6. 提升题▶如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆。

(1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是，第n个正方形内圆的个数是。
(2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影。
①第1个正方形中阴影部分的面积为，第n个正方形中阴影部分的面积为；(用含a的代数式表示，结果保留π)
②若a=10，请直接写出第2026个正方形中阴影部分的面积：(结果保留π)

(1) $\boldsymbol{16}$，$\boldsymbol{n^2}$
(2) ① $\boldsymbol{a^2-\dfrac{π a^2}{4}}$，$\boldsymbol{a^2-\dfrac{π a^2}{4}}$；② $\boldsymbol{100-25π}$

解：
(1) 观察图形规律：第1个正方形内圆的个数为$1=1^2$，第2个正方形内圆的个数为$4=2^2$，第3个正方形内圆的个数为$9=3^2$，
因此第4个正方形内圆的个数是$4^2=16$，第$n$个正方形内圆的个数是$n^2$。
(2) ① 边长为$a$的正方形面积为$a^2$。
第1个正方形内的圆直径等于正方形边长$a$，半径为$\frac{a}{2}$，圆的面积为$π·(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{4}$，
因此第1个正方形中阴影部分的面积为$a^2-\frac{π a^2}{4}$。
第$n$个正方形内共有$n^2$个大小相等的圆，每个圆的直径为$\frac{a}{n}$，半径为$\frac{a}{2n}$，所有圆的总面积为$n^2·π·(\frac{a}{2n})^2=\frac{π a^2}{4}$，
因此第$n$个正方形中阴影部分的面积为$a^2-\frac{π a^2}{4}$。
② 将$a=10$代入$a^2-\frac{π a^2}{4}$，得阴影部分面积为$10^2-\frac{π×10^2}{4}=100-25π$。

7. 提升题 观察与思考:我们知道 $1+2+3+\dots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$, 那么 $1^3+2^3+3^3+\dots +n^3$ 的结果等于多少呢? 请你仔细观察,找出下面图形与算式的关系,回答下列问题。

(1)尝试:第5个图形可以表示的等式是 。
(2)概括: $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 =$ 。
(3)应用: 求 $\dfrac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 2026^3}{1+2+3+\dots +2026}$ 的值。

解：
(1) $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$
(2) $[\frac{n(n+1)}{2}]^2$（或$(1+2+3+\dots+n)^2$）
(3) 由题中已知结论可得：
原式$=\frac{[\frac{2026×(2026+1)}{2}]^2}{\frac{2026×(2026+1)}{2}}$
$=\frac{2026×2027}{2}$
$=1013×2027$
$=2053351$