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9. 如图,将函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1$的图像沿$y$轴向上平移得到一条新的函数图像,其中点$A(1,m),B(4,n)$平移后的对应点分别为$A',B'$.若曲线段$AB$扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图像的函数表达式是 （ ）
A. $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 - 2$
B. $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 + 7$
C. $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 - 5$
D. $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 + 4$
A. $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 - 2$
B. $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 + 7$
C. $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 - 5$
D. $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 + 4$
答案
D
10.如图,点 A 的坐标为(-1,0),点 C 在 y 轴的正半轴上,点 B 在第一象限,CB//x 轴,且 CA=CB.若抛物线 $y=a(x-1)^2+k$ 经过 A,B,C 三点,则此抛物线的函数表达式为________.
答案
$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)^2+\frac{4\sqrt{3}}{3}$
11.(2023·绍兴)已知二次函数$y=-x^2+bx+c$.
(1)当$b=4,c=3$时,
①求该函数图像的顶点坐标；
②当$-1≤ x≤ 3$时,求$y$的取值范围；
(2)当$x≤ 0$时,$y$的最大值为$2$；当$x＞0$时,$y$的最大值为$3$,求二次函数的表达式.
(1)当$b=4,c=3$时,
①求该函数图像的顶点坐标；
②当$-1≤ x≤ 3$时,求$y$的取值范围；
(2)当$x≤ 0$时,$y$的最大值为$2$；当$x＞0$时,$y$的最大值为$3$,求二次函数的表达式.
答案
解：$(1)①$当$b = 4，$$c = 3$时，$ y=-x^2 + 4x + 3=-(x - 2)^2 + 7，$ ∴该函数图像的顶点坐标为$(2，7).$ ②∵$- 1\leqslant x\leqslant 3，$抛物线的顶点坐标为$(2，7)，$ ∴当$x = 2$时，$y$有最大值$7.$ ∵$2-(-1)＞3 - 2，$∴当$x = - 1$时，$y$有最小值，为$-2，$ ∴当$-1\leqslant x\leqslant 3$时，$y$的取值范围为$-2\leqslant y\leqslant 7.$$ (2)$∵$x\leqslant 0$时，$y$的最大值为$2；$$x＞0$时，$y$的最大值为$3，$∴抛物线的对称轴直线$x=\frac {b}{2}$在$y$轴的右侧， ∴$b＞0.$ ∵抛物线开口向下，$x\leqslant 0$时，$y$的最大值为$2，$∴$c = 2.$ 又∵$\frac {4×(-1)×c - b^2}{4×(-1)} = 3，$∴$b=\pm 2.$ ∵$b＞0，$∴$b = 2，$ ∴二次函数的表达式为$y=-x^2 + 2x + 2.$
12.(2024·资阳)已知抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴的正半轴交于点$C$,且$B(4,0),BC=4\sqrt{2}$.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图,$P$是抛物线在第一象限内的一点,连接$PB,PC$,过点$P$作$PD⊥ x$轴于点$D$,交$BC$于点$K$.记$△ PBC,△ BDK$的面积分别为$S_1,S_2$,求$S_1-S_2$的最大值.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图,$P$是抛物线在第一象限内的一点,连接$PB,PC$,过点$P$作$PD⊥ x$轴于点$D$,交$BC$于点$K$.记$△ PBC,△ BDK$的面积分别为$S_1,S_2$,求$S_1-S_2$的最大值.
答案
解：$ (1)$∵$B(4，0)，$∴$OB = 4.$ ∵$∠BOC = 90°，$$BC = 4\sqrt {2}，$∴$OC=\sqrt {BC^2 - OB^2}=4，$ ∴$C(0，4)，$
把$B(4，0)，$$C(0，4)，$代入函数表达式，得$ \begin {cases}-\frac {1}{2}×4^2 + 4b + c = 0\\c = 4\end {cases}，$解得$\begin {cases}b = 1\\c = 4\end {cases}，$ ∴$y=-\frac {1}{2}x^2 + x + 4.$$ (2)$设直线$BC$的函数表达式为$y = kx + 4(k\neq 0)，$$ $把$B(4，0)$代入，得$k = - 1，$ ∴$y=-x + 4，$$ $设$P(m，-\frac {1}{2}\mathrm {m^2} + m + 4)，$则$K(m，-m + 4)，$$D(m，0)，$ ∴$PK=-\frac {1}{2}\mathrm {m^2} + m + 4 + m - 4=-\frac {1}{2}\mathrm {m^2} + 2m，$$DK=-m + 4，$$DB = 4 - m，$ ∴$S_{1}=\frac {1}{2}PK·OB=-\mathrm {m^2} + 4m，$$ S_{2}=\frac {1}{2}DK·DB=\frac {1}{2}(-m + 4)(4 - m)=\frac {1}{2}(4 - m)^2，$ ∴$S_{1} - S_{2}=-\mathrm {m^2} + 4m-\frac {1}{2}(4 - m)^2=-\frac {3\ \mathrm {m^2}}{2}+8m - 8=-\frac {3}{2}(m-\frac {8}{3})^2+\frac {8}{3}，$ ∴当$m=\frac {8}{3}$时，$S_{1} - S_{2}$的最大值为$\frac {8}{3}.$
把$B(4，0)，$$C(0，4)，$代入函数表达式，得$ \begin {cases}-\frac {1}{2}×4^2 + 4b + c = 0\\c = 4\end {cases}，$解得$\begin {cases}b = 1\\c = 4\end {cases}，$ ∴$y=-\frac {1}{2}x^2 + x + 4.$$ (2)$设直线$BC$的函数表达式为$y = kx + 4(k\neq 0)，$$ $把$B(4，0)$代入，得$k = - 1，$ ∴$y=-x + 4，$$ $设$P(m，-\frac {1}{2}\mathrm {m^2} + m + 4)，$则$K(m，-m + 4)，$$D(m，0)，$ ∴$PK=-\frac {1}{2}\mathrm {m^2} + m + 4 + m - 4=-\frac {1}{2}\mathrm {m^2} + 2m，$$DK=-m + 4，$$DB = 4 - m，$ ∴$S_{1}=\frac {1}{2}PK·OB=-\mathrm {m^2} + 4m，$$ S_{2}=\frac {1}{2}DK·DB=\frac {1}{2}(-m + 4)(4 - m)=\frac {1}{2}(4 - m)^2，$ ∴$S_{1} - S_{2}=-\mathrm {m^2} + 4m-\frac {1}{2}(4 - m)^2=-\frac {3\ \mathrm {m^2}}{2}+8m - 8=-\frac {3}{2}(m-\frac {8}{3})^2+\frac {8}{3}，$ ∴当$m=\frac {8}{3}$时，$S_{1} - S_{2}$的最大值为$\frac {8}{3}.$
