5*. 如图5，∠AOB=60°,C是BO延长线上的一点，OC=12 cm,动点P从点C出发沿CB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1 cm/s的速度移动. 如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=时，△POQ是等腰三角形.

5. 4或12

【分析】
这是一道结合动点与等腰三角形判定的题目，解题需先分类讨论点P的位置：①点P在线段OC上；②点P在OB线段上。首先用含t的代数式分别表示两种情况下OP的长度，再结合OQ的长度，根据等腰三角形两边相等的性质列方程求解，最后检验解是否符合对应情况的t的取值范围即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在线段OC上时（$0\le t＜6$，此时$CP=2t＜12$）：
$OP=OC-CP=12-2t$，$OQ=t$，
此时$∠ POQ=180°-∠ AOB=180°-60°=120°$，120°为钝角，只能作为等腰三角形的顶角，因此两腰为OP和OQ，即$OP=OQ$，
列方程：$12-2t=t$，解得$t=4$，符合$0\le t＜6$的取值范围。
2. 当点P在OB线段上时（$t\ge6$，此时$CP=2t\ge12$）：
$OP=CP-OC=2t-12$，$OQ=t$，
此时$∠ POQ=∠ AOB=60°$，若△POQ为等腰三角形，结合60°内角的特点，满足$OP=OQ$即可，
列方程：$2t-12=t$，解得$t=12$，符合$t\ge6$的取值范围。
综上，$t$的值为4或12。
【答案】
4或12
【知识点】
等腰三角形的判定，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题的易错点是遗漏点P在OB上的情况，解题时要结合动点的运动轨迹完整分类，同时可借助三角形内角的特点简化等腰三角形腰的判断，提升解题效率。
【难度系数】
0.6

三、解答题
1. 如图6，已知$∠1=∠2$，$∠ AOB=∠ AOC$.
求证:$△ ABC$是等腰三角形.

1. 提示:由∠1=∠2得OB=OC,再证△ABO≌△ACO,得AB=AC.

【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，只需证明AB=AC，通常可通过证明两条边所在的三角形全等推导，即证明△ABO≌△ACO。首先由已知∠1=∠2，利用等角对等边可得OB=OC，再结合已知的∠AOB=∠AOC和公共边AO，即可用SAS判定定理证明两个三角形全等，进而得到AB=AC，推导出最终结论。
【解析】
证明：
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ OB=OC（等角对等边）
在△ABO和△ACO中：
$\{\begin{array}{l}AO=AO\ (\mathrm{公共边}) \\∠AOB=∠AOC\ (\mathrm{已知}) \\OB=OC\ (\mathrm{已证})\end{array} $
∴ △ABO≌△ACO（SAS）
∴ AB=AC（全等三角形的对应边相等）
∴ △ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）
【答案】
△ABC是等腰三角形，得证。
【知识点】
等角对等边；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题型，解题的核心是通过全等三角形证明两条边相等，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和等腰三角形的相关概念，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件（如公共边）。
【难度系数】
0.8

2. 在一次数学活动中，黑板上画着如图7所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D. 小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取两张. 请结合图形解答下列问题：当抽得①和②时，用①和②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？说说你的理由.

2. 能,证△ABE≌△DCE得EB=EC.

【分析】
要判定△BEC是等腰三角形，只需证明该三角形有两条边相等（即EB=EC）即可。首先观察已知条件：给出了AB=DC、∠ABE=∠DCE，再结合图形中隐含的对顶角∠AEB=∠DEC的条件，可先证明△ABE和△DCE全等，利用全等三角形对应边相等的性质得到EB=EC，进而判定△BEC是等腰三角形。
【解析】
能，理由如下：
在△ABE和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠DEC\quad (\mathrm{对顶角相等}) \\∠ABE=∠DCE\quad (\mathrm{已知}) \\AB=DC\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ ABE ≌ △ DCE$（AAS）
∴$EB=EC$（全等三角形的对应边相等）
∴$△ BEC$是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形）
【答案】
能,证△ABE≌△DCE得EB=EC.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，将全等三角形和等腰三角形的判定知识点结合考查，解题关键是挖掘出图形中隐含的对顶角相等的条件，能有效检验学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

3. 如图8,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C=55°$,点D是边BC上的动点(点D不与点B、C重合),连接AD,作$∠ ADE=55°$,DE与AC相交于点E.
(1)当$BD=CE$时,求证:$△ ABD ≌ △ DCE$;
(2)当$△ ADE$是等腰三角形时,求$∠ BAD$的度数.

3. (1)证明:
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠B=∠ADE=55°,
∴∠CDE=∠BAD. 在△ABD和△DCE中,$\begin{cases}∠BAD = ∠CDE,\\∠B = ∠C,\\BD = CE,\end{cases}$
∴△ABD≌△DCE. (2)
∵∠B=∠C=55°,
∴∠BAC=180°-55°×2=70°. 当DA=DE时,
∵∠ADE=55°,
∴∠DAE=∠DEA=62.5°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=7.5°. 当EA=ED时,∠EAD=∠EDA=55°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=15°. 当AD=AE时,∠ADE=∠AED=55°,此时点E与C重合,不符合题意,舍去. 综上所述,∠BAD的度数为7.5°或15°.

【分析】
(1) 要证明△ABD≌△DCE，已知∠B=∠C、BD=CE，只需再推导一组对应角相等即可。利用三角形外角的性质，∠ADC是△ABD的外角，可得∠ADC=∠B+∠BAD，同时∠ADC可拆分为∠ADE+∠CDE，结合∠B=∠ADE=55°，即可推出∠BAD=∠CDE，用AAS判定定理即可证明全等。
(2) 先根据三角形内角和算出∠BAC的度数，△ADE是等腰三角形时需分三种情况讨论：DA=DE、EA=ED、AD=AE，分别计算对应情况下∠DAE的度数，再用∠BAC减去∠DAE得到∠BAD的度数，最后结合题意舍去不符合的情况即可。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，且∠B=∠ADE=55°，
∴∠CDE=∠BAD。
在△ABD和△DCE中：
$\begin{cases}∠BAD = ∠CDE \\∠B = ∠C \\BD = CE\end{cases}$
∴△ABD≌△DCE（AAS）。
(2) 解：
在△ABC中，∠B=∠C=55°，由三角形内角和定理得：
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-55°×2=70°。
△ADE为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当DA=DE时，∠ADE=55°，
∴∠DAE=∠DEA=$\frac{180°-55°}{2}$=62.5°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=70°-62.5°=7.5°；
②当EA=ED时，
∴∠EAD=∠EDA=55°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=70°-55°=15°；
③当AD=AE时，∠ADE=∠AED=55°，此时∠AED=∠C=55°，点E与点C重合，不符合点D不与B、C重合的条件，故舍去。
综上，∠BAD的度数为7.5°或15°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 7.5°或15°
【知识点】
全等三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题第一问难度较低，结合外角性质推导对应角相等即可完成全等证明；第二问重点考查分类讨论思想，解题时要对等腰三角形的腰和底分情况讨论，同时要注意结合题目的限制条件舍去不符合题意的解，能够锻炼逻辑的严谨性。
【难度系数】
0.6