登录
1.如图，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，请观察图形排列规律，并解答下列问题：按照此规律，摆第10个图时，需根火柴棒；摆第n个图时，需根火柴棒。
答案
解：
观察图形可得：
摆第1个图需要火柴棒8根，即$8 = 6×1 + 2$；
摆第2个图需要火柴棒14根，即$14 = 6×2 + 2$；
摆第3个图需要火柴棒20根，即$20 = 6×3 + 2$；
……
由此归纳规律，摆第$n$个图需要火柴棒$(6n+2)$根。
将$n=10$代入$6n+2$，得$6×10 + 2 = 62$。
所以摆第10个图时，需$\boldsymbol{62}$根火柴棒；摆第$n$个图时，需$\boldsymbol{6n+2}$根火柴棒。
观察图形可得：
摆第1个图需要火柴棒8根，即$8 = 6×1 + 2$；
摆第2个图需要火柴棒14根，即$14 = 6×2 + 2$；
摆第3个图需要火柴棒20根，即$20 = 6×3 + 2$；
……
由此归纳规律，摆第$n$个图需要火柴棒$(6n+2)$根。
将$n=10$代入$6n+2$，得$6×10 + 2 = 62$。
所以摆第10个图时，需$\boldsymbol{62}$根火柴棒；摆第$n$个图时，需$\boldsymbol{6n+2}$根火柴棒。
解析
【分析】
这是图形规律探究类题目，解题时先从已知的前3个图形入手，分别统计每个图形的火柴棒根数，对比相邻图形的火柴棒数量差，可发现每增加1个金鱼图案，火柴棒就固定增加6根，由此确定规律符合“火柴棒根数=6×图形序号+固定常数”的形式，再代入第1个图形的数值求出固定常数，就能得到第n个图形的火柴棒数量表达式，最后把n=10代入表达式即可算出第10个图的火柴棒数量。
【解析】
观察图形统计火柴棒数量可得：
摆第1个图需要火柴棒8根，即$8 = 6×1 + 2$；
摆第2个图需要火柴棒14根，即$14 = 6×2 + 2$；
摆第3个图需要火柴棒20根，即$20 = 6×3 + 2$；
根据上述式子归纳规律：摆第$n$个图需要火柴棒的根数为$6n+2$。
将$n=10$代入$6n+2$，得$6×10 + 2 = 62$（根）。
【答案】
62；$6n+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究题型，核心是通过观察、对比前几个图形的数量特征，归纳出通用的数量规律，既考察学生的观察归纳能力，也能强化学生用代数式表示数量关系的应用能力。
【难度系数】
0.7
这是图形规律探究类题目，解题时先从已知的前3个图形入手，分别统计每个图形的火柴棒根数，对比相邻图形的火柴棒数量差，可发现每增加1个金鱼图案，火柴棒就固定增加6根，由此确定规律符合“火柴棒根数=6×图形序号+固定常数”的形式，再代入第1个图形的数值求出固定常数，就能得到第n个图形的火柴棒数量表达式，最后把n=10代入表达式即可算出第10个图的火柴棒数量。
【解析】
观察图形统计火柴棒数量可得：
摆第1个图需要火柴棒8根，即$8 = 6×1 + 2$；
摆第2个图需要火柴棒14根，即$14 = 6×2 + 2$；
摆第3个图需要火柴棒20根，即$20 = 6×3 + 2$；
根据上述式子归纳规律：摆第$n$个图需要火柴棒的根数为$6n+2$。
将$n=10$代入$6n+2$，得$6×10 + 2 = 62$（根）。
【答案】
62；$6n+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究题型，核心是通过观察、对比前几个图形的数量特征，归纳出通用的数量规律，既考察学生的观察归纳能力，也能强化学生用代数式表示数量关系的应用能力。
【难度系数】
0.7
2.下图是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图①有1个“树枝”，图②有3个“树枝”，图③有7个“树枝”，…。照此规律，图⑥有个“树枝”。
答案
$\boldsymbol{63}$
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先要梳理已知条件：将图形序号和对应的树枝数量一一对应列出，再观察数字和序号的关联。已知序号1对应树枝数1，序号2对应3，序号3对应7，对比发现这些数都符合“2的序号次方减1”的特征，由此归纳出第n个图的树枝数通用公式，最后将n=6代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据已知信息整理得：
第1个图（图①）的树枝数：$1 = 2^1 - 1$
第2个图（图②）的树枝数：$3 = 2^2 - 1$
第3个图（图③）的树枝数：$7 = 2^3 - 1$
由此可归纳出规律：第n个图的树枝数为$2^n - 1$。
当n=6时，树枝数为$2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$。
【答案】
63
【知识点】
图形规律探究、有理数乘方运算
【点评】
本题是规律探究类基础题型，解题关键是通过观察已知的数量特征，归纳出数量随序号变化的通用表达式，侧重考查学生的观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，首先要梳理已知条件：将图形序号和对应的树枝数量一一对应列出，再观察数字和序号的关联。已知序号1对应树枝数1，序号2对应3，序号3对应7，对比发现这些数都符合“2的序号次方减1”的特征，由此归纳出第n个图的树枝数通用公式，最后将n=6代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据已知信息整理得：
第1个图（图①）的树枝数：$1 = 2^1 - 1$
第2个图（图②）的树枝数：$3 = 2^2 - 1$
第3个图（图③）的树枝数：$7 = 2^3 - 1$
由此可归纳出规律：第n个图的树枝数为$2^n - 1$。
当n=6时，树枝数为$2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$。
【答案】
63
【知识点】
图形规律探究、有理数乘方运算
【点评】
本题是规律探究类基础题型，解题关键是通过观察已知的数量特征，归纳出数量随序号变化的通用表达式，侧重考查学生的观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
3.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1,2,3,4,5,7,8,9这八个数字填入如图①所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等。现有如图②所示的“幻方”，则$(x-y)^{m-n}$的值是。
答案
$\boldsymbol{-27}$
解析
【分析】
首先根据题目给出的规则：每个三角形三个顶点的数字之和等于中间正方形四个顶点的数字之和，我们可以分别对含x、y的三角形和含m、n的三角形列等式，通过作差消去公共的未知量（无需计算空白处数字和公共和），直接得到x-y和m-n的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
设每个三角形三个顶点的数字之和（与中间正方形四个顶点数字之和相等）为$ S $，右上角空白处数字为$ a $，左下角空白处数字为$ b $。
1. 计算$ x-y $的值：
$ y $所在的三角形满足：$ y + (-1) + a = S $，整理得$ y = S + 1 - a $ ①
$ x $所在的三角形满足：$ x + 2 + a = S $，整理得$ x = S - 2 - a $ ②
用②式减①式，消去$ S $和$ a $：
$ x-y = (S - 2 - a) - (S + 1 - a) = -3 $
2. 计算$ m-n $的值：
$ m $所在的三角形满足：$ m + (-1) + b = S $，整理得$ m = S + 1 - b $ ③
$ n $所在的三角形满足：$ n + 2 + b = S $，整理得$ n = S - 2 - b $ ④
用③式减④式，消去$ S $和$ b $：
$ m-n = (S + 1 - b) - (S - 2 - b) = 3 $
3. 代入代数式计算：
将$ x-y=-3 $，$ m-n=3 $代入$ (x-y)^{m-n} $得：
$ (-3)^3 = -27 $
【答案】
$\boldsymbol{-27}$
【知识点】
规律探索、代数式求值、等式的性质
【点评】
本题属于数字规律类题目，解题核心是灵活运用消元思想，不需要求出所有未知量，通过作差消去公共未知量就能快速得到结果，降低了计算难度。
【难度系数】
0.6
首先根据题目给出的规则：每个三角形三个顶点的数字之和等于中间正方形四个顶点的数字之和，我们可以分别对含x、y的三角形和含m、n的三角形列等式，通过作差消去公共的未知量（无需计算空白处数字和公共和），直接得到x-y和m-n的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
设每个三角形三个顶点的数字之和（与中间正方形四个顶点数字之和相等）为$ S $，右上角空白处数字为$ a $，左下角空白处数字为$ b $。
1. 计算$ x-y $的值：
$ y $所在的三角形满足：$ y + (-1) + a = S $，整理得$ y = S + 1 - a $ ①
$ x $所在的三角形满足：$ x + 2 + a = S $，整理得$ x = S - 2 - a $ ②
用②式减①式，消去$ S $和$ a $：
$ x-y = (S - 2 - a) - (S + 1 - a) = -3 $
2. 计算$ m-n $的值：
$ m $所在的三角形满足：$ m + (-1) + b = S $，整理得$ m = S + 1 - b $ ③
$ n $所在的三角形满足：$ n + 2 + b = S $，整理得$ n = S - 2 - b $ ④
用③式减④式，消去$ S $和$ b $：
$ m-n = (S + 1 - b) - (S - 2 - b) = 3 $
3. 代入代数式计算：
将$ x-y=-3 $，$ m-n=3 $代入$ (x-y)^{m-n} $得：
$ (-3)^3 = -27 $
【答案】
$\boldsymbol{-27}$
【知识点】
规律探索、代数式求值、等式的性质
【点评】
本题属于数字规律类题目，解题核心是灵活运用消元思想，不需要求出所有未知量，通过作差消去公共未知量就能快速得到结果，降低了计算难度。
【难度系数】
0.6
4.将一张纸对折1次可以得到2层，对折2次可以得到4层，照这样一直折下去。
(1)对折6次可以得到层。
(2)如果一张纸的厚度是0.1 mm，求对折6次后纸的总厚度。
(1)对折6次可以得到层。
(2)如果一张纸的厚度是0.1 mm，求对折6次后纸的总厚度。
答案
解：
(1) 由题意可得，对折n次得到的层数为$2^n$，
当$n=6$时，$2^6=64$，即对折6次可以得到$\boldsymbol{64}$层。
(2) 计算对折6次后的总厚度：
$0.1×64=6.4\ \mathrm{mm}$
答：对折6次后纸的总厚度为6.4 mm。
(1) 由题意可得，对折n次得到的层数为$2^n$，
当$n=6$时，$2^6=64$，即对折6次可以得到$\boldsymbol{64}$层。
(2) 计算对折6次后的总厚度：
$0.1×64=6.4\ \mathrm{mm}$
答：对折6次后纸的总厚度为6.4 mm。
解析
【分析】
首先观察题目给出的对折次数与层数的对应关系：对折1次层数为2=2¹，对折2次层数为4=2²，可归纳出通用规律：对折n次后，纸的层数为2ⁿ。第一问求对折6次的层数，只需将n=6代入规律计算即可；第二问求总厚度，根据“总厚度=单层厚度×总层数”，用第一问算出的层数乘单层厚度0.1mm即可求解。
【解析】
(1) 由题意可得，对折n次得到的层数为$2^n$，
当$n=6$时，$2^6=2×2×2×2×2×2=64$，即对折6次可以得到64层。
(2) 已知纸的单层厚度为0.1mm，总厚度=单层厚度×总层数，
则对折6次后的总厚度为：$0.1×64=6.4\ \mathrm{mm}$
答：对折6次后纸的总厚度为6.4 mm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{64}$；(2) $\boldsymbol{6.4\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
有理数乘方运算；数字规律探索；有理数乘法运算
【点评】
本题结合生活中的折纸场景考查规律归纳能力和基础运算能力，解题关键是通过已知例子总结出对折次数与层数的对应规律，再结合乘方、乘法运算即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的对折次数与层数的对应关系：对折1次层数为2=2¹，对折2次层数为4=2²，可归纳出通用规律：对折n次后，纸的层数为2ⁿ。第一问求对折6次的层数，只需将n=6代入规律计算即可；第二问求总厚度，根据“总厚度=单层厚度×总层数”，用第一问算出的层数乘单层厚度0.1mm即可求解。
【解析】
(1) 由题意可得，对折n次得到的层数为$2^n$，
当$n=6$时，$2^6=2×2×2×2×2×2=64$，即对折6次可以得到64层。
(2) 已知纸的单层厚度为0.1mm，总厚度=单层厚度×总层数，
则对折6次后的总厚度为：$0.1×64=6.4\ \mathrm{mm}$
答：对折6次后纸的总厚度为6.4 mm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{64}$；(2) $\boldsymbol{6.4\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
有理数乘方运算；数字规律探索；有理数乘法运算
【点评】
本题结合生活中的折纸场景考查规律归纳能力和基础运算能力，解题关键是通过已知例子总结出对折次数与层数的对应规律，再结合乘方、乘法运算即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5. 下图是用棋子摆成的“上”字图案。
（1）根据上面的规律，请在方框中画出第4个图案。
（2）按照这样的规律摆下去，摆成第n个“上”字图案需要黑子个，白子个。（用含n的代数式表示）
（3）第个“上”字图案的白子数量比黑子数量多17个。
（1）根据上面的规律，请在方框中画出第4个图案。
（2）按照这样的规律摆下去，摆成第n个“上”字图案需要黑子个，白子个。（用含n的代数式表示）
（3）第个“上”字图案的白子数量比黑子数量多17个。
答案
解：
(1) 第4个图案绘制：竖直方向排列7个白棋子，最顶端白棋子右侧依次横向摆放4个白棋子；底部横向从左到右依次为黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋，竖直方向最底端的白棋子位于底部横向的第5个位置。
(2) 观察可得：
第1个图案黑子数为2=1+1，白子数为5=3×1+2；
第2个图案黑子数为3=2+1，白子数为8=3×2+2；
第3个图案黑子数为4=3+1，白子数为11=3×3+2；
因此摆成第n个“上”字图案需要黑子$\boldsymbol{n+1}$个，白子$\boldsymbol{3n+2}$个。
(3) 根据题意列方程：
$(3n+2)-(n+1)=17$
化简得：$2n+1=17$
解得：$n=8$
即第$\boldsymbol{8}$个“上”字图案的白子数量比黑子数量多17个。
(1) 第4个图案绘制：竖直方向排列7个白棋子，最顶端白棋子右侧依次横向摆放4个白棋子；底部横向从左到右依次为黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋，竖直方向最底端的白棋子位于底部横向的第5个位置。
(2) 观察可得：
第1个图案黑子数为2=1+1，白子数为5=3×1+2；
第2个图案黑子数为3=2+1，白子数为8=3×2+2；
第3个图案黑子数为4=3+1，白子数为11=3×3+2；
因此摆成第n个“上”字图案需要黑子$\boldsymbol{n+1}$个，白子$\boldsymbol{3n+2}$个。
(3) 根据题意列方程：
$(3n+2)-(n+1)=17$
化简得：$2n+1=17$
解得：$n=8$
即第$\boldsymbol{8}$个“上”字图案的白子数量比黑子数量多17个。
解析
【分析】
解决本题可按以下思路逐步推导：
1. 画第4个图案：先观察前3个图案的结构规律：①竖直方向白棋子数：第1个4个、第2个5个、第3个6个，依次增加1个，因此第4个竖直方向有7个白棋子；②竖直顶端右侧的横向白棋子：第1个1个、第2个2个、第3个3个，依次增加1个，因此第4个该位置有4个白棋子；③底部横向棋子：均为黑白交替排列，黑子数第1个2个、第2个3个、第3个4个，依次增加1个，因此第4个底部有5个黑子、4个白子，共9个棋子，竖直方向最底端的白棋子对准底部横向的中间位置，按此结构画图即可。
2. 求第n个图案的黑子、白子数：将前3个图案的黑子、白子数分别和对应序号n对比，归纳出数量和n的通用关系即可。
3. 求白子比黑子多17个对应的序号：根据第2问得到的代数式，结合“白子数-黑子数=17”列一元一次方程，求解即可得到n的值。
【解析】
(1) 第4个图案绘制：竖直方向从上到下排列7个白棋子，最顶端白棋子的右侧依次横向摆放4个白棋子；底部横向从左到右依次为黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋，竖直方向最底端的白棋子位于底部横向的第5个位置。
(2) 观察前3个图案的棋子数量：
第1个图案：黑子数为2=1+1，白子数为5=3×1+2；
第2个图案：黑子数为3=2+1，白子数为8=3×2+2；
第3个图案：黑子数为4=3+1，白子数为11=3×3+2；
由此可归纳得：摆成第n个“上”字图案需要黑子$(n+1)$个，白子$(3n+2)$个。
(3) 根据题意，白子数量比黑子数量多17个，可列方程：
$(3n+2)-(n+1)=17$
化简得：$2n+1=17$
解得：$n=8$
【答案】
(1) 按上述解析描述绘制图案；
(2) $\boldsymbol{n+1}$，$\boldsymbol{3n+2}$；
(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题是规律探究类典型题，核心是从特殊的已知图形中归纳出通用的数量变化规律，再结合代数运算或方程解决后续问题，能很好地锻炼归纳推理能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路逐步推导：
1. 画第4个图案：先观察前3个图案的结构规律：①竖直方向白棋子数：第1个4个、第2个5个、第3个6个，依次增加1个，因此第4个竖直方向有7个白棋子；②竖直顶端右侧的横向白棋子：第1个1个、第2个2个、第3个3个，依次增加1个，因此第4个该位置有4个白棋子；③底部横向棋子：均为黑白交替排列，黑子数第1个2个、第2个3个、第3个4个，依次增加1个，因此第4个底部有5个黑子、4个白子，共9个棋子，竖直方向最底端的白棋子对准底部横向的中间位置，按此结构画图即可。
2. 求第n个图案的黑子、白子数：将前3个图案的黑子、白子数分别和对应序号n对比，归纳出数量和n的通用关系即可。
3. 求白子比黑子多17个对应的序号：根据第2问得到的代数式，结合“白子数-黑子数=17”列一元一次方程，求解即可得到n的值。
【解析】
(1) 第4个图案绘制：竖直方向从上到下排列7个白棋子，最顶端白棋子的右侧依次横向摆放4个白棋子；底部横向从左到右依次为黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋、白棋、黑棋，竖直方向最底端的白棋子位于底部横向的第5个位置。
(2) 观察前3个图案的棋子数量：
第1个图案：黑子数为2=1+1，白子数为5=3×1+2；
第2个图案：黑子数为3=2+1，白子数为8=3×2+2；
第3个图案：黑子数为4=3+1，白子数为11=3×3+2；
由此可归纳得：摆成第n个“上”字图案需要黑子$(n+1)$个，白子$(3n+2)$个。
(3) 根据题意，白子数量比黑子数量多17个，可列方程：
$(3n+2)-(n+1)=17$
化简得：$2n+1=17$
解得：$n=8$
【答案】
(1) 按上述解析描述绘制图案；
(2) $\boldsymbol{n+1}$，$\boldsymbol{3n+2}$；
(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题是规律探究类典型题，核心是从特殊的已知图形中归纳出通用的数量变化规律，再结合代数运算或方程解决后续问题，能很好地锻炼归纳推理能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
