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8.（宿迁中考）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A、B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A、B、C在同一水平面内），小明同学在点A处测得∠BAC为42°，小军同学在点B处测得∠ABC为61°，两人之间的距离AB为60 m，求此河流的宽度.（参考数据：$\sin42° \approx 0.67$，$\tan42° \approx 0.90$，$\sin61° \approx 0.87$，$\tan61° \approx 1.80$）
答案
8. 如图，过点C作$CD ⊥ AB$于点D. 设$AD = x\ \mathrm{m}$，则由题意，得$BD = (60 - x)\mathrm{m}$. 在$Rt△ADC$中，$∠BAC = 42°$，$\tan A = \frac{CD}{AD}$. $\therefore CD = \tan A · AD = 0.9x\ \mathrm{m}$. 在$Rt△CDB$中，$\because ∠ABC = 61°$，$\tan B = \frac{CD}{BD}, \therefore 1.8 = \frac{0.9x}{60 - x}$. 解得$x = 40. \therefore CD = 0.9 × 40 = 36(\mathrm{m})$. 即此河流的宽度为36 m
解析
【分析】
要求河流的宽度，本质是求点C到直线AB的垂直距离，因此首先过点C作CD⊥AB于D，CD即为河宽。此时得到两个含已知角的直角三角形Rt△ADC和Rt△CDB，两个三角形的公共边是CD，AB总长为60m，可设AD为x m，则BD为(60-x)m，分别在两个直角三角形中利用正切函数表示出CD的长度，根据CD长度相等建立方程，求解即可得到河宽。
【解析】
解：过点C作$CD ⊥ AB$于点D，CD即为河流的宽度。
设$AD = x\ \mathrm{m}$，则$BD = AB - AD = (60 - x)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠BAC = 42°$，由正切的定义得：
$\tan42° = \frac{CD}{AD}$
$\therefore CD = AD · \tan42° \approx 0.9x\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△CDB$中，$∠ABC = 61°$，由正切的定义得：
$\tan61° = \frac{CD}{BD}$
将$CD≈0.9x$、$BD=60-x$、$\tan61°≈1.8$代入得：
$1.8 = \frac{0.9x}{60 - x}$
解方程得：
$1.8(60 - x) = 0.9x$
$108 - 1.8x = 0.9x$
$2.7x = 108$
$x = 40$
$\therefore CD \approx 0.9 × 40 = 36(\mathrm{m})$
【答案】
此河流的宽度为36 m
【知识点】
解直角三角形的应用；正切函数；方程思想
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型应用，通过作垂线构造直角三角形，利用公共边建立等量关系列方程求解，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，能将实际问题转化为几何解直角三角形问题。
【难度系数】
0.7
要求河流的宽度，本质是求点C到直线AB的垂直距离，因此首先过点C作CD⊥AB于D，CD即为河宽。此时得到两个含已知角的直角三角形Rt△ADC和Rt△CDB，两个三角形的公共边是CD，AB总长为60m，可设AD为x m，则BD为(60-x)m，分别在两个直角三角形中利用正切函数表示出CD的长度，根据CD长度相等建立方程，求解即可得到河宽。
【解析】
解：过点C作$CD ⊥ AB$于点D，CD即为河流的宽度。
设$AD = x\ \mathrm{m}$，则$BD = AB - AD = (60 - x)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠BAC = 42°$，由正切的定义得：
$\tan42° = \frac{CD}{AD}$
$\therefore CD = AD · \tan42° \approx 0.9x\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△CDB$中，$∠ABC = 61°$，由正切的定义得：
$\tan61° = \frac{CD}{BD}$
将$CD≈0.9x$、$BD=60-x$、$\tan61°≈1.8$代入得：
$1.8 = \frac{0.9x}{60 - x}$
解方程得：
$1.8(60 - x) = 0.9x$
$108 - 1.8x = 0.9x$
$2.7x = 108$
$x = 40$
$\therefore CD \approx 0.9 × 40 = 36(\mathrm{m})$
【答案】
此河流的宽度为36 m
【知识点】
解直角三角形的应用；正切函数；方程思想
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型应用，通过作垂线构造直角三角形，利用公共边建立等量关系列方程求解，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，能将实际问题转化为几何解直角三角形问题。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以点$B$为圆心、$BC$长为半径画弧,交$AC$于点$C$、$D$,再分别以点$C$、$D$为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$长为半径画弧,两弧相交于点$E$,作射线$BE$交$AC$于点$H$.若$\cos A=\frac{4}{5}$, $CH=1$, 则$AH$的长为 【 】
A.$\frac{7}{2}$
B.$4$
C.$\frac{9}{2}$
D.$6$
（第9题）
A.$\frac{7}{2}$
B.$4$
C.$\frac{9}{2}$
D.$6$
（第9题）答案
B
解析
【分析】
首先识别作图痕迹，可知射线BE是线段CD的垂直平分线，因此BH⊥AC，得到Rt△ABH；已知cosA的比值，可结合三角函数的定义设参数表示AH、AB的长度；再利用AB=AC的等腰三角形性质，找到CH和参数的关系，代入CH=1即可求出参数，进而得到AH的长。
【解析】
解：由作图步骤可知，BE垂直平分线段CD，
∴ BH⊥AC，即∠AHB=90°，
在Rt△ABH中，$\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{4}{5}$，
设$AH = 4k$（$k＞0$），则$AB = 5k$，
由勾股定理得：$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(5k)^2 - (4k)^2} = 3k$，
∵ $AB=AC$，
∴ $AC = AB = 5k$，
∴ $CH = AC - AH = 5k - 4k = k$，
已知$CH=1$，
∴ $k=1$，
∴ $AH = 4k = 4×1 = 4$。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线尺规作图，等腰三角形性质，解直角三角形
【点评】
本题解题的关键是准确识别尺规作图的结果，得到垂直关系构建直角三角形，结合三角函数设参数简化计算，同时利用等腰三角形的边的关系建立已知量和未知量的联系。
【难度系数】
0.6
首先识别作图痕迹，可知射线BE是线段CD的垂直平分线，因此BH⊥AC，得到Rt△ABH；已知cosA的比值，可结合三角函数的定义设参数表示AH、AB的长度；再利用AB=AC的等腰三角形性质，找到CH和参数的关系，代入CH=1即可求出参数，进而得到AH的长。
【解析】
解：由作图步骤可知，BE垂直平分线段CD，
∴ BH⊥AC，即∠AHB=90°，
在Rt△ABH中，$\cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{4}{5}$，
设$AH = 4k$（$k＞0$），则$AB = 5k$，
由勾股定理得：$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(5k)^2 - (4k)^2} = 3k$，
∵ $AB=AC$，
∴ $AC = AB = 5k$，
∴ $CH = AC - AH = 5k - 4k = k$，
已知$CH=1$，
∴ $k=1$，
∴ $AH = 4k = 4×1 = 4$。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线尺规作图，等腰三角形性质，解直角三角形
【点评】
本题解题的关键是准确识别尺规作图的结果，得到垂直关系构建直角三角形，结合三角函数设参数简化计算，同时利用等腰三角形的边的关系建立已知量和未知量的联系。
【难度系数】
0.6
10. (广州中考)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,AD平分$∠ CAB$,已知$\cos∠ CAD=\dfrac{12}{13}$,$AB=26$,则点B到AD的距离为
10
答案
10. 10
解析
【分析】
要求点B到AD的距离，首先根据点到直线距离的定义，过点B作AD的垂线，垂线段的长度就是所求距离。已知AD是∠CAB的角平分线，可得∠CAD=∠DAB，结合给出的$\cos∠ CAD$的值，利用同角三角函数的基本关系可求出$\sin∠ DAB$的值，最后在构造的直角三角形中利用锐角三角函数的定义即可求出垂线段的长度。
【解析】
1. 过点B作$BE⊥ AD$，交AD的延长线于点E，线段BE的长度即为点B到AD的距离。
2. 因为AD平分$∠ CAB$，所以$∠ DAB=∠ CAD$。
3. 已知$\cos∠ CAD=\dfrac{12}{13}$，根据同角三角函数关系$\sin^2α+\cos^2α=1$，可得：
$\sin∠ CAD=\sqrt{1-(\dfrac{12}{13})^2}=\dfrac{5}{13}$，因此$\sin∠ DAB=\sin∠ CAD=\dfrac{5}{13}$。
4. 在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$AB=26$，由$\sin∠ DAB=\dfrac{BE}{AB}$得：
$BE=AB·\sin∠ DAB=26×\dfrac{5}{13}=10$。
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
角平分线的定义；同角三角函数的关系；解直角三角形
【点评】
本题综合考查了角平分线的性质和锐角三角函数的应用，解题的关键是正确构造出含所求线段的直角三角形，结合角平分线的性质得到对应角的三角函数值，再代入三角函数公式计算即可。
【难度系数】
0.6
要求点B到AD的距离，首先根据点到直线距离的定义，过点B作AD的垂线，垂线段的长度就是所求距离。已知AD是∠CAB的角平分线，可得∠CAD=∠DAB，结合给出的$\cos∠ CAD$的值，利用同角三角函数的基本关系可求出$\sin∠ DAB$的值，最后在构造的直角三角形中利用锐角三角函数的定义即可求出垂线段的长度。
【解析】
1. 过点B作$BE⊥ AD$，交AD的延长线于点E，线段BE的长度即为点B到AD的距离。
2. 因为AD平分$∠ CAB$，所以$∠ DAB=∠ CAD$。
3. 已知$\cos∠ CAD=\dfrac{12}{13}$，根据同角三角函数关系$\sin^2α+\cos^2α=1$，可得：
$\sin∠ CAD=\sqrt{1-(\dfrac{12}{13})^2}=\dfrac{5}{13}$，因此$\sin∠ DAB=\sin∠ CAD=\dfrac{5}{13}$。
4. 在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$AB=26$，由$\sin∠ DAB=\dfrac{BE}{AB}$得：
$BE=AB·\sin∠ DAB=26×\dfrac{5}{13}=10$。
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
角平分线的定义；同角三角函数的关系；解直角三角形
【点评】
本题综合考查了角平分线的性质和锐角三角函数的应用，解题的关键是正确构造出含所求线段的直角三角形，结合角平分线的性质得到对应角的三角函数值，再代入三角函数公式计算即可。
【难度系数】
0.6
11. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，$E$为$AC$的中点，连结$DE$。若$AB = 26$，$CD = 6$，$\sin B = \dfrac{5}{13}$，则$DE$的长为
$\sqrt{34}$
。答案
11. $\sqrt{34}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先由AD⊥BC可知△ABD、△ACD均为直角三角形。第一步，在Rt△ABD中，利用正弦的定义（对边比斜边），结合已知的AB长度和sinB的值求出AD的长度；第二步，在Rt△ACD中，已知AD和CD的长度，用勾股定理求出斜边AC的长度；第三步，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”的性质，E是AC中点，即可推出DE等于AC的一半，计算得到DE的长度。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=26，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{13}$，
∴$AD=AB×\sin B=26×\frac{5}{13}=10$，
在Rt△ADC中，AD=10，CD=6，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{10^2+6^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$，
∵E为AC的中点，∠ADC=90°，
∴DE是Rt△ADC斜边AC上的中线，
∴$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{34}=\sqrt{34}$。
【答案】
$\sqrt{34}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是直角三角形相关性质的综合应用题，解题逻辑清晰，只要熟练掌握直角三角形的三角函数、勾股定理和斜边中线性质就能顺利求解，是同类知识点的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先由AD⊥BC可知△ABD、△ACD均为直角三角形。第一步，在Rt△ABD中，利用正弦的定义（对边比斜边），结合已知的AB长度和sinB的值求出AD的长度；第二步，在Rt△ACD中，已知AD和CD的长度，用勾股定理求出斜边AC的长度；第三步，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”的性质，E是AC中点，即可推出DE等于AC的一半，计算得到DE的长度。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=26，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{13}$，
∴$AD=AB×\sin B=26×\frac{5}{13}=10$，
在Rt△ADC中，AD=10，CD=6，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{10^2+6^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$，
∵E为AC的中点，∠ADC=90°，
∴DE是Rt△ADC斜边AC上的中线，
∴$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{34}=\sqrt{34}$。
【答案】
$\sqrt{34}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是直角三角形相关性质的综合应用题，解题逻辑清晰，只要熟练掌握直角三角形的三角函数、勾股定理和斜边中线性质就能顺利求解，是同类知识点的典型基础题。
【难度系数】
0.7
