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3. (临夏州中考)如图，在△ABC中，AB=AC=5，$\sin B=\frac{4}{5}$，则BC的长为 【 】
A.3
B.6
C.8
D.9
A.3
B.6
C.8
D.9
答案
B
解析
【分析】
已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），要求底边BC的长度，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过A作底边BC的高AD，将BC转化为2BD，只需计算BD的长度即可。在构造出的Rt△ABD中，已知AB的长度和sinB的值，可先根据正弦的定义求出高AD的长度，再用勾股定理算出BD的长度，最终得到BC的长。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC=5，
∴D为BC的中点，即BC=2BD。
在Rt△ABD中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，
将AB=5代入得：$AD=AB×\frac{4}{5}=5×\frac{4}{5}=4$。
由勾股定理可得：$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
∴$BC=2BD=2×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是等腰三角形与解直角三角形结合的基础题型，通过作高构造直角三角形是解题的突破口，侧重考查学生对基础几何性质和三角函数的应用能力。
【难度系数】
0.8
已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），要求底边BC的长度，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过A作底边BC的高AD，将BC转化为2BD，只需计算BD的长度即可。在构造出的Rt△ABD中，已知AB的长度和sinB的值，可先根据正弦的定义求出高AD的长度，再用勾股定理算出BD的长度，最终得到BC的长。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
∵AB=AC=5，
∴D为BC的中点，即BC=2BD。
在Rt△ABD中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，
将AB=5代入得：$AD=AB×\frac{4}{5}=5×\frac{4}{5}=4$。
由勾股定理可得：$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
∴$BC=2BD=2×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是等腰三角形与解直角三角形结合的基础题型，通过作高构造直角三角形是解题的突破口，侧重考查学生对基础几何性质和三角函数的应用能力。
【难度系数】
0.8
4.（辽宁中考）如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得$∠ ACB＝51°$，$BC＝6\ \mathrm{m}$，则树AB的高约为
（第4题）
7.4
m.（精确到0.1 m.参考数据：$\sin51°\approx0.78$，$\cos51°\approx0.63$，$\tan51°\approx1.23$）（第4题）答案
4. 7.4
解析
【分析】
首先观察图形可知AB⊥BC，因此△ABC是直角三角形，∠B=90°。题目已知∠ACB=51°，邻边BC的长度为6m，要求对边AB的长度，根据锐角三角函数的定义，已知一个锐角和它的邻边求对边，选择正切函数计算即可，代入参考数据算出结果后按要求精确到0.1m。
【解析】
由题意得，$AB⊥ BC$，即$△ ABC$为直角三角形，$∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=51°$，$BC=6\ \mathrm{m}$，
根据正切的定义：$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，
所以$AB=BC·\tan51°$，
代入参考数据$\tan51°\approx1.23$，得：
$AB\approx6×1.23=7.38\approx7.4(\mathrm{m})$。
【答案】
7.4
【知识点】
正切函数的定义，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，结合实际测量场景考查学生对锐角三角函数的选择和计算能力，解题关键是明确直角三角形中边角对应关系，选对合适的三角函数列式计算。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知AB⊥BC，因此△ABC是直角三角形，∠B=90°。题目已知∠ACB=51°，邻边BC的长度为6m，要求对边AB的长度，根据锐角三角函数的定义，已知一个锐角和它的邻边求对边，选择正切函数计算即可，代入参考数据算出结果后按要求精确到0.1m。
【解析】
由题意得，$AB⊥ BC$，即$△ ABC$为直角三角形，$∠ B=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=51°$，$BC=6\ \mathrm{m}$，
根据正切的定义：$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，
所以$AB=BC·\tan51°$，
代入参考数据$\tan51°\approx1.23$，得：
$AB\approx6×1.23=7.38\approx7.4(\mathrm{m})$。
【答案】
7.4
【知识点】
正切函数的定义，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，结合实际测量场景考查学生对锐角三角函数的选择和计算能力，解题关键是明确直角三角形中边角对应关系，选对合适的三角函数列式计算。
【难度系数】
0.8
5. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，斜边上的中线$CD=6$，$\sin A=\frac{1}{3}$，则$S_{△ ABC}=$
$16\sqrt{2}$
。答案
5. $16\sqrt{2}$
解析
【分析】
拿到这道题我们可以按以下思路推导：首先看到直角三角形斜边上的中线，立刻联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可先求出斜边AB的长度；接下来已知sinA的值，根据锐角正弦的定义（锐角的正弦=对边/斜边），可以求出直角边BC的长度；此时直角三角形已知斜边和一条直角边，用勾股定理即可求出另一条直角边AC的长度；最后用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）就能算出三角形面积。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=6
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得AB=2CD=2×6=12
∵ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$
∴ $BC=AB×\frac{1}{3}=12×\frac{1}{3}=4$
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{12^2-4^2}=\sqrt{144-16}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8\sqrt{2}×4=16\sqrt{2}$
【答案】
$16\sqrt{2}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；锐角三角函数定义；勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的基础综合题，主要考查直角三角形相关性质的应用，解题核心是先通过斜边中线性质求出斜边长度，再结合三角函数和勾股定理求解边长即可。
【难度系数】
0.7
拿到这道题我们可以按以下思路推导：首先看到直角三角形斜边上的中线，立刻联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可先求出斜边AB的长度；接下来已知sinA的值，根据锐角正弦的定义（锐角的正弦=对边/斜边），可以求出直角边BC的长度；此时直角三角形已知斜边和一条直角边，用勾股定理即可求出另一条直角边AC的长度；最后用直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）就能算出三角形面积。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=6
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得AB=2CD=2×6=12
∵ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$
∴ $BC=AB×\frac{1}{3}=12×\frac{1}{3}=4$
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{12^2-4^2}=\sqrt{144-16}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8\sqrt{2}×4=16\sqrt{2}$
【答案】
$16\sqrt{2}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；锐角三角函数定义；勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的基础综合题，主要考查直角三角形相关性质的应用，解题核心是先通过斜边中线性质求出斜边长度，再结合三角函数和勾股定理求解边长即可。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 30°$，$\tan C = \frac{1}{3}$，$AB = 6$，则$BC$的长为
$9 + 3\sqrt{3}$
。答案
6. $9 + 3\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题给出的△ABC是斜三角形，无法直接计算BC的长度，需通过作辅助线构造直角三角形求解。解题思路为：①过点A作AD⊥BC于D，将BC拆分为BD、DC两段；②在Rt△ABD中，利用30°角的直角三角形性质及三角函数求出AD、BD的长度；③在Rt△ADC中，结合tanC的定义求出DC的长度；④将BD与DC相加即可得到BC的长。
【解析】
过点A作$AD⊥ BC$于点D，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABC=30°$，$AB=6$：
$\therefore AD=AB·\sin30°=6×\frac{1}{2}=3$，
$BD=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
在$Rt△ ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{1}{3}$，将$AD=3$代入得：
$\frac{3}{DC}=\frac{1}{3}$，解得$DC=9$。
$\therefore BC=BD+DC=3\sqrt{3}+9=9+3\sqrt{3}$。
【答案】
$9 + 3\sqrt{3}$
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 锐角三角函数定义
3. 含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题的核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数的性质计算线段长度，熟练掌握构造直角三角形的辅助线做法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题给出的△ABC是斜三角形，无法直接计算BC的长度，需通过作辅助线构造直角三角形求解。解题思路为：①过点A作AD⊥BC于D，将BC拆分为BD、DC两段；②在Rt△ABD中，利用30°角的直角三角形性质及三角函数求出AD、BD的长度；③在Rt△ADC中，结合tanC的定义求出DC的长度；④将BD与DC相加即可得到BC的长。
【解析】
过点A作$AD⊥ BC$于点D，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABC=30°$，$AB=6$：
$\therefore AD=AB·\sin30°=6×\frac{1}{2}=3$，
$BD=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
在$Rt△ ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{1}{3}$，将$AD=3$代入得：
$\frac{3}{DC}=\frac{1}{3}$，解得$DC=9$。
$\therefore BC=BD+DC=3\sqrt{3}+9=9+3\sqrt{3}$。
【答案】
$9 + 3\sqrt{3}$
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 锐角三角函数定义
3. 含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题的核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，再结合锐角三角函数的性质计算线段长度，熟练掌握构造直角三角形的辅助线做法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
7. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$.
(1) 已知$a=4\sqrt{3}$，$b=2\sqrt{3}$，求边$c$的长；
(2) 已知$∠ A=60°$，$c=2\sqrt{3}+4$，求边$b$的长；
(3) 已知$a=10$，$c=10\sqrt{2}$，求$∠ B$的大小；
(4) 已知$b=5$，$\sin A=\frac{2}{3}$，求边$a$、$c$的长.
(1) 已知$a=4\sqrt{3}$，$b=2\sqrt{3}$，求边$c$的长；
(2) 已知$∠ A=60°$，$c=2\sqrt{3}+4$，求边$b$的长；
(3) 已知$a=10$，$c=10\sqrt{2}$，求$∠ B$的大小；
(4) 已知$b=5$，$\sin A=\frac{2}{3}$，求边$a$、$c$的长.
答案
(1) 由勾股定理，得 $c = \sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{15}$
(2) $\because \cos A = \frac{b}{c}, \therefore b = c\cos A = (2\sqrt{3} + 4)\cos60° = 2 + \sqrt{3}$
(3) $\because \cos B = \frac{a}{c} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore ∠B = 45°$
(4) $a = 2\sqrt{5}$，$c = 3\sqrt{5}$
(2) $\because \cos A = \frac{b}{c}, \therefore b = c\cos A = (2\sqrt{3} + 4)\cos60° = 2 + \sqrt{3}$
(3) $\because \cos B = \frac{a}{c} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore ∠B = 45°$
(4) $a = 2\sqrt{5}$，$c = 3\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题是直角三角形的基础计算类题目，解题核心是运用直角三角形的边的关系（勾股定理）、边角关系（锐角三角函数）求解，分小问思路如下：
(1) 已知两条直角边的长度，直接选用勾股定理即可计算斜边长度；
(2) 已知一个锐角和斜边长度，求该锐角的邻边，选用余弦的定义式计算即可；
(3) 已知一条直角边和斜边，先计算对应角的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值得到角度；
(4) 已知一个锐角的正弦值和另一条直角边，先根据正弦的定义设出边长参数，再结合勾股定理求解参数，进而得到边长。
【解析】
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$a$、$b$为直角边，$c$为斜边
(1) 根据勾股定理可得：
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{48 + 12} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$
(2) 由锐角三角函数的定义，$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边} = \frac{b}{c}$
∴ $b = c·\cos A = (2\sqrt{3} + 4)×\cos60° = (2\sqrt{3} + 4)×\frac{1}{2} = 2 + \sqrt{3}$
(3) 由锐角三角函数的定义，$\cos B = \frac{∠B的邻边}{斜边} = \frac{a}{c}$
代入数值得$\cos B = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $∠B$为直角三角形的锐角，且$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴ $∠B=45°$
(4) 由$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{a}{c} = \frac{2}{3}$，可设$a=2k$，$c=3k$（$k＞0$）
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，代入$b=5$得：
$(2k)^2 + 5^2 = (3k)^2$
$4k^2 + 25 = 9k^2$
$5k^2=25$，解得$k=\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根）
∴ $a=2k=2\sqrt{5}$，$c=3k=3\sqrt{5}$
【答案】
(1) $c=2\sqrt{15}$；(2) $b=2+\sqrt{3}$；(3) $∠B=45°$；(4) $a=2\sqrt{5}$，$c=3\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，覆盖了直角三角形边、边角关系的基础应用，解题时要根据已知条件灵活选择对应的计算公式，牢记特殊角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形的基础计算类题目，解题核心是运用直角三角形的边的关系（勾股定理）、边角关系（锐角三角函数）求解，分小问思路如下：
(1) 已知两条直角边的长度，直接选用勾股定理即可计算斜边长度；
(2) 已知一个锐角和斜边长度，求该锐角的邻边，选用余弦的定义式计算即可；
(3) 已知一条直角边和斜边，先计算对应角的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值得到角度；
(4) 已知一个锐角的正弦值和另一条直角边，先根据正弦的定义设出边长参数，再结合勾股定理求解参数，进而得到边长。
【解析】
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$a$、$b$为直角边，$c$为斜边
(1) 根据勾股定理可得：
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{48 + 12} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$
(2) 由锐角三角函数的定义，$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边} = \frac{b}{c}$
∴ $b = c·\cos A = (2\sqrt{3} + 4)×\cos60° = (2\sqrt{3} + 4)×\frac{1}{2} = 2 + \sqrt{3}$
(3) 由锐角三角函数的定义，$\cos B = \frac{∠B的邻边}{斜边} = \frac{a}{c}$
代入数值得$\cos B = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $∠B$为直角三角形的锐角，且$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴ $∠B=45°$
(4) 由$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{a}{c} = \frac{2}{3}$，可设$a=2k$，$c=3k$（$k＞0$）
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，代入$b=5$得：
$(2k)^2 + 5^2 = (3k)^2$
$4k^2 + 25 = 9k^2$
$5k^2=25$，解得$k=\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根）
∴ $a=2k=2\sqrt{5}$，$c=3k=3\sqrt{5}$
【答案】
(1) $c=2\sqrt{15}$；(2) $b=2+\sqrt{3}$；(3) $∠B=45°$；(4) $a=2\sqrt{5}$，$c=3\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，覆盖了直角三角形边、边角关系的基础应用，解题时要根据已知条件灵活选择对应的计算公式，牢记特殊角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
