4. 把抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{5}{2}$向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求经过平移后抛物线的函数表达式.

解：$y=\frac{1}{2}x^{2}+3x+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}(x^{2}+6x + 5)=\frac{1}{2}(x^{2}+6x + 9 - 9 + 5)=\frac{1}{2}((x + 3)^{2}-4)=\frac{1}{2}(x + 3)^{2}-2。$ 把它向右平移$2$个单位长度，再向上平移$3$个单位长度后， 根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，得到抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x + 3 - 2)^{2}-2 + 3=\frac{1}{2}(x + 1)^{2}+1。$

5. 已知抛物线 $y=2x^2 - 4x + 1$. 求：
(1)它关于 $x$ 轴对称的抛物线的函数表达式；
(2)它关于 $y$ 轴对称的抛物线的函数表达式；
(3)它关于原点对称的抛物线的函数表达式；
(4)将它绕着与 $y$ 轴的交点旋转 $180°$ 所得抛物线的函数表达式.

解：​$y = 2x^2-4x + 1=2(x^2-2x)+1=2(x^2-2x + 1 - 1)+1$​​$=2((x - 1)^2-1)+1=2(x - 1)^2-1，$​抛物线的顶点坐标为​$(1，-1)。$​​$ (1)$​点​$(1，-1)$​关于​$x$​轴对称的点的坐标为​$(1，1)，$​​$ $​所以原抛物线关于​$x$​轴对称的抛物线的函数表达式为​$y=-2(x - 1)^2+1。$​​$ (2)$​点​$(1，-1)$​关于​$y$​轴对称的点的坐标为​$(-1，-1)，$​​$ $​所以原抛物线关于​$y$​轴对称的抛物线的函数表达式为​$y = 2(x + 1)^2-1。$​​$ (3)$​点​$(1，-1)$​关于原点对称的点的坐标为​$(-1，1)，$​​$ $​所以原抛物线关于原点对称的抛物线的函数表达式为​$y=-2(x + 1)^2+1。$​​$ (4)$​抛物线​$y = 2x^2-4x + 1$​与​$y$​轴的交点坐标为​$(0，1)，$​​$ $​设点​$(1，-1)$​关于点​$(0，1)$​对称的点的坐标为​$(m，n)，$​​$ $​则​$\frac {1 + m}{2}=0，$​​$\frac {-1 + n}{2}=1，$​​$ $​由​$\frac {1 + m}{2}=0$​得​$1 + m = 0，$​​$m = -1；$​​$ $​由​$\frac {-1 + n}{2}=1$​得​$-1 + n = 2，$​​$n = 3，$​​$ $​所以点​$(1，-1)$​关于点​$(0，1)$​对称的点的坐标为​$(-1，3)，$​​$ $​所以原抛物线绕着与​$y$​轴的交点旋转​$180°$​所得的抛物线的函数表达式为​$y=-2(x + 1)^2+3。$​

二次函数的图像关于$x$轴对称，如图①.
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像关于$x$轴对称后，得到的图像的函数表达式是$y=-ax^2-bx-c$；二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图像关于$x$轴对称后，得到的图像的函数表达式是$y=-a(x-h)^2-k$.
二次函数的图像关于$y$轴对称，如图②.
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像关于$y$轴对称后，得到的图像的函数表达式是$y=ax^2-bx+c$；二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图像关于$y$轴对称后，得到的图像的函数表达式是$y=a(x+h)^2+k$.