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1.在数学实践课上，嘉琪将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的n个点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，如图所示。当五边形内有1个点时，可分割成5个三角形；当五边形内有2个点时，可分制得7个三角形（不计被分割的三角形）……则当五边形内有2026个点时，可分得三角形（不计被分割的三角形）的个数为。
答案
$\boldsymbol{4055}$
解析
【分析】
我们先结合题目给出的条件和图形，梳理不同内点个数对应的三角形数量：当五边形内有1个点时，可分割得5个三角形；有2个点时，可分割得7个三角形；观察第三个图形可知，有3个点时可分割得9个三角形。观察数据可以发现规律：每增加1个内点，三角形的个数就增加2个，由此我们可以推导出内点个数n和三角形总个数的通用关系式，最后将n=2026代入关系式计算即可得到结果。
【解析】
设五边形内有$n$个点时，分割得到的三角形个数为$s$。
根据已知条件：
当$n=1$时，$s=5=2×1+3$；
当$n=2$时，$s=7=2×2+3$；
当$n=3$时，$s=9=2×3+3$；
……
归纳可得通用规律：$s=2n+3$。
当$n=2026$时，代入公式计算：
$s=2×2026+3=4052+3=4055$。
【答案】
$\boldsymbol{4055}$
【知识点】
图形规律探究，归纳推理，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过对已知案例的观察、对比，找到数量变化的固定规律，再利用规律求解对应数值，重点考查学生的观察分析能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
我们先结合题目给出的条件和图形，梳理不同内点个数对应的三角形数量：当五边形内有1个点时，可分割得5个三角形；有2个点时，可分割得7个三角形；观察第三个图形可知，有3个点时可分割得9个三角形。观察数据可以发现规律：每增加1个内点，三角形的个数就增加2个，由此我们可以推导出内点个数n和三角形总个数的通用关系式，最后将n=2026代入关系式计算即可得到结果。
【解析】
设五边形内有$n$个点时，分割得到的三角形个数为$s$。
根据已知条件：
当$n=1$时，$s=5=2×1+3$；
当$n=2$时，$s=7=2×2+3$；
当$n=3$时，$s=9=2×3+3$；
……
归纳可得通用规律：$s=2n+3$。
当$n=2026$时，代入公式计算：
$s=2×2026+3=4052+3=4055$。
【答案】
$\boldsymbol{4055}$
【知识点】
图形规律探究，归纳推理，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过对已知案例的观察、对比，找到数量变化的固定规律，再利用规律求解对应数值，重点考查学生的观察分析能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
2.已知有公共端点的射线OA,OB,OC,OD,若点$P_1,P_2,P_3,\dots$按图示规律排列,则点$P_{2024}$落在射线上。
答案
解析
【分析】
首先观察点的排列规律，除公共端点处的$P_1$外，后续点所在射线每8个为一个循环周期，周期内射线顺序为OD、OC、OB、OA、OA、OB、OC、OD。解题时先计算$P_{2024}$相对于循环起点的位置，通过求除以周期8的余数，对照周期对应关系即可确定所在射线。
【解析】
观察各点所在射线：
$P_2$在OD上，$P_3$在OC上，$P_4$在OB上，$P_5$在OA上，$P_6$在OA上，$P_7$在OB上，$P_8$在OC上，$P_9$在OD上，$P_{10}$在OD上……
可得规律：从$P_2$开始，每8个点为一个循环周期，周期内射线顺序为$\boxed{OD、OC、OB、OA、OA、OB、OC、OD}$。
计算$P_{2024}$的偏移量：$2024-1=2023$（减去公共端点处的$P_1$）
求$2023$除以周期8的余数：$2023÷8=252······7$
余数为7，对应周期内第7个位置，对应的射线是OC。
【答案】
OC
【知识点】
图形规律探究，周期问题
【点评】
本题是典型的规律探究题，核心是通过观察前若干个点的位置总结出循环周期，再利用有余数的除法确定目标点的对应位置，考查归纳总结和应用规律的能力。
【难度系数】
0.65
首先观察点的排列规律，除公共端点处的$P_1$外，后续点所在射线每8个为一个循环周期，周期内射线顺序为OD、OC、OB、OA、OA、OB、OC、OD。解题时先计算$P_{2024}$相对于循环起点的位置，通过求除以周期8的余数，对照周期对应关系即可确定所在射线。
【解析】
观察各点所在射线：
$P_2$在OD上，$P_3$在OC上，$P_4$在OB上，$P_5$在OA上，$P_6$在OA上，$P_7$在OB上，$P_8$在OC上，$P_9$在OD上，$P_{10}$在OD上……
可得规律：从$P_2$开始，每8个点为一个循环周期，周期内射线顺序为$\boxed{OD、OC、OB、OA、OA、OB、OC、OD}$。
计算$P_{2024}$的偏移量：$2024-1=2023$（减去公共端点处的$P_1$）
求$2023$除以周期8的余数：$2023÷8=252······7$
余数为7，对应周期内第7个位置，对应的射线是OC。
【答案】
OC
【知识点】
图形规律探究，周期问题
【点评】
本题是典型的规律探究题，核心是通过观察前若干个点的位置总结出循环周期，再利用有余数的除法确定目标点的对应位置，考查归纳总结和应用规律的能力。
【难度系数】
0.65
3.如图,从点A开始,以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆……按此规律继续画半圆,第7个半圆的面积为(结果保留π)。
答案
$\boldsymbol{512π}$
解析
【分析】
解题时先观察前4个半圆的直径，总结直径的变化规律：第1个半圆直径为1=2⁰，第2个为2=2¹，第3个为4=2²，第4个为8=2³，可推出第n个半圆的直径为2^(n-1)。接下来将n=7代入规律得到第7个半圆的直径，求出半径后代入半圆面积公式计算即可。
【解析】
1. 找直径规律：
观察可知，第1个半圆直径为$1=2^0$，第2个半圆直径为$2=2^1$，第3个半圆直径为$4=2^2$，第4个半圆直径为$8=2^3$，因此第$n$个半圆的直径为$2^{n-1}$。
2. 求第7个半圆的半径：
当$n=7$时，直径$d=2^{7-1}=2^6=64$，则半径$r=d÷2=64÷2=32$。
3. 计算半圆面积：
半圆面积公式为$S=\frac{1}{2}π r^2$，代入$r=32$得：
$S=\frac{1}{2}π×32^2=\frac{1}{2}π×1024=512π$
【答案】
$512π$
【知识点】
规律探究，半圆面积计算
【点评】
本题需要学生先通过观察归纳出半圆直径的变化规律，再结合半圆面积公式求解，既考查了归纳推理能力，也考查了对圆面积公式的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时先观察前4个半圆的直径，总结直径的变化规律：第1个半圆直径为1=2⁰，第2个为2=2¹，第3个为4=2²，第4个为8=2³，可推出第n个半圆的直径为2^(n-1)。接下来将n=7代入规律得到第7个半圆的直径，求出半径后代入半圆面积公式计算即可。
【解析】
1. 找直径规律：
观察可知，第1个半圆直径为$1=2^0$，第2个半圆直径为$2=2^1$，第3个半圆直径为$4=2^2$，第4个半圆直径为$8=2^3$，因此第$n$个半圆的直径为$2^{n-1}$。
2. 求第7个半圆的半径：
当$n=7$时，直径$d=2^{7-1}=2^6=64$，则半径$r=d÷2=64÷2=32$。
3. 计算半圆面积：
半圆面积公式为$S=\frac{1}{2}π r^2$，代入$r=32$得：
$S=\frac{1}{2}π×32^2=\frac{1}{2}π×1024=512π$
【答案】
$512π$
【知识点】
规律探究，半圆面积计算
【点评】
本题需要学生先通过观察归纳出半圆直径的变化规律，再结合半圆面积公式求解，既考查了归纳推理能力，也考查了对圆面积公式的掌握情况。
【难度系数】
0.7
4. 提升题 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示。
第1次分割时将正方形纸片三等分，并记空白部分的面积为$S_1$；
第2次分割时将第1次分割得到的空白部分继续三等分，记空白部分的面积为$S_2$；
第3次分割时将第2次分割得到的空白部分继续三等分，记空白部分的面积为$S_3$；
……
根据以上规律，回答下列问题。
(1)第四次分割后，空白部分的面积$S_4=$。
(2)求$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$的值。
(3)求$\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}$的值。
第1次分割时将正方形纸片三等分，并记空白部分的面积为$S_1$；
第2次分割时将第1次分割得到的空白部分继续三等分，记空白部分的面积为$S_2$；
第3次分割时将第2次分割得到的空白部分继续三等分，记空白部分的面积为$S_3$；
……
根据以上规律，回答下列问题。
(1)第四次分割后，空白部分的面积$S_4=$。
(2)求$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$的值。
(3)求$\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}$的值。
答案
解：
(1) 根据分割规律：
$S_1=\frac{1}{3}$，$S_2=\frac{1}{3^2}$，$S_3=\frac{1}{3^3}$，因此$S_4=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$。
(2) 由分割过程可知，$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$是前4次分割所有新增阴影部分的面积总和，等于正方形总面积1减去第4次分割后剩余空白部分的面积$S_4$：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}&=1 - S_4\\&=1-\frac{1}{81}\\&=\frac{80}{81}\end{aligned}$
(3) 设$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^n}$，则：
$2A=\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\dots+\frac{2}{3^n}$
类比(2)的分割规律可得$2A=1-\frac{1}{3^n}$，两边同时除以2：
$A=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3^n})=\frac{3^n - 1}{2· 3^n}$
综上，
(1) $\boldsymbol{S_4=\frac{1}{81}}$；
(2) $\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$的值为$\boldsymbol{\frac{80}{81}}$；
(3) $\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^n}$的值为$\boldsymbol{\frac{3^n - 1}{2×3^n}}$。
(1) 根据分割规律：
$S_1=\frac{1}{3}$，$S_2=\frac{1}{3^2}$，$S_3=\frac{1}{3^3}$，因此$S_4=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$。
(2) 由分割过程可知，$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$是前4次分割所有新增阴影部分的面积总和，等于正方形总面积1减去第4次分割后剩余空白部分的面积$S_4$：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}&=1 - S_4\\&=1-\frac{1}{81}\\&=\frac{80}{81}\end{aligned}$
(3) 设$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^n}$，则：
$2A=\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\dots+\frac{2}{3^n}$
类比(2)的分割规律可得$2A=1-\frac{1}{3^n}$，两边同时除以2：
$A=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3^n})=\frac{3^n - 1}{2· 3^n}$
综上，
(1) $\boldsymbol{S_4=\frac{1}{81}}$；
(2) $\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$的值为$\boldsymbol{\frac{80}{81}}$；
(3) $\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^n}$的值为$\boldsymbol{\frac{3^n - 1}{2×3^n}}$。
解析
【分析】
1. 第(1)问先找空白面积的变化规律：每次分割都将上一次的空白部分三等分，剩余空白面积是上一次空白面积的$\frac{1}{3}$，结合初始正方形面积为1，可推出第$n$次分割后空白面积$S_n$的通用规律，代入$n=4$即可求出$S_4$。
2. 第(2)问结合图形意义分析：每次分割新增的阴影部分面积为上一次空白面积的$\frac{2}{3}$，因此式子$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$对应前4次分割后阴影部分的总面积，等于正方形总面积1减去第4次分割后的空白面积$S_4$，即可快速计算结果。
3. 第(3)问类比第(2)问的结论：观察所求式子是第(2)问同结构式子的$\frac{1}{2}$，先给所求式子乘2得到和(2)一致的结构，利用规律求出2倍的值后再除以2，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 由分割规律可知：
第1次分割后空白面积$S_1=\frac{1}{3}$，
第2次分割后空白面积$S_2=\frac{1}{3}× S_1=\frac{1}{3^2}$，
第3次分割后空白面积$S_3=\frac{1}{3}× S_2=\frac{1}{3^3}$，
因此第4次分割后空白面积$S_4=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$。
(2) 根据图形分割的意义，$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$是前4次分割新增阴影部分的面积总和，等于正方形总面积减去第4次分割后剩余的空白面积：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}&=1 - S_4\\&=1-\frac{1}{81}\\&=\frac{80}{81}\end{aligned}$
(3) 设$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^n}$，将等式两边同时乘2得：
$2A=\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\dots+\frac{2}{3^n}$
类比(2)的规律可得，$2A$是前$n$次分割的阴影总面积，即$2A=1-\frac{1}{3^n}$，
两边同时除以2得：
$A=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3^n})=\frac{3^n - 1}{2× 3^n}$
【答案】
(1) $\frac{1}{81}$
(2) $\frac{80}{81}$
(3) $\frac{3^n - 1}{2×3^n}$
【知识点】
图形规律探究；有理数运算；归纳推理
【点评】
本题借助图形分割将抽象的分数求和问题转化为直观的面积计算，体现了数形结合的思想，解题时从特殊情况入手推导一般规律，能有效降低求和类问题的难度，对归纳能力的提升有很大帮助。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问先找空白面积的变化规律：每次分割都将上一次的空白部分三等分，剩余空白面积是上一次空白面积的$\frac{1}{3}$，结合初始正方形面积为1，可推出第$n$次分割后空白面积$S_n$的通用规律，代入$n=4$即可求出$S_4$。
2. 第(2)问结合图形意义分析：每次分割新增的阴影部分面积为上一次空白面积的$\frac{2}{3}$，因此式子$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$对应前4次分割后阴影部分的总面积，等于正方形总面积1减去第4次分割后的空白面积$S_4$，即可快速计算结果。
3. 第(3)问类比第(2)问的结论：观察所求式子是第(2)问同结构式子的$\frac{1}{2}$，先给所求式子乘2得到和(2)一致的结构，利用规律求出2倍的值后再除以2，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 由分割规律可知：
第1次分割后空白面积$S_1=\frac{1}{3}$，
第2次分割后空白面积$S_2=\frac{1}{3}× S_1=\frac{1}{3^2}$，
第3次分割后空白面积$S_3=\frac{1}{3}× S_2=\frac{1}{3^3}$，
因此第4次分割后空白面积$S_4=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$。
(2) 根据图形分割的意义，$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$是前4次分割新增阴影部分的面积总和，等于正方形总面积减去第4次分割后剩余的空白面积：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}&=1 - S_4\\&=1-\frac{1}{81}\\&=\frac{80}{81}\end{aligned}$
(3) 设$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^n}$，将等式两边同时乘2得：
$2A=\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\dots+\frac{2}{3^n}$
类比(2)的规律可得，$2A$是前$n$次分割的阴影总面积，即$2A=1-\frac{1}{3^n}$，
两边同时除以2得：
$A=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3^n})=\frac{3^n - 1}{2× 3^n}$
【答案】
(1) $\frac{1}{81}$
(2) $\frac{80}{81}$
(3) $\frac{3^n - 1}{2×3^n}$
【知识点】
图形规律探究；有理数运算；归纳推理
【点评】
本题借助图形分割将抽象的分数求和问题转化为直观的面积计算，体现了数形结合的思想，解题时从特殊情况入手推导一般规律，能有效降低求和类问题的难度，对归纳能力的提升有很大帮助。
【难度系数】
0.6
