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6. 提升题▶如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆。
(1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是，第n个正方形内圆的个数是。
(2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影。
①第1个正方形中阴影部分的面积为，第n个正方形中阴影部分的面积为；(用含a的代数式表示，结果保留π)
②若a=10，请直接写出第2026个正方形中阴影部分的面积：(结果保留π)
(1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是，第n个正方形内圆的个数是。
(2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影。
①第1个正方形中阴影部分的面积为，第n个正方形中阴影部分的面积为；(用含a的代数式表示，结果保留π)
②若a=10，请直接写出第2026个正方形中阴影部分的面积：(结果保留π)
答案
(1) $\boldsymbol{16}$，$\boldsymbol{n^2}$
(2) ① $\boldsymbol{a^2-\dfrac{π a^2}{4}}$，$\boldsymbol{a^2-\dfrac{π a^2}{4}}$；② $\boldsymbol{100-25π}$
(2) ① $\boldsymbol{a^2-\dfrac{π a^2}{4}}$，$\boldsymbol{a^2-\dfrac{π a^2}{4}}$；② $\boldsymbol{100-25π}$
解析
【分析】
首先解决第(1)问，观察给出的3个正方形内圆的个数：第1个图有1个圆，对应$1^2$；第2个图有4个圆，对应$2^2$；第3个图有9个圆，对应$3^2$，可得出圆的个数是对应序号的平方，由此推导第4个和第n个的圆的个数。
再解决第(2)问，阴影部分面积=正方形面积-所有圆的总面积，先算第1个图的阴影面积：正方形面积为$a^2$，圆的直径等于正方形边长$a$，算出圆面积后作差即可；再算第n个图的情况，第n个图每行每列都有n个圆，因此每个圆的直径为$\frac{a}{n}$，算出单个圆面积后乘以总个数$n^2$，可发现所有圆的总面积和n无关，因此第n个图阴影面积和第1个相等；最后将$a=10$代入阴影面积公式即可求出第2026个的阴影面积。
【解析】
(1) 观察图形规律：
第1个正方形内圆的个数：$1=1^2$
第2个正方形内圆的个数：$4=2^2$
第3个正方形内圆的个数：$9=3^2$
因此第4个正方形内圆的个数为$4^2=16$，第n个正方形内圆的个数为$n^2$。
(2) ① 第1个正方形：
正方形面积$S_{正}=a^2$，
内部圆的直径等于正方形边长$a$，故半径$r=\frac{a}{2}$，
圆的面积$S_{圆}=πr^2=π·(\frac{a}{2})^2=\frac{πa^2}{4}$，
因此阴影部分面积$S_{阴影}=a^2 - \frac{πa^2}{4}$。
第n个正方形：
内部每行、每列各有n个大小相等的圆，因此每个圆的直径为$\frac{a}{n}$，半径$r=\frac{a}{2n}$，
单个圆的面积为$π·(\frac{a}{2n})^2=\frac{πa^2}{4n^2}$，
总共有$n^2$个圆，因此所有圆的总面积为$n^2 · \frac{πa^2}{4n^2}=\frac{πa^2}{4}$，
因此阴影部分面积$S_{阴影}=a^2 - \frac{πa^2}{4}$。
② 当$a=10$时，代入阴影面积公式：
$S_{阴影}=10^2 - \frac{π×10^2}{4}=100 - 25π$，
因为阴影面积和n无关，所以第2026个正方形阴影面积为$100 - 25π$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$，$\boldsymbol{n^2}$
(2) ① $\boldsymbol{a^2-\dfrac{π a^2}{4}}$，$\boldsymbol{a^2-\dfrac{π a^2}{4}}$；② $\boldsymbol{100-25π}$
【知识点】
图形规律探究，正方形与圆的面积计算，代数式化简
【点评】
本题结合图形规律考查面积计算，解题的关键是通过计算发现不同序号的正方形内所有圆的总面积是定值，不受n的影响，熟练掌握相关面积公式、掌握规律探究的基本方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
首先解决第(1)问，观察给出的3个正方形内圆的个数：第1个图有1个圆，对应$1^2$；第2个图有4个圆，对应$2^2$；第3个图有9个圆，对应$3^2$，可得出圆的个数是对应序号的平方，由此推导第4个和第n个的圆的个数。
再解决第(2)问，阴影部分面积=正方形面积-所有圆的总面积，先算第1个图的阴影面积：正方形面积为$a^2$，圆的直径等于正方形边长$a$，算出圆面积后作差即可；再算第n个图的情况，第n个图每行每列都有n个圆，因此每个圆的直径为$\frac{a}{n}$，算出单个圆面积后乘以总个数$n^2$，可发现所有圆的总面积和n无关，因此第n个图阴影面积和第1个相等；最后将$a=10$代入阴影面积公式即可求出第2026个的阴影面积。
【解析】
(1) 观察图形规律：
第1个正方形内圆的个数：$1=1^2$
第2个正方形内圆的个数：$4=2^2$
第3个正方形内圆的个数：$9=3^2$
因此第4个正方形内圆的个数为$4^2=16$，第n个正方形内圆的个数为$n^2$。
(2) ① 第1个正方形：
正方形面积$S_{正}=a^2$，
内部圆的直径等于正方形边长$a$，故半径$r=\frac{a}{2}$，
圆的面积$S_{圆}=πr^2=π·(\frac{a}{2})^2=\frac{πa^2}{4}$，
因此阴影部分面积$S_{阴影}=a^2 - \frac{πa^2}{4}$。
第n个正方形：
内部每行、每列各有n个大小相等的圆，因此每个圆的直径为$\frac{a}{n}$，半径$r=\frac{a}{2n}$，
单个圆的面积为$π·(\frac{a}{2n})^2=\frac{πa^2}{4n^2}$，
总共有$n^2$个圆，因此所有圆的总面积为$n^2 · \frac{πa^2}{4n^2}=\frac{πa^2}{4}$，
因此阴影部分面积$S_{阴影}=a^2 - \frac{πa^2}{4}$。
② 当$a=10$时，代入阴影面积公式：
$S_{阴影}=10^2 - \frac{π×10^2}{4}=100 - 25π$，
因为阴影面积和n无关，所以第2026个正方形阴影面积为$100 - 25π$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$，$\boldsymbol{n^2}$
(2) ① $\boldsymbol{a^2-\dfrac{π a^2}{4}}$，$\boldsymbol{a^2-\dfrac{π a^2}{4}}$；② $\boldsymbol{100-25π}$
【知识点】
图形规律探究，正方形与圆的面积计算，代数式化简
【点评】
本题结合图形规律考查面积计算，解题的关键是通过计算发现不同序号的正方形内所有圆的总面积是定值，不受n的影响，熟练掌握相关面积公式、掌握规律探究的基本方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
7. 提升题 观察与思考:我们知道 $1+2+3+\dots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$, 那么 $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3$ 的结果等于多少呢? 请你仔细观察,找出下面图形与算式的关系,回答下列问题。
(1)尝试:第5个图形可以表示的等式是 。
(2)概括: $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 =$ 。
(3)应用: 求 $\dfrac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 2026^3}{1+2+3+\dots +2026}$ 的值。
(1)尝试:第5个图形可以表示的等式是 。
(2)概括: $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 =$ 。
(3)应用: 求 $\dfrac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 2026^3}{1+2+3+\dots +2026}$ 的值。
答案
解：
(1) $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
(2) $[\frac{n(n+1)}{2}]^2$（或$(1+2+3+\dots+n)^2$）
(3) 由题中已知结论可得：
原式$=\frac{[\frac{2026×(2026+1)}{2}]^2}{\frac{2026×(2026+1)}{2}}$
$=\frac{2026×2027}{2}$
$=1013×2027$
$=2053351$
(1) $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
(2) $[\frac{n(n+1)}{2}]^2$（或$(1+2+3+\dots+n)^2$）
(3) 由题中已知结论可得：
原式$=\frac{[\frac{2026×(2026+1)}{2}]^2}{\frac{2026×(2026+1)}{2}}$
$=\frac{2026×2027}{2}$
$=1013×2027$
$=2053351$
解析
【分析】
首先观察给出的等式，发现规律：等式左边是从1开始连续正整数的立方和，等式右边是一个数的平方，且平方的底数恰好等于左边立方的所有底数的和。按照这个规律先解决第(1)问，再将规律推广到一般情况得到第(2)问的结论，最后把结论代入第(3)问的式子，结合已知的等差数列求和公式化简计算即可。
【解析】
(1) 观察已知等式：
第1个：$1^3=1^2$，底数$1=1$；
第2个：$1^3+2^3=3^2$，底数$3=1+2$；
第3个：$1^3+2^3+3^3=6^2$，底数$6=1+2+3$；
第4个：$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$，底数$10=1+2+3+4$；
则第5个等式左边加到$5^3$，右边底数为$1+2+3+4+5=15$，故等式为$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$。
(2) 由上述规律可得，$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3$等于前n个正整数和的平方，已知$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，因此$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$（或$(1+2+3+\dots+n)^2$）。
(3) 将上述结论代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{[\frac{2026×(2026+1)}{2}]^2}{\frac{2026×(2026+1)}{2}}\\&=\frac{2026×2027}{2}\\&=1013×2027\\&=2053351\end{aligned}$
【答案】
(1) $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
(2) $[\frac{n(n+1)}{2}]^2$（或$(1+2+3+\dots+n)^2$）
(3) $2053351$
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，代数式运算
【点评】
本题考查通过观察特殊等式归纳一般规律的能力，体现了从特殊到一般的数学思想，解题关键是找准等式左右两边的联系，再代入规律化简计算即可。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的等式，发现规律：等式左边是从1开始连续正整数的立方和，等式右边是一个数的平方，且平方的底数恰好等于左边立方的所有底数的和。按照这个规律先解决第(1)问，再将规律推广到一般情况得到第(2)问的结论，最后把结论代入第(3)问的式子，结合已知的等差数列求和公式化简计算即可。
【解析】
(1) 观察已知等式：
第1个：$1^3=1^2$，底数$1=1$；
第2个：$1^3+2^3=3^2$，底数$3=1+2$；
第3个：$1^3+2^3+3^3=6^2$，底数$6=1+2+3$；
第4个：$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$，底数$10=1+2+3+4$；
则第5个等式左边加到$5^3$，右边底数为$1+2+3+4+5=15$，故等式为$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$。
(2) 由上述规律可得，$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3$等于前n个正整数和的平方，已知$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，因此$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$（或$(1+2+3+\dots+n)^2$）。
(3) 将上述结论代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{[\frac{2026×(2026+1)}{2}]^2}{\frac{2026×(2026+1)}{2}}\\&=\frac{2026×2027}{2}\\&=1013×2027\\&=2053351\end{aligned}$
【答案】
(1) $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
(2) $[\frac{n(n+1)}{2}]^2$（或$(1+2+3+\dots+n)^2$）
(3) $2053351$
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，代数式运算
【点评】
本题考查通过观察特殊等式归纳一般规律的能力，体现了从特殊到一般的数学思想，解题关键是找准等式左右两边的联系，再代入规律化简计算即可。
【难度系数】
0.7
