AB于G，GH就是该位置升降杆的离地高度。利用矩形性质求出BM的长度，构造直角三角形BMG，选择正切函数求出GM长度，加上MH的长度得到GH，比较GH和2.4m的大小即可得出结论。
【解析】
（1）如图，过点A作$AF ⊥ BE$，垂足为F。
在$Rt△ABF$中，$∠ABE = 42°$，$AB = 3.3\ \mathrm{m}$，
$\therefore AF = AB · \sin42° ≈ 3.3 × 0.67 = 2.211(\mathrm{m})$。
∵ 四边形BCDE是矩形，$BC = 1\ \mathrm{m}$，即BE到地面CD的高度为1m，
∴ 故障时点A距离地面的最高高度为$2.211 + 1 ≈ 3.2(\mathrm{m})$。
（2）这辆车不能进入，理由如下：
如图，在DC上截取$DH = 1.8\ \mathrm{m}$，过点H作$GH ⊥ CD$，交BE于点M，交AB于点G。
根据矩形的性质可得：$BC = MH = 1\ \mathrm{m}$，$DH = ME = 1.8\ \mathrm{m}$，$BE = CD = 3.3\ \mathrm{m}$，
$\therefore BM = BE - EM = 3.3 - 1.8 = 1.5(\mathrm{m})$。
在$Rt△BMG$中，$∠ABE = 42°$，
$\therefore GM = BM · \tan42° ≈ 1.5 × 0.9 = 1.35(\mathrm{m})$，
$\therefore GH = GM + MH = 1.35 + 1 = 2.35(\mathrm{m})$。
∵ $2.35\ \mathrm{m} ＜ 2.4\ \mathrm{m}$，
∴ 这辆车不能在升降杆故障时进入停车场。
【答案】
(1) 故障时，点A距离地面最高约为3.2m
(2) 不能，理由详见解析
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数计算
【点评】
本题结合生活中升降杆的实际场景，考查了解直角三角形的实际应用，解题的核心是根据需求构造合适的直角三角形，选择对应的锐角三角函数求解，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65