14. 下面是小明的数学笔记,请仔细阅读并完成相应的任务:
今天,我们学习了锐角三角函数,知道在$Rt△ ABC$中(其中$∠ C=90°$,$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别为$a$、$b$、$c$),正弦等于对边比斜边,即$\sin A=\frac{a}{c}$;余弦等于邻边比斜边,即$\cos A=\frac{b}{c}$;正切等于对边比邻边,即$\tan A=\frac{a}{b}$.
我还查阅到任意三角形中三条边之间的一个关系,即
正弦定理:在任意一个三角形中,各边和它所对角的正弦值的比值相等,即$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. 我认真思考,探究过程如下:
【探索证明】已知:如图,在锐角三角形$ABC$中,$∠ BAC$、$∠ ABC$、$∠ ACB$的对边分别为$a$、$b$、$c$.
求证:$\frac{a}{\sin∠ BAC}=\frac{b}{\sin∠ ABC}=\frac{c}{\sin∠ ACB}$.
证明:如图,过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$,则$∠ ADC$$∠ ADB=90°$.
$\therefore△ ABD$和$△ ACD$都是直角三角形.
在$Rt△ ABD$中,$\sin∠ ABD=\frac{AD}{AB}$,即$\sin∠ ABC=\frac{AD}{AB}$.
$\therefore AD=AB·\sin∠ ABC$.
在$Rt△ ACD$中,$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}$,即$\sin∠ ACB=\frac{AD}{AC}$.
$\therefore AD=AC·\sin∠ ACB$.
$\therefore AB·\sin∠ ABC=AC·\sin∠ ACB$,即$\frac{AC}{\sin∠ ABC}=\frac{AB}{\sin∠ ACB}$.
$\because∠ ABC$、$∠ ACB$的对边分别为$b$、$c$,即$AC=b$,$AB=c$,
$\therefore\frac{b}{\sin∠ ABC}=\frac{c}{\sin∠ ACB}$.
……
任务:(1) 帮助小明将材料中的证明过程补充完整;
(2) 已知在锐角三角形$ABC$中,$b=\sqrt{2}$,$∠ B=60°$,$∠ C=45°$,则$△ ABC$的周长为. (参考数据:$\sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$,$\sin75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$)

14. (1) 同理可得，$\frac{a}{\sin∠BAC} = \frac{c}{\sin∠ACB}. \therefore \frac{a}{\sin∠BAC} = \frac{b}{\sin∠ABC} = \frac{c}{\sin∠ACB}$
(2) $\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1$

【分析】
(1) 题干已通过作BC边上的高证明了$\frac{b}{\sin∠ABC}=\frac{c}{\sin∠ACB}$，接下来类比该方法，过点B作AC边上的高，通过表示同一条高的长度推导得到$\frac{a}{\sin∠BAC}=\frac{c}{\sin∠ACB}$，即可联立得到三个比值相等，完成正弦定理的证明。
(2) 第二问考查正弦定理的应用，先根据三角形内角和求出∠A的度数，再套用正弦定理分别求出边a、边c的长度，最后将三边相加即可得到三角形的周长，计算时可直接使用题目给出的特殊角三角函数值。
【解析】
(1) 补充证明：过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$，则$∠ BEA=∠ BEC=90°$，$\therefore△ ABE$和$△ CBE$均为直角三角形。
在$Rt△ ABE$中，$\sin∠ BAC=\frac{BE}{AB}$，得$BE=AB·\sin∠ BAC$；
在$Rt△ CBE$中，$\sin∠ ACB=\frac{BE}{BC}$，得$BE=BC·\sin∠ ACB$。
$\therefore AB·\sin∠ BAC=BC·\sin∠ ACB$，即$\frac{BC}{\sin∠ BAC}=\frac{AB}{\sin∠ ACB}$。
$\because ∠ BAC$的对边为$a$，即$BC=a$，$AB=c$，$\therefore \frac{a}{\sin∠ BAC}=\frac{c}{\sin∠ ACB}$。
结合已证的$\frac{b}{\sin∠ ABC}=\frac{c}{\sin∠ ACB}$，可得$\frac{a}{\sin∠ BAC}=\frac{b}{\sin∠ ABC}=\frac{c}{\sin∠ ACB}$。
(也可简化为：同理可得$\frac{a}{\sin∠BAC} = \frac{c}{\sin∠ACB}$，$\therefore \frac{a}{\sin∠BAC} = \frac{b}{\sin∠ABC} = \frac{c}{\sin∠ACB}$)
(2) 解：首先求$∠ BAC$的度数：
$\because$三角形内角和为$180°$，$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-60°-45°=75°$。
根据正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，已知$b=\sqrt{2}$，$\sin B=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin C=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
①求边$c$：$c=\frac{b·\sin C}{\sin B}=\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②求边$a$：$a=\frac{b·\sin A}{\sin B}=\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$；
③周长为：$a+b+c=(1+\frac{\sqrt{3}}{3})+\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 同理可得，$\frac{a}{\sin∠BAC} = \frac{c}{\sin∠ACB}. \therefore \frac{a}{\sin∠BAC} = \frac{b}{\sin∠ABC} = \frac{c}{\sin∠ACB}$
(2) $\sqrt{3}+\sqrt{2}+1$
【知识点】
锐角三角函数定义，正弦定理，解三角形
【点评】
本题考查正弦定理的推导和实际应用，推导过程运用了转化思想，通过作高将锐角三角形转化为熟悉的直角三角形进行证明；应用时结合三角形内角和定理与正弦定理即可完成计算，侧重对知识迁移能力和运算能力的考查。
【难度系数】
0.65