1. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$(1,-1)$，$(2,-4)$和$(0,4)$三点，求这个抛物线的函数表达式.

解：根据题意，将$(1, -1)，$$(2, -4)$和$(0, 4)$代入$y = ax^{2}+bx + c，$
可得$\begin{cases}a + b + c = -1\\4a + 2b + c = -4\\c = 4\end{cases}，$ 将$c = 4$代入$a + b + c = -1$得$a + b + 4 = -1，$即$a + b = -5$ ①； 将$c = 4$代入$4a + 2b + c = -4$得$4a + 2b + 4 = -4，$即$4a + 2b = -8，$化简为$2a + b = -4$ ②； ②$-$①得：$(2a + b)-(a + b)=-4-(-5)，$ $2a + b - a - b = -4 + 5，$ $a = 1；$ 把$a = 1$代入①得$1 + b = -5，$解得$b = -6；$ 所以$\begin{cases}a = 1\\b = -6\\c = 4\end{cases}，$ $∴$这个抛物线的函数表达式为$y = x^{2}-6x + 4。$

2. 根据下表中的二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数$y$的对应值，求二次函数的表达式.
| $x$ | $···$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $···$ |
|-----|----------|------|-----|-----|-----|----------|
| $y$ | $···$ | $-1$ | | $-2$ | $-\dfrac{7}{4}$ | $···$ |

解：$∵$二次函数的图像过点$(0,-\frac{7}{4})$和$(2,-\frac{7}{4})，$ $∴$二次函数图像的对称轴为直线$x=\frac{0 + 2}{2}=1，$ $∴$二次函数图像的顶点坐标为$(1, -2)。$ 设二次函数的表达式为$y = a(x - 1)^{2}-2，$ 把$(-1, -1)$代入，得$a(-1 - 1)^{2}-2 = -1，$ $4a-2 = -1，$ $4a = 1，$解得$a=\frac{1}{4}，$ $∴$二次函数的表达式为$y=\frac{1}{4}(x - 1)^{2}-2=\frac{1}{4}(x^{2}-2x + 1)-2=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}。$

3.(2024·虎丘区模拟)已知抛物线$y=ax^2 - 2ax - 3$与$x$轴的两个交点为$A,B$(点$B$在点$A$的右侧),且$AB=4$,与$y$轴的交点为$C$.
(1)求该抛物线所对应的函数表达式;
(2)若$M$是抛物线位于直线$BC$下方的图像上一个动点,求点$M$到直线$BC$的距离的最大值.

解：(1)设$A(x_{1},0)，$$B(x_{2},0)，$则$x_{1}，$$x_{2}$是$ax^{2}-2ax - 3 = 0$的两个实数根， 由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-\frac{-2a}{a}=2，$$x_{1}·x_{2}=-\frac{3}{a}。$ $∵AB = 4，$$∴|x_{2}-x_{1}| = 4，$ $∴(x_{2}-x_{1})^{2}=16，$即$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=16，$ $4+\frac{12}{a}=16，$ $\frac{12}{a}=12，$解得$a = 1，$ 经检验，$a = 1$满足题意， $∴$抛物线所对应的函数表达式为$y = x^{2}-2x - 3。$ (2)设$MH\perp BC，$则点$M$到$BC$的距离为$MH$的长，过点$M$作$MD\perp x$轴于点$D，$交$BC$于点$E。$
在$y = x^{2}-2x - 3$中，令$x = 0，$得$y = -3，$令$y = 0，$得$x^{2}-2x - 3 = 0，$
即$(x - 3)(x + 1)=0，$解得$x=-1$或$x = 3，$ $∴A(-1,0)，$$B(3,0)，$$C(0,-3)，$ 设直线$BC$的函数表达式为$y = kx + b，$把$B(3,0)，$$C(0,-3)$代入得$\begin{cases}3k + b = 0\\b = -3\end{cases}，$ 把$b = -3$代入$3k + b = 0$得$3k-3 = 0，$$3k = 3，$解得$k = 1，$ 所以直线$BC$的函数表达式为$y = x - 3，$ 因为$OB = OC = 3，$所以$∠OBC=∠OCB = 45°，$则$∠DEB = 45°=∠HEM，$ $∴\triangle HEM$是等腰直角三角形， $∴MH=\frac{\sqrt{2}}{2}EM，$$∴MH$最大即是$EM$最大， 设$M(t,t^{2}-2t - 3)，$则$E(t,t - 3)，$ $∴EM=t - 3-(t^{2}-2t - 3)=-t^{2}+3t=-(t-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}。$ $∵-1<0，$$∴$当$t=\frac{3}{2}$时，$EM$最大为$\frac{9}{4}，$ $∴MH$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{9}{4}=\frac{9\sqrt{2}}{8}，$ 即点$M$到直线$BC$的距离的最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{8}。$