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6. 如图,将一根绳子折成4段,然后按照图示方式剪开。若剪1次,则绳子变为5段;若剪2次,则绳子变为9段……
【观察归纳】
(1)将下表数据补充完整。
【问题解决】
(2)①若剪10次,则绳子变为多少段?
②绳子能否刚好被分成100段?
请说明理由。
【观察归纳】
(1)将下表数据补充完整。
【问题解决】
(2)①若剪10次,则绳子变为多少段?
②绳子能否刚好被分成100段?
请说明理由。
答案
解：
(1) 由已知条件可得：
剪1次，绳子段数为$5 = 4×1 + 1$；
剪2次，绳子段数为$9 = 4×2 + 1$；
因此剪3次，绳子段数为$4×3 + 1 = 13$；
剪4次，绳子段数为$4×4 + 1 = 17$；
剪$n$次，绳子段数为$4n + 1$。
表格依次填入：$\boldsymbol{13}$，$\boldsymbol{17}$，$\boldsymbol{4n+1}$。
(2) ① 当$n=10$时，$4n + 1 = 4×10 + 1 = 41$。
答：剪10次，绳子变为41段。
② 绳子不能刚好被分成100段，理由如下：
假设绳子刚好被分成100段，令$4n + 1 = 100$，
解得$n = \frac{99}{4}$。
因为剪开次数$n$必须是正整数，$\frac{99}{4}$不是正整数，不符合实际要求，
所以绳子不能刚好被分成100段。
(1) 由已知条件可得：
剪1次，绳子段数为$5 = 4×1 + 1$；
剪2次，绳子段数为$9 = 4×2 + 1$；
因此剪3次，绳子段数为$4×3 + 1 = 13$；
剪4次，绳子段数为$4×4 + 1 = 17$；
剪$n$次，绳子段数为$4n + 1$。
表格依次填入：$\boldsymbol{13}$，$\boldsymbol{17}$，$\boldsymbol{4n+1}$。
(2) ① 当$n=10$时，$4n + 1 = 4×10 + 1 = 41$。
答：剪10次，绳子变为41段。
② 绳子不能刚好被分成100段，理由如下：
假设绳子刚好被分成100段，令$4n + 1 = 100$，
解得$n = \frac{99}{4}$。
因为剪开次数$n$必须是正整数，$\frac{99}{4}$不是正整数，不符合实际要求，
所以绳子不能刚好被分成100段。
解析
【分析】
这是一道规律探究类题目，解题时先从已知的剪1次、剪2次对应的绳子段数入手，观察段数和剪的次数之间的数量关系：剪1次段数为$5=4×1+1$，剪2次段数为$9=4×2+1$，可发现每多剪1次，绳子段数就增加4段，由此可归纳出剪$n$次时绳子段数的通用表达式。再用得到的表达式解决后续问题：求剪10次的段数只需代入$n=10$计算即可；判断能否分成100段，只需令表达式等于100，看解得的剪的次数是否为正整数（次数必须是正整数才符合实际）。
【解析】
(1) 根据题意：
剪1次时，绳子段数为$5 = 4×1 + 1$；
剪2次时，绳子段数为$9 = 4×2 + 1$；
可推出剪$n$次时，绳子段数为$4n+1$。
当$n=3$时，段数为$4×3 + 1 = 13$；
当$n=4$时，段数为$4×4 + 1 = 17$。
因此表格依次填入13，17，$4n+1$。
(2) ① 当剪的次数$n=10$时，代入表达式得：
$4n + 1 = 4×10 + 1 = 41$
即剪10次时绳子变为41段。
② 绳子不能刚好被分成100段，理由如下：
假设绳子能被分成100段，令$4n + 1 = 100$，
解得$n = \frac{99}{4}$。
由于剪开的次数$n$必须是正整数，$\frac{99}{4}$不是正整数，不符合实际情况，因此绳子不能刚好被分成100段。
【答案】
(1) $\boldsymbol{13}$，$\boldsymbol{17}$，$\boldsymbol{4n+1}$
(2) ① $\boldsymbol{41}$段；② $\boldsymbol{不能}$，理由见解析。
【知识点】
规律探究，代数式求值，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要学生从已知的特殊案例中归纳出通用的数量关系，再结合实际意义解决问题，能很好地锻炼学生的归纳推理能力和数学应用意识。
【难度系数】
0.75
这是一道规律探究类题目，解题时先从已知的剪1次、剪2次对应的绳子段数入手，观察段数和剪的次数之间的数量关系：剪1次段数为$5=4×1+1$，剪2次段数为$9=4×2+1$，可发现每多剪1次，绳子段数就增加4段，由此可归纳出剪$n$次时绳子段数的通用表达式。再用得到的表达式解决后续问题：求剪10次的段数只需代入$n=10$计算即可；判断能否分成100段，只需令表达式等于100，看解得的剪的次数是否为正整数（次数必须是正整数才符合实际）。
【解析】
(1) 根据题意：
剪1次时，绳子段数为$5 = 4×1 + 1$；
剪2次时，绳子段数为$9 = 4×2 + 1$；
可推出剪$n$次时，绳子段数为$4n+1$。
当$n=3$时，段数为$4×3 + 1 = 13$；
当$n=4$时，段数为$4×4 + 1 = 17$。
因此表格依次填入13，17，$4n+1$。
(2) ① 当剪的次数$n=10$时，代入表达式得：
$4n + 1 = 4×10 + 1 = 41$
即剪10次时绳子变为41段。
② 绳子不能刚好被分成100段，理由如下：
假设绳子能被分成100段，令$4n + 1 = 100$，
解得$n = \frac{99}{4}$。
由于剪开的次数$n$必须是正整数，$\frac{99}{4}$不是正整数，不符合实际情况，因此绳子不能刚好被分成100段。
【答案】
(1) $\boldsymbol{13}$，$\boldsymbol{17}$，$\boldsymbol{4n+1}$
(2) ① $\boldsymbol{41}$段；② $\boldsymbol{不能}$，理由见解析。
【知识点】
规律探究，代数式求值，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要学生从已知的特殊案例中归纳出通用的数量关系，再结合实际意义解决问题，能很好地锻炼学生的归纳推理能力和数学应用意识。
【难度系数】
0.75
7. 提升题 如图，甲、乙两人（看成点）分别从数轴上表示－6和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏。移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”游戏（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），然后根据输赢结果进行移动。
①若平局，则甲向东移动1个单位长度；
②若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度；
③若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度。
前三局结果如下表所示：
（1）从图示位置开始，求第一局后甲、乙两人在数轴上的位置。
（2）从图示位置开始，从前三局来看，第几局后甲离原点最近，离原点的距离为多少？
（3）从图示位置开始，已知进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值。
（第7题）
①若平局，则甲向东移动1个单位长度；
②若甲赢，则甲向东移动5个单位长度，同时乙向东移动3个单位长度；
③若乙赢，则甲向西移动3个单位长度，同时乙向西移动5个单位长度。
前三局结果如下表所示：
（1）从图示位置开始，求第一局后甲、乙两人在数轴上的位置。
（2）从图示位置开始，从前三局来看，第几局后甲离原点最近，离原点的距离为多少？
（3）从图示位置开始，已知进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，请直接写出k的值。
（第7题）答案
解：
(1) 第一局甲乙都出石头，为平局：
甲的位置：$-6 + 1 = -5$
乙的位置：$9 - 1 = 8$
答：第一局后甲在数轴上表示$-5$的点，乙在数轴上表示$8$的点。
(2) 第二局甲出剪刀、乙出布，甲赢：
甲的位置：$-5 + 5 = 0$
第三局甲出石头、乙出布，乙赢：
甲的位置：$0 - 3 = -3$
三局后甲到原点的距离分别为$|-5|=5$，$|0|=0$，$|-3|=3$。
答：第二局后甲离原点最近，离原点的距离为$0$。
(3) 初始甲乙相距$9 - (-6) = 15$个单位长度，每局游戏后两人的距离都减少2个单位长度，因此k局后两人距离为$|15 - 2k| = 3$，
解得$k=6$或$k=9$。
答：k的值为6或9。
(1) 第一局甲乙都出石头，为平局：
甲的位置：$-6 + 1 = -5$
乙的位置：$9 - 1 = 8$
答：第一局后甲在数轴上表示$-5$的点，乙在数轴上表示$8$的点。
(2) 第二局甲出剪刀、乙出布，甲赢：
甲的位置：$-5 + 5 = 0$
第三局甲出石头、乙出布，乙赢：
甲的位置：$0 - 3 = -3$
三局后甲到原点的距离分别为$|-5|=5$，$|0|=0$，$|-3|=3$。
答：第二局后甲离原点最近，离原点的距离为$0$。
(3) 初始甲乙相距$9 - (-6) = 15$个单位长度，每局游戏后两人的距离都减少2个单位长度，因此k局后两人距离为$|15 - 2k| = 3$，
解得$k=6$或$k=9$。
答：k的值为6或9。
解析
【分析】
（1）先判断第一局结果为平局，对应移动规则：平局时甲向东移动1个单位（数轴上数值加1），乙向西移动1个单位（数轴上数值减1），用甲乙初始位置分别加上各自移动量即可得到第一局后的位置。
（2）依次根据每一局的输赢结果，对应规则计算出每一局结束后甲在数轴上的位置，再分别计算各位置到原点的距离（即该数的绝对值），比较三个距离的大小即可得到结论。
（3）先计算初始时甲乙的距离，再分析三种输赢情况对两人距离的影响，可归纳得出每局结束后两人距离均减少2个单位，因此k局后两人距离为$|15-2k|$，令其等于3，解绝对值方程即可得到k的值。
【解析】
解：(1) 第一局甲乙为平局，按规则甲向东移动1个单位，乙向西移动1个单位。
甲初始位置为$-6$，第一局后位置：$-6 + 1 = -5$
乙初始位置为$9$，第一局后位置：$9 - 1 = 8$
(2) 第二局甲赢，按规则甲向东移动5个单位：
第二局后甲的位置：$-5 + 5 = 0$，到原点的距离为$|0|=0$
第三局乙赢，按规则甲向西移动3个单位：
第三局后甲的位置：$0 - 3 = -3$，到原点的距离为$|-3|=3$
第一局后甲到原点的距离为$|-5|=5$
比较$5、0、3$的大小，可知第二局后甲离原点最近。
(3) 初始时甲乙的距离为：$9 - (-6) = 15$（单位长度）
分析规则可知，每局游戏后两人的距离均减少2个单位长度，因此k局后两人的距离为$|15 - 2k|$
由题意得：$|15 - 2k| = 3$
当$15-2k=3$时，解得$k=6$；当$15-2k=-3$时，解得$k=9$
【答案】
(1) 第一局后甲在数轴上表示$-5$的位置，乙在数轴上表示$8$的位置；
(2) 第二局后甲离原点最近，离原点的距离为0；
(3) k的值为6或9。
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题将数轴、绝对值知识与游戏场景结合，既考查了有理数基本运算、绝对值的几何意义，又需要通过归纳总结得到距离变化的规律，能有效提升逻辑推理和问题分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）先判断第一局结果为平局，对应移动规则：平局时甲向东移动1个单位（数轴上数值加1），乙向西移动1个单位（数轴上数值减1），用甲乙初始位置分别加上各自移动量即可得到第一局后的位置。
（2）依次根据每一局的输赢结果，对应规则计算出每一局结束后甲在数轴上的位置，再分别计算各位置到原点的距离（即该数的绝对值），比较三个距离的大小即可得到结论。
（3）先计算初始时甲乙的距离，再分析三种输赢情况对两人距离的影响，可归纳得出每局结束后两人距离均减少2个单位，因此k局后两人距离为$|15-2k|$，令其等于3，解绝对值方程即可得到k的值。
【解析】
解：(1) 第一局甲乙为平局，按规则甲向东移动1个单位，乙向西移动1个单位。
甲初始位置为$-6$，第一局后位置：$-6 + 1 = -5$
乙初始位置为$9$，第一局后位置：$9 - 1 = 8$
(2) 第二局甲赢，按规则甲向东移动5个单位：
第二局后甲的位置：$-5 + 5 = 0$，到原点的距离为$|0|=0$
第三局乙赢，按规则甲向西移动3个单位：
第三局后甲的位置：$0 - 3 = -3$，到原点的距离为$|-3|=3$
第一局后甲到原点的距离为$|-5|=5$
比较$5、0、3$的大小，可知第二局后甲离原点最近。
(3) 初始时甲乙的距离为：$9 - (-6) = 15$（单位长度）
分析规则可知，每局游戏后两人的距离均减少2个单位长度，因此k局后两人的距离为$|15 - 2k|$
由题意得：$|15 - 2k| = 3$
当$15-2k=3$时，解得$k=6$；当$15-2k=-3$时，解得$k=9$
【答案】
(1) 第一局后甲在数轴上表示$-5$的位置，乙在数轴上表示$8$的位置；
(2) 第二局后甲离原点最近，离原点的距离为0；
(3) k的值为6或9。
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题将数轴、绝对值知识与游戏场景结合，既考查了有理数基本运算、绝对值的几何意义，又需要通过归纳总结得到距离变化的规律，能有效提升逻辑推理和问题分析能力。
【难度系数】
0.6
