1.如图，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，请观察图形排列规律，并解答下列问题：按照此规律，摆第10个图时，需根火柴棒；摆第n个图时，需根火柴棒。

解：
观察图形可得：
摆第1个图需要火柴棒8根，即$8 = 6×1 + 2$；
摆第2个图需要火柴棒14根，即$14 = 6×2 + 2$；
摆第3个图需要火柴棒20根，即$20 = 6×3 + 2$；
……
由此归纳规律，摆第$n$个图需要火柴棒$(6n+2)$根。
将$n=10$代入$6n+2$，得$6×10 + 2 = 62$。
所以摆第10个图时，需$\boldsymbol{62}$根火柴棒；摆第$n$个图时，需$\boldsymbol{6n+2}$根火柴棒。

2.下图是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图①有1个“树枝”，图②有3个“树枝”，图③有7个“树枝”，…。照此规律，图⑥有个“树枝”。

$\boldsymbol{63}$

解：
观察已知图形的树枝数：
图①的树枝数：$1=2^1-1$
图②的树枝数：$3=2^2-1$
图③的树枝数：$7=2^3-1$
图④的树枝数：$15=2^4-1$
由此可得规律：第$n$个图的树枝数为$2^n -1$。
当$n=6$时，$2^6 -1 = 64-1=63$。

3.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1,2,3,4,5,7,8,9这八个数字填入如图①所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等。现有如图②所示的“幻方”，则$(x-y)^{m-n}$的值是。

$\boldsymbol{-27}$

解：
计算1,2,3,4,5,7,8,9这八个数字的总和：
$1+2+3+4+5+7+8+9=39$
设每个三角形三个顶点的和，以及中间正方形四个顶点的和都为$S$。
四个三角形的和相加时，中间正方形的4个数字各被计算2次，其余4个角上的数字各被计算1次，可得：
$39 + S = 4S$
解得$S=13$。
对图②的两组相邻三角形列式：
$\begin{cases}m + (-1) + \mathrm{左下中间数} = 13 \\n + 2 + \mathrm{左下中间数} = 13\end{cases}$
两式相减得：$m-n=3$。
$\begin{cases}y + (-1) + \mathrm{右上中间数} = 13 \\x + 2 + \mathrm{右上中间数} = 13\end{cases}$
两式相减得：$x-y=-3$。
因此$(x-y)^{m-n}=(-3)^3=-27$。
最终

4.将一张纸对折1次可以得到2层，对折2次可以得到4层，照这样一直折下去。
(1)对折6次可以得到层。
(2)如果一张纸的厚度是0.1 mm，求对折6次后纸的总厚度。

解：
(1) 由题意可得，对折n次得到的层数为$2^n$，
当$n=6$时，$2^6=64$，即对折6次可以得到$\boldsymbol{64}$层。
(2) 计算对折6次后的总厚度：
$0.1×64=6.4\ \mathrm{mm}$
答：对折6次后纸的总厚度为6.4 mm。

5. 下图是用棋子摆成的“上”字图案。

（1）根据上面的规律，请在方框中画出第4个图案。
（2）按照这样的规律摆下去，摆成第n个“上”字图案需要黑子个，白子个。（用含n的代数式表示）
（3）第个“上”字图案的白子数量比黑子数量多17个。

解：
(1) 第4个图案绘制：竖直方向排列7个白棋子，最顶端白棋子右侧依次横向摆放4个白棋子；底部横向从左到右依次为黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋，竖直方向最底端的白棋子位于底部横向的第5个位置。
(2) 观察可得：
第1个图案黑子数为2=1+1，白子数为5=3×1+2；
第2个图案黑子数为3=2+1，白子数为8=3×2+2；
第3个图案黑子数为4=3+1，白子数为11=3×3+2；
因此摆成第n个“上”字图案需要黑子$\boldsymbol{n+1}$个，白子$\boldsymbol{3n+2}$个。
(3) 根据题意列方程：
$(3n+2)-(n+1)=17$
化简得：$2n+1=17$
解得：$n=8$
即第$\boldsymbol{8}$个“上”字图案的白子数量比黑子数量多17个。