5.用三角形和六边形按图示规律拼图案。

(1)第4个图案中，三角形有个，六边形有个。
(2)第n(n为正整数)个图案中，三角形与六边形各有多少个？
(3)第2026个图案中，三角形与六边形各有多少个？
(4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由。

解：
(1) 第4个图案中，三角形有$\boldsymbol{10}$个，六边形有$\boldsymbol{4}$个。
(2) 观察前3个图案的数量规律：
第1个图案：三角形4个，六边形1个；
第2个图案：三角形6个，六边形2个；
第3个图案：三角形8个，六边形3个；
归纳可得：第$n$个图案中，三角形有$(2n+2)$个，六边形有$n$个。
(3) 将$n=2026$代入对应代数式：
三角形个数：$2×2026 + 2 = 4054$，
六边形个数：$2026$。
即第2026个图案中，三角形有4054个，六边形有2026个。
(4) 不存在这样的图案。
理由：若一个图案有30个六边形，根据规律可知该图案是第30个图案，此时对应的三角形个数为$2×30 + 2 = 62$，$62≠100$，因此不存在有100个三角形与30个六边形的图案。

【分析】
这是一道图形规律探究题，解题思路如下：①先统计前3个图案中三角形、六边形的数量，观察二者随图案序号增加的变化特征：每增加1个图案，三角形数量增加2个，六边形数量增加1个；②根据变化规律推导第n个图案中两种图形的数量表达式，再代入具体数值求解对应问题；③判断是否存在符合要求的图案时，可先根据六边形数量确定对应图案序号，再验证三角形数量是否匹配规律即可。
【解析】
(1) 先观察前3个图案的数量：
第1个图案：三角形4个，六边形1个；
第2个图案：三角形6个，六边形2个；
第3个图案：三角形8个，六边形3个；
可得规律：每往后1个图案，三角形增加2个，六边形增加1个，因此第4个图案中，三角形个数为$8+2=10$，六边形个数为$3+1=4$。
(2) 结合上述规律归纳：
第n个图案中，三角形个数为$4+2(n-1)=2n+2$，六边形个数和图案序号一致，为$n$个。
(3) 将$n=2026$分别代入对应表达式：
三角形个数：$2×2026 + 2 = 4054$
六边形个数：$2026$
(4) 不存在这样的图案。
理由：若一个图案有30个六边形，根据规律可知该图案是第30个，此时对应的三角形个数应为$2×30 + 2 = 62$，$62≠100$，不符合要求，因此不存在有100个三角形与30个六边形的图案。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$，$\boldsymbol{4}$
(2) 三角形有$\boldsymbol{(2n+2)}$个，六边形有$\boldsymbol{n}$个
(3) 三角形有$\boldsymbol{4054}$个，六边形有$\boldsymbol{2026}$个
(4) 不存在，理由见解析
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题是规律探究类题型的典型考法，侧重考查归纳推理能力，解题核心是通过观察特殊图形的数量特征，总结出通用的数量规律，再运用规律求解具体问题。
【难度系数】
0.7