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一、选择题
1. 在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$AB=5$，则$AC$的长为(
A.12
B.9
C.5
D.2
1. 在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$AB=5$，则$AC$的长为(
C
)A.12
B.9
C.5
D.2
答案
1. C
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：△ABC中∠B=∠C，AB=5，求AC的长。解题时先回忆等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。接下来确定角和对应边的关系：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，因此相等的角对应的边相等，即可推出AC与AB的长度关系，代入AB的数值就能得到AC的长。
【解析】
解：在△ABC中，
∵ ∠B = ∠C，
∴ 根据“等角对等边”可得：AC = AB，
又
∵ 已知AB = 5，
∴ AC = 5。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等角对等边；等腰三角形判定
【点评】
本题是基础题，主要考查等腰三角形的判定，解题核心是准确对应相等的角和其所对的边，牢记相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先梳理题目已知条件：△ABC中∠B=∠C，AB=5，求AC的长。解题时先回忆等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。接下来确定角和对应边的关系：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，因此相等的角对应的边相等，即可推出AC与AB的长度关系，代入AB的数值就能得到AC的长。
【解析】
解：在△ABC中，
∵ ∠B = ∠C，
∴ 根据“等角对等边”可得：AC = AB，
又
∵ 已知AB = 5，
∴ AC = 5。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等角对等边；等腰三角形判定
【点评】
本题是基础题，主要考查等腰三角形的判定，解题核心是准确对应相等的角和其所对的边，牢记相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图1，在$△ ABC$中，$∠ A=36°$，$AB=AC$，点$D$在边$AC$上，$△ BCD$沿着$BD$对折，点$C$的对称点$E$恰好在边$AB$上，则图中等腰三角形共有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先确定△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形内角关系算出底角∠ABC、∠C的度数；再结合折叠的全等性质，得到对应角、对应边相等的关系；随后通过三角形内角和定理逐一计算各个小三角形的内角度数，依据“等角对等边”的判定规则逐个判断是否为等腰三角形，排查时按顺序验证可避免漏数。
【解析】
1. 已知$AB=AC$，$∠ A=36°$，因此$△ ABC$是等腰三角形，由三角形内角和得：
$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
2. 由折叠的性质可知$△ BCD ≌ △ BED$，因此：
$BE=BC$，$DE=DC$，$∠ BED=∠ C=72°$，$∠ EBD=∠ CBD$，$∠ EDB=∠ CDB$。
3. 判断$△ AED$：
$∠ AED=180°-∠ BED=180°-72°=108°$，
在$△ AED$中，$∠ ADE=180°-∠ A-∠ AED=180°-36°-108°=36°$，
因此$∠ A=∠ ADE$，可得$AE=DE$，$△ AED$是等腰三角形。
4. 判断$△ BED$：
$∠ EDC=180°-∠ ADE=180°-36°=144°$，
又$∠ EDB=∠ CDB$，因此$∠ EDB=\frac{144°}{2}=72°$，
可得$∠ BED=∠ EDB=72°$，$BE=BD$，$△ BED$是等腰三角形。
5. 判断$△ ABD$：
在$△ BED$中，$∠ EBD=180°-∠ BED-∠ EDB=180°-72°-72°=36°$，
因此$∠ ABD=∠ A=36°$，可得$AD=BD$，$△ ABD$是等腰三角形。
6. 判断$△ BCD$：
$∠ CBD=∠ EBD=36°$，在$△ BCD$中，$∠ CDB=72°=∠ C$，
因此$BC=BD$，$△ BCD$是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有$△ ABC$、$△ AED$、$△ BED$、$△ ABD$、$△ BCD$，共5个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题需要结合图形性质逐步推导角度关系，重点考查等腰三角形的判定，解题时按顺序排查每个三角形，可有效避免漏判、错判。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手，首先确定△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形内角关系算出底角∠ABC、∠C的度数；再结合折叠的全等性质，得到对应角、对应边相等的关系；随后通过三角形内角和定理逐一计算各个小三角形的内角度数，依据“等角对等边”的判定规则逐个判断是否为等腰三角形，排查时按顺序验证可避免漏数。
【解析】
1. 已知$AB=AC$，$∠ A=36°$，因此$△ ABC$是等腰三角形，由三角形内角和得：
$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
2. 由折叠的性质可知$△ BCD ≌ △ BED$，因此：
$BE=BC$，$DE=DC$，$∠ BED=∠ C=72°$，$∠ EBD=∠ CBD$，$∠ EDB=∠ CDB$。
3. 判断$△ AED$：
$∠ AED=180°-∠ BED=180°-72°=108°$，
在$△ AED$中，$∠ ADE=180°-∠ A-∠ AED=180°-36°-108°=36°$，
因此$∠ A=∠ ADE$，可得$AE=DE$，$△ AED$是等腰三角形。
4. 判断$△ BED$：
$∠ EDC=180°-∠ ADE=180°-36°=144°$，
又$∠ EDB=∠ CDB$，因此$∠ EDB=\frac{144°}{2}=72°$，
可得$∠ BED=∠ EDB=72°$，$BE=BD$，$△ BED$是等腰三角形。
5. 判断$△ ABD$：
在$△ BED$中，$∠ EBD=180°-∠ BED-∠ EDB=180°-72°-72°=36°$，
因此$∠ ABD=∠ A=36°$，可得$AD=BD$，$△ ABD$是等腰三角形。
6. 判断$△ BCD$：
$∠ CBD=∠ EBD=36°$，在$△ BCD$中，$∠ CDB=72°=∠ C$，
因此$BC=BD$，$△ BCD$是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有$△ ABC$、$△ AED$、$△ BED$、$△ ABD$、$△ BCD$，共5个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题需要结合图形性质逐步推导角度关系，重点考查等腰三角形的判定，解题时按顺序排查每个三角形，可有效避免漏判、错判。
【难度系数】
0.6
3. 如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，认真观察作图痕迹，下面的“已知”分别对应作图顺序正确的是(
①已知等腰三角形的底边和底边上的高；
②已知等腰三角形的底边和腰；
③已知等腰三角形的底边和一底角.
A.①②③
B.②①③
C.③①②
D.②③①
B
)①已知等腰三角形的底边和底边上的高；
②已知等腰三角形的底边和腰；
③已知等腰三角形的底边和一底角.
A.①②③
B.②①③
C.③①②
D.②③①
答案
3. B
解析
【分析】
解题时需先分别回忆三种已知条件下作等腰三角形的操作步骤，再逐一对题目给出的三种作图痕迹进行匹配，最终确定正确的对应顺序。首先明确：已知底边和腰时，要以底边两端为圆心、腰长为半径画弧找顶点；已知底边和底边上的高时，要先作底边的垂直平分线，再在垂直平分线上按高的长度找顶点；已知底边和一底角时，要在底边两端作相等的底角，两边交点为顶点，再对应作图痕迹排序即可。
【解析】
我们逐个匹配作图痕迹与已知条件：
1. 第一个作图：先作线段（即底边），再分别以底边两个端点为圆心、相同长度（腰长）为半径画弧，两弧交点为等腰三角形的顶点，连接得到等腰三角形，对应已知②“已知等腰三角形的底边和腰”。
2. 第二个作图：先作线段（即底边），再作底边的垂直平分线，在垂直平分线上截取定长（高的长度）得到顶点，连接顶点和底边两端得到等腰三角形，对应已知①“已知等腰三角形的底边和底边上的高”。
3. 第三个作图：先作线段（即底边），再分别在底边的两个端点作度数相等的角（底角），两个角的另一边交点为顶点，连接得到等腰三角形，对应已知③“已知等腰三角形的底边和一底角”。
因此作图顺序对应的已知为②①③，故选B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图；等腰三角形判定；垂直平分线性质
【点评】
本题考查不同条件下尺规作等腰三角形的方法，需要熟练掌握等腰三角形的性质和判定，熟悉各类尺规作图的操作步骤，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时需先分别回忆三种已知条件下作等腰三角形的操作步骤，再逐一对题目给出的三种作图痕迹进行匹配，最终确定正确的对应顺序。首先明确：已知底边和腰时，要以底边两端为圆心、腰长为半径画弧找顶点；已知底边和底边上的高时，要先作底边的垂直平分线，再在垂直平分线上按高的长度找顶点；已知底边和一底角时，要在底边两端作相等的底角，两边交点为顶点，再对应作图痕迹排序即可。
【解析】
我们逐个匹配作图痕迹与已知条件：
1. 第一个作图：先作线段（即底边），再分别以底边两个端点为圆心、相同长度（腰长）为半径画弧，两弧交点为等腰三角形的顶点，连接得到等腰三角形，对应已知②“已知等腰三角形的底边和腰”。
2. 第二个作图：先作线段（即底边），再作底边的垂直平分线，在垂直平分线上截取定长（高的长度）得到顶点，连接顶点和底边两端得到等腰三角形，对应已知①“已知等腰三角形的底边和底边上的高”。
3. 第三个作图：先作线段（即底边），再分别在底边的两个端点作度数相等的角（底角），两个角的另一边交点为顶点，连接得到等腰三角形，对应已知③“已知等腰三角形的底边和一底角”。
因此作图顺序对应的已知为②①③，故选B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图；等腰三角形判定；垂直平分线性质
【点评】
本题考查不同条件下尺规作等腰三角形的方法，需要熟练掌握等腰三角形的性质和判定，熟悉各类尺规作图的操作步骤，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图3,在长方形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,连接EF,将长方形ABCD沿EF折叠,点C落在点C'处,点D落在点D'处,EC'与AD边交于点M. 若四边形ECDF的周长是17 cm,EF=5 cm,则四边形MFD'C'的周长为(
A.12 cm
B.17 cm
C.22 cm
D.27 cm
A
)A.12 cm
B.17 cm
C.22 cm
D.27 cm
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，再结合长方形AD与BC平行的性质，通过等角对等边判定ME=MF，最后将所求四边形MFD'C'的周长拆分，通过等量代换转化为已知四边形ECDF周长的一部分，消去公共相等线段即可求出结果。
【解析】
解：根据折叠的性质可知：D'F=DF，C'E=CE，C'D'=CD，∠CEF=∠C'EF。
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠AFE=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∴∠C'EF=∠AFE，
∴ME=MF（等角对等边）。
已知四边形ECDF的周长为：EC + CD + DF + EF = 17 cm，且EF=5 cm，
∴EC + CD + DF = 17 - 5 = 12 cm。
四边形MFD'C'的周长为：$MF + FD' + D'C' + C'M$，
将FD'替换为DF，D'C'替换为CD，又
∵$C'M = C'E - ME = CE - ME$，且ME=MF，
代入得：
周长$= MF + DF + CD + CE - ME = MF + DF + CD + CE - MF = CE + CD + DF = 12$ cm。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题侧重考察转化思想的应用，解题核心是通过折叠和平行线的性质找到相等的线段，将未知周长的线段和已知条件建立关联，无需单独求出每段线段的长度即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，再结合长方形AD与BC平行的性质，通过等角对等边判定ME=MF，最后将所求四边形MFD'C'的周长拆分，通过等量代换转化为已知四边形ECDF周长的一部分，消去公共相等线段即可求出结果。
【解析】
解：根据折叠的性质可知：D'F=DF，C'E=CE，C'D'=CD，∠CEF=∠C'EF。
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠AFE=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∴∠C'EF=∠AFE，
∴ME=MF（等角对等边）。
已知四边形ECDF的周长为：EC + CD + DF + EF = 17 cm，且EF=5 cm，
∴EC + CD + DF = 17 - 5 = 12 cm。
四边形MFD'C'的周长为：$MF + FD' + D'C' + C'M$，
将FD'替换为DF，D'C'替换为CD，又
∵$C'M = C'E - ME = CE - ME$，且ME=MF，
代入得：
周长$= MF + DF + CD + CE - ME = MF + DF + CD + CE - MF = CE + CD + DF = 12$ cm。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题侧重考察转化思想的应用，解题核心是通过折叠和平行线的性质找到相等的线段，将未知周长的线段和已知条件建立关联，无需单独求出每段线段的长度即可快速解题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 等腰三角形ABC中，若AB=AC，∠A=70°，则∠B=
1. 等腰三角形ABC中，若AB=AC，∠A=70°，则∠B=
55°
，∠C=55°
。答案
1. 55°,55°
解析
【分析】
拿到这道题，首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形两腰对应的底角相等（等边对等角）。已知AB=AC，说明∠B和∠C是两个相等的底角，∠A是顶角。再结合三角形内角和为180°的定理，先算出两个底角的总度数，再平分就能得到每个底角的度数。
【解析】
解：
∵ 在等腰△ABC中，AB=AC
∴ ∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）
又
∵ 三角形内角和为180°，即$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，且$∠ A=70°$
∴ $∠ B+∠ C=180°-70°=110°$
∴ $∠ B=∠ C=110°÷2=55°$
【答案】
$55°$，$55°$
【知识点】
等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础考察题，解题关键是准确识别等腰三角形相等的边对应的等角，结合内角和定理计算即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形两腰对应的底角相等（等边对等角）。已知AB=AC，说明∠B和∠C是两个相等的底角，∠A是顶角。再结合三角形内角和为180°的定理，先算出两个底角的总度数，再平分就能得到每个底角的度数。
【解析】
解：
∵ 在等腰△ABC中，AB=AC
∴ ∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）
又
∵ 三角形内角和为180°，即$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，且$∠ A=70°$
∴ $∠ B+∠ C=180°-70°=110°$
∴ $∠ B=∠ C=110°÷2=55°$
【答案】
$55°$，$55°$
【知识点】
等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础考察题，解题关键是准确识别等腰三角形相等的边对应的等角，结合内角和定理计算即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
2. 在等腰三角形中,有一个角为$80°$,则另外两个角的度数为
50°,50°或80°,20°
.答案
2. 50°,50°或80°,20°
解析
【分析】
解决本题首先要用到等腰三角形两底角相等的性质，以及三角形内角和为180°的定理。由于题目中未明确给出80°的角是等腰三角形的顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论计算，最后还要验证计算结果是否满足三角形内角和的要求，确保结果合理。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若80°的角为等腰三角形的顶角：
因为等腰三角形的两个底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角的度数为：
$(180° - 80°) ÷ 2 = 50°$
此时另外两个角的度数为$50°$，$50°$。
2. 若80°的角为等腰三角形的底角：
则另一个底角也为$80°$，顶角的度数为：
$180° - 80° × 2 = 20°$
此时另外两个角的度数为$80°$，$20°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
50°,50°或80°,20°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础常考题，解题核心是当已知角未明确为顶角或底角时，必须分类讨论，同时要注意验证结果是否符合三角形的基本性质，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要用到等腰三角形两底角相等的性质，以及三角形内角和为180°的定理。由于题目中未明确给出80°的角是等腰三角形的顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论计算，最后还要验证计算结果是否满足三角形内角和的要求，确保结果合理。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若80°的角为等腰三角形的顶角：
因为等腰三角形的两个底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角的度数为：
$(180° - 80°) ÷ 2 = 50°$
此时另外两个角的度数为$50°$，$50°$。
2. 若80°的角为等腰三角形的底角：
则另一个底角也为$80°$，顶角的度数为：
$180° - 80° × 2 = 20°$
此时另外两个角的度数为$80°$，$20°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
50°,50°或80°,20°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础常考题，解题核心是当已知角未明确为顶角或底角时，必须分类讨论，同时要注意验证结果是否符合三角形的基本性质，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
3. 若一个三角形两个角分别为$40°$,$100°$,则这个三角形是
等腰
三角形.答案
3. 等腰
解析
【分析】
解题思路：首先回忆三角形内角和为180°，已知两个内角的度数，先计算出第三个内角的度数；再观察三个内角的度数特征，结合等腰三角形的判定规则（等角对等边）判断三角形的类型。第一步：用180°减去已知两个角的度数求出第三个角；第二步：查看是否存在两个相等的内角，若存在则对应边相等，即为等腰三角形。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
已知三角形两个角分别为40°、100°，则第三个角的度数为：
$180° - 40° - 100° = 40°$
此时该三角形有两个内角均为40°，度数相等，根据“等角对等边”的判定规则，两个相等的角所对的边也相等，因此这个三角形是等腰三角形。
【答案】
等腰
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角形内角和定理的应用以及等腰三角形判定方法的掌握，解题时需先计算完整三个内角度数再判断类型，避免仅凭最大角直接判断为钝角三角形的错误。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆三角形内角和为180°，已知两个内角的度数，先计算出第三个内角的度数；再观察三个内角的度数特征，结合等腰三角形的判定规则（等角对等边）判断三角形的类型。第一步：用180°减去已知两个角的度数求出第三个角；第二步：查看是否存在两个相等的内角，若存在则对应边相等，即为等腰三角形。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
已知三角形两个角分别为40°、100°，则第三个角的度数为：
$180° - 40° - 100° = 40°$
此时该三角形有两个内角均为40°，度数相等，根据“等角对等边”的判定规则，两个相等的角所对的边也相等，因此这个三角形是等腰三角形。
【答案】
等腰
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角形内角和定理的应用以及等腰三角形判定方法的掌握，解题时需先计算完整三个内角度数再判断类型，避免仅凭最大角直接判断为钝角三角形的错误。
【难度系数】
0.9
4. 如图4,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$交BC于点D,$AD=BD$,$∠ ADC=72°$.若$BD=5$,则AC的长是
5
.答案
4. 5
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，先利用AD=BD的等腰三角形性质，结合三角形外角性质求出∠BAD的度数；第二步，根据角平分线定义得到∠DAC的度数，再用三角形内角和定理算出△ADC中∠C的度数；第三步，通过角度相等判定△ADC为等腰三角形，最后通过等量代换得到AC的长度。
【解析】
1.
∵ $AD=BD$，
∴ $△ ABD$为等腰三角形，$∠ B=∠ BAD$
2.
∵ $∠ ADC$是$△ ABD$的外角，$∠ ADC=72°$
∴ $∠ ADC=∠ B+∠ BAD=2∠ BAD=72°$，解得$∠ BAD=36°$
3.
∵ $AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ DAC=∠ BAD=36°$
4. 在$△ ADC$中，$∠ C=180°-∠ ADC-∠ DAC=180°-72°-36°=72°$
5.
∴ $∠ C=∠ ADC=72°$，$△ ADC$为等腰三角形，$AC=AD$
6. 又
∵ $AD=BD=5$，
∴ $AC=AD=5$
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础应用题，解题核心是通过角度计算判定等腰三角形，再利用等边相等的性质完成等量代换，解题时注意不要混淆三角形外角和内角的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：第一步，先利用AD=BD的等腰三角形性质，结合三角形外角性质求出∠BAD的度数；第二步，根据角平分线定义得到∠DAC的度数，再用三角形内角和定理算出△ADC中∠C的度数；第三步，通过角度相等判定△ADC为等腰三角形，最后通过等量代换得到AC的长度。
【解析】
1.
∵ $AD=BD$，
∴ $△ ABD$为等腰三角形，$∠ B=∠ BAD$
2.
∵ $∠ ADC$是$△ ABD$的外角，$∠ ADC=72°$
∴ $∠ ADC=∠ B+∠ BAD=2∠ BAD=72°$，解得$∠ BAD=36°$
3.
∵ $AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ DAC=∠ BAD=36°$
4. 在$△ ADC$中，$∠ C=180°-∠ ADC-∠ DAC=180°-72°-36°=72°$
5.
∴ $∠ C=∠ ADC=72°$，$△ ADC$为等腰三角形，$AC=AD$
6. 又
∵ $AD=BD=5$，
∴ $AC=AD=5$
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础应用题，解题核心是通过角度计算判定等腰三角形，再利用等边相等的性质完成等量代换，解题时注意不要混淆三角形外角和内角的对应关系。
【难度系数】
0.7
