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1.（玉林中考）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是 【 】
A.$∠ BAD$
B.$∠ ACB$
C.$∠ BAC$
D.$∠ DAC$
（第1题）
A.$∠ BAD$
B.$∠ ACB$
C.$∠ BAC$
D.$∠ DAC$
（第1题）答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确俯角的定义：俯角是在观测点处，水平线与向下观测目标的视线的夹角。解题思路如下：第一步确定观测点为热气球A，观测目标是楼底部C；第二步找到A点的水平线是图中的虚线AD；第三步找到从A观测C的视线是线段AC，二者形成的夹角就是所求的俯角，再对应选项判断即可。
【解析】
根据俯角的定义：观测点的水平线与向下观测目标的视线的夹角为俯角。
本题中观测点为A，A点的水平线为AD，观测楼底部C的视线为AC，因此从A看C的俯角是水平线AD与视线AC的夹角，即$∠ DAC$。
【答案】
D
【知识点】
俯角的定义，几何识图
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对俯角定义的理解与识图能力，解题时要注意区分观测点的水平线、向上/向下的视线，避免混淆仰角和俯角的概念。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确俯角的定义：俯角是在观测点处，水平线与向下观测目标的视线的夹角。解题思路如下：第一步确定观测点为热气球A，观测目标是楼底部C；第二步找到A点的水平线是图中的虚线AD；第三步找到从A观测C的视线是线段AC，二者形成的夹角就是所求的俯角，再对应选项判断即可。
【解析】
根据俯角的定义：观测点的水平线与向下观测目标的视线的夹角为俯角。
本题中观测点为A，A点的水平线为AD，观测楼底部C的视线为AC，因此从A看C的俯角是水平线AD与视线AC的夹角，即$∠ DAC$。
【答案】
D
【知识点】
俯角的定义，几何识图
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对俯角定义的理解与识图能力，解题时要注意区分观测点的水平线、向上/向下的视线，避免混淆仰角和俯角的概念。
【难度系数】
0.9
2.（长春中考）如图，已知某山峰的海拔高度为$m$ m，一位登山者到达海拔高度为$n$ m的点A处，测得山峰顶端B的仰角为$α$，则A、B两点之间的距离为 【 】
A.$(m-n)\sinα$ m
B.$\dfrac{m-n}{\sinα}$ m
C.$(m-n)\cosα$ m
D.$\dfrac{m-n}{\cosα}$ m
A.$(m-n)\sinα$ m
B.$\dfrac{m-n}{\sinα}$ m
C.$(m-n)\cosα$ m
D.$\dfrac{m-n}{\cosα}$ m
答案
B
解析
【分析】
首先结合题意和图形分析已知量：山峰海拔为m，点A海拔为n，因此B与A的竖直高度差为(m-n)m；在A处测得B的仰角为α，对应直角三角形Rt△ABC中∠BAC=α，已知角的对边求斜边，结合正弦函数的定义即可推导AB的长度。
【解析】
解：由题意得四边形ACDE为矩形，因此CD=AE=n m，
则B、A的竖直高度差$BC = BD - CD = (m-n)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=α$，
根据正弦函数的定义：$\sinα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
变形得$AB = \frac{BC}{\sinα} = \frac{m-n}{\sinα}\ \mathrm{m}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角问题；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题关键是结合仰角定义构造直角三角形，将实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角关系求解。
【难度系数】
0.7
首先结合题意和图形分析已知量：山峰海拔为m，点A海拔为n，因此B与A的竖直高度差为(m-n)m；在A处测得B的仰角为α，对应直角三角形Rt△ABC中∠BAC=α，已知角的对边求斜边，结合正弦函数的定义即可推导AB的长度。
【解析】
解：由题意得四边形ACDE为矩形，因此CD=AE=n m，
则B、A的竖直高度差$BC = BD - CD = (m-n)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=α$，
根据正弦函数的定义：$\sinα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
变形得$AB = \frac{BC}{\sinα} = \frac{m-n}{\sinα}\ \mathrm{m}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角问题；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题关键是结合仰角定义构造直角三角形，将实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角关系求解。
【难度系数】
0.7
3.（宁夏中考）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度.如图，拱顶离水面的高度为EF，点A、B是水平地面上两点，且与点E、F均在同一竖直平面内.已知水平地面离水面的高度为2m，测角仪支架的高度为1.5m，为达成目的，还需测量的数据是 【 】
A.CH的长，∠EDH的度数
B.AB的长，∠ECH的度数
C.CH的长，∠ECH和∠EDH的度数
D.AB的长，∠ECH和∠EDH的度数
A.CH的长，∠EDH的度数
B.AB的长，∠ECH的度数
C.CH的长，∠ECH和∠EDH的度数
D.AB的长，∠ECH和∠EDH的度数
答案
D
解析
【分析】
解题时先明确待求量EF的构成：EF可拆分为EH（拱顶到测角仪所在水平面的竖直高度）和HF（测角仪所在水平面到水面的高度）两部分。其中HF可通过已知的“水平地面离水面高度2m、测角仪支架高1.5m”直接计算得到，是定值，因此只需计算EH的长度即可。EH是两个共直角边的直角三角形Rt△ECH、Rt△EDH的公共直角边，两个三角形的水平边之差等于CD，而CD和地面上可直接测量的AB长度相等（因测角仪高度相同，四边形ABDC为矩形）。若已知∠ECH和∠EDH的度数，即可用EH分别表示出CH和DH，结合DH-CH=AB的等量关系列方程求出EH，因此需要测量AB的长度和两个仰角的度数。
【解析】
由题可知，水平地面离水面高度为2m，测角仪支架高1.5m，因此测角仪所在水平面HD到水面的距离HF=2-1.5=0.5m，为定值，待求量EF=EH+HF，只需计算EH的长度即可。
∵AC⊥AB，BD⊥AB，HD为水平线段，
∴四边形ABDC为矩形，可得CD=AB。
设EH=x，∠ECH=α，∠EDH=β：
在Rt△ECH中，$\tanα=\frac{EH}{CH}$，则$CH=\frac{x}{\tanα}$；
在Rt△EDH中，$\tanβ=\frac{EH}{DH}$，则$DH=\frac{x}{\tanβ}$；
由线段关系得$DH-CH=CD=AB$，代入得$\frac{x}{\tanβ}-\frac{x}{\tanα}=AB$，整理可求出$x=\frac{AB}{\frac{1}{\tanβ}-\frac{1}{\tanα}}$。
因此只要测量出AB的长度，以及∠ECH和∠EDH的度数，即可求出EH，进而得到EF的高度。
逐一判断选项：
A、仅测量CH的长和∠EDH的度数，无法求出EH，排除；
B、仅测量AB的长和∠ECH的度数，缺少另一个角度，无法建立等式求EH，排除；
C、CH为拱顶正下方到点C的水平距离，无法直接测量，且不是必要数据，排除；
D选项符合推导，正确。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形应用，仰角，矩形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的应用，需要学生梳理几何图形中的线段关系，将实际测量问题转化为解直角三角形的数学问题，注重对数学建模能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先明确待求量EF的构成：EF可拆分为EH（拱顶到测角仪所在水平面的竖直高度）和HF（测角仪所在水平面到水面的高度）两部分。其中HF可通过已知的“水平地面离水面高度2m、测角仪支架高1.5m”直接计算得到，是定值，因此只需计算EH的长度即可。EH是两个共直角边的直角三角形Rt△ECH、Rt△EDH的公共直角边，两个三角形的水平边之差等于CD，而CD和地面上可直接测量的AB长度相等（因测角仪高度相同，四边形ABDC为矩形）。若已知∠ECH和∠EDH的度数，即可用EH分别表示出CH和DH，结合DH-CH=AB的等量关系列方程求出EH，因此需要测量AB的长度和两个仰角的度数。
【解析】
由题可知，水平地面离水面高度为2m，测角仪支架高1.5m，因此测角仪所在水平面HD到水面的距离HF=2-1.5=0.5m，为定值，待求量EF=EH+HF，只需计算EH的长度即可。
∵AC⊥AB，BD⊥AB，HD为水平线段，
∴四边形ABDC为矩形，可得CD=AB。
设EH=x，∠ECH=α，∠EDH=β：
在Rt△ECH中，$\tanα=\frac{EH}{CH}$，则$CH=\frac{x}{\tanα}$；
在Rt△EDH中，$\tanβ=\frac{EH}{DH}$，则$DH=\frac{x}{\tanβ}$；
由线段关系得$DH-CH=CD=AB$，代入得$\frac{x}{\tanβ}-\frac{x}{\tanα}=AB$，整理可求出$x=\frac{AB}{\frac{1}{\tanβ}-\frac{1}{\tanα}}$。
因此只要测量出AB的长度，以及∠ECH和∠EDH的度数，即可求出EH，进而得到EF的高度。
逐一判断选项：
A、仅测量CH的长和∠EDH的度数，无法求出EH，排除；
B、仅测量AB的长和∠ECH的度数，缺少另一个角度，无法建立等式求EH，排除；
C、CH为拱顶正下方到点C的水平距离，无法直接测量，且不是必要数据，排除；
D选项符合推导，正确。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形应用，仰角，矩形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的应用，需要学生梳理几何图形中的线段关系，将实际测量问题转化为解直角三角形的数学问题，注重对数学建模能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
4.（浙江中考）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处与P处之间的距离为500 m，从点A观测点P的仰角为α，$\cosα =0.98$，则A处与B处之间的距离为
490
m.答案
4. 490
解析
【分析】
首先根据题意和图形可知△ABP是直角三角形，∠B为直角，已知斜边AP的长度、仰角α的余弦值，要求AB的长度。解题时先明确锐角余弦的定义：直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题中α的邻边是AB，斜边是AP，因此直接通过余弦公式代入数值即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得△ABP为直角三角形，∠ABP=90°，AP=500m，∠PAB=α，$\cosα=0.98$。
在Rt△ABP中，根据锐角余弦的定义：
$\cosα=\frac{AB}{AP}$
∴$AB=AP·\cosα=500×0.98=490$（m）
【答案】
490
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形应用，仰角的概念
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题关键是找准直角三角形中边角的对应关系，正确运用三角函数定义计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
首先根据题意和图形可知△ABP是直角三角形，∠B为直角，已知斜边AP的长度、仰角α的余弦值，要求AB的长度。解题时先明确锐角余弦的定义：直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题中α的邻边是AB，斜边是AP，因此直接通过余弦公式代入数值即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得△ABP为直角三角形，∠ABP=90°，AP=500m，∠PAB=α，$\cosα=0.98$。
在Rt△ABP中，根据锐角余弦的定义：
$\cosα=\frac{AB}{AP}$
∴$AB=AP·\cosα=500×0.98=490$（m）
【答案】
490
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形应用，仰角的概念
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题关键是找准直角三角形中边角的对应关系，正确运用三角函数定义计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
