一、选择题
1. 等边三角形的两条中线所夹锐角的大小为()

A.$30°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$75°$

1. B

【分析】
解题时可先结合题意画出等边三角形及其中线的示意图，首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三个内角均为60°，且作为特殊的等腰三角形，它的中线、高线、对应角的角平分线重合（三线合一）。接下来明确两条中线的交点与三角形顶点形成的小三角形的内角大小，最后借助三角形外角的性质即可求出两条中线所夹锐角的度数。
【解析】
设等边$△ ABC$，$BD$、$CE$分别为$AC$、$AB$边上的中线，两条中线交于点$O$。
1. 由等边三角形的性质得：$∠ ABC=∠ ACB=60°$。
2. 根据等腰三角形三线合一的性质，等边三角形的中线同时是对应角的角平分线，因此$BD$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ ACB$，可得$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$。
3. 两条中线所夹的锐角是$△ OBC$的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得该锐角的度数为$∠ OBC+∠ OCB=30°+30°=60°$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时通过画图可以更直观地明确夹角的位置，避免误将两条中线所夹的钝角当作答案，熟练掌握等边三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2. 若一等腰三角形的腰与底边相等，有以下结论：①该三角形的底角与顶角相等；②该三角形的顶角为$60°$；③该三角形的底角为$60°$；④该三角形的内角均为$60°$. 正确结论的个数为()

A.1
B.2
C.3
D.4

2. D

【分析】
解题时首先根据“等腰三角形腰与底边相等”的条件，可判断该三角形三条边都相等，属于等边三角形；再结合等边三角形的内角性质以及三角形内角和定理，逐一验证4个结论是否正确即可。
【解析】
解：
∵等腰三角形的腰与底边相等，
∴该三角形三条边长度都相等，属于等边三角形。
根据等边三角形的性质，三个内角大小相等，结合三角形内角和为180°，可得每个内角的度数为$180°÷3=60°$。
逐一验证结论：
①底角与顶角相等：三个内角均为$60°$，因此底角和顶角相等，结论正确；
②顶角为$60°$：符合等边三角形内角性质，结论正确；
③底角为$60°$：符合等边三角形内角性质，结论正确；
④三角形的内角均为$60°$：结论正确。
综上，4个结论全部正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定、等边三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查等边三角形的判定与性质，属于基础题型，解题关键是先由已知条件判断出三角形为等边三角形，再结合其性质逐一判断结论。
【难度系数】
0.9

3. 如图1，已知等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为()

A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$75°$

3. C

【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 先结合等边三角形的性质，得到边相等、角相等的基础条件；2. 观察已知条件BD=CE，找到包含这组相等边的两个三角形，利用边角边判定三角形全等；3. 利用全等三角形对应角相等，得到角的等量关系；4. 结合三角形外角的性质，将∠APE转化为等边三角形的内角，即可求出度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=∠ABC=60°，
在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ ∠ ABD=∠ C\\ BD=CE\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP，
将∠BAD替换为∠CBE可得：
∠APE=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是通过全等三角形实现角的等量转化，再结合外角性质将待求角与已知特殊角关联，解题时要注意观察待求角和已知条件的关联，灵活运用角的转化技巧。
【难度系数】
0.8

4. 如图2，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ=PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为()




A.0.5
B.0.9
C.1
D.1.25

4. C

【分析】
要解决本题，直接求DE的长度较为困难，可通过构造辅助线转化线段关系：首先过点P作BC的平行线交AC于点F，先利用等边三角形的性质和判定得到△APF为等边三角形，结合PE⊥AC的条件，由三线合一可得AE=EF；再根据已知CQ=PA得到PF=CQ，进而证明△PFD与△QCD全等，推出FD=CD；最后将DE转化为AC长度的一半即可求解。
【解析】
过点P作PF//BC，交AC于点F。
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AC=2。
∵PF//BC，
∴∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF。
∵PE⊥AC，
∴AE=EF（等边三角形三线合一）。
又
∵CQ=PA，
∴PF=CQ。
在△PFD和△QCD中：
$\{\begin{array}{l}∠ PDF=∠ QDC\quad (\mathrm{对顶角相等})\\∠ PFD=∠ QCD=120°\\PF=CQ\end{array} $
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD。
∴$DE=EF+FD=\frac{1}{2}AF+\frac{1}{2}FC=\frac{1}{2}(AF+FC)=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型几何题，解题核心是通过作平行线构造出全等三角形和等边三角形，将零散的线段关系整合，把未知线段DE转化为已知边AC的一半，有效考查了几何辅助线的构造能力和基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

二、填空题
1. 在$△ ABC$中，$∠ B=60°$，$AB=AC=3\mathrm{cm}$，则$BC=$。

1. 3 cm

【分析】
解题时首先梳理已知条件：已知△ABC中AB=AC，可先判定它是等腰三角形；再结合∠B=60°的条件，回忆等边三角形的判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可判定△ABC是等边三角形；最后根据等边三角形三边相等的性质，就能直接求出BC的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴BC=AB=3cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
等腰三角形的判定、等边三角形的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 等边三角形ABC的A点坐标是(-1,0),B点坐标是(3,0),那么C点的横坐标是.

2. 1

【分析】
解题思路：首先观察A、B两点的坐标特征，两点纵坐标均为0，说明线段AB在x轴上，是水平线段。结合等边三角形“三线合一”的性质可知，顶点C一定在底边AB的垂直平分线上，而AB是水平线段，其垂直平分线是竖直线，竖直线上所有点的横坐标相同，等于AB中点的横坐标，因此只需计算AB中点的横坐标即可得到C点的横坐标。
【解析】
解：已知A点坐标为(-1,0)，B点坐标为(3,0)，两点纵坐标相同，故线段AB为x轴上的水平线段。
∵△ABC是等边三角形
∴顶点C在底边AB的垂直平分线上，AB的垂直平分线为竖直线，线上所有点横坐标与AB中点的横坐标相等。
AB中点的横坐标为：$\frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
因此C点的横坐标是1。
【答案】
1
【知识点】
等边三角形的性质，平面直角坐标系中点的坐标，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查等边三角形的基本性质与平面直角坐标系的结合应用，解题的核心是抓住等边三角形三线合一的特征，判断出C点在AB的垂直平分线上，无需计算纵坐标即可直接得到横坐标，整体运算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

3. 如图3，将两个完全相同的含有$30°$角的三角板拼接在一起，则拼接后的$△ ABD$的形状是.

3. 等边三角形

【分析】
解题时首先明确两个完全相同的三角板是全等图形，对应边相等，可先判断△ABD是等腰三角形；再结合三角板30°角的特点，计算出拼接后等腰三角形顶角的度数，最后根据等边三角形的判定定理即可得出结论。
【解析】
∵两个含有30°角的三角板完全相同，
∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形，
又
∵拼接后∠BAD由两个30°的角组合而成，
∴∠BAD=30°+30°=60°，
根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△ABD是等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
等边三角形的判定，等腰三角形的判定，全等图形的性质
【点评】
本题属于基础几何判定题，需要结合拼接图形的特征，灵活运用等腰、等边三角形的判定规则解题，掌握特殊三角形的判定定理是解题关键。
【难度系数】
0.8

4. 如图4，$△ ABD$与$△ AEC$都是等边三角形，$AB≠AC$.下列结论正确的是________.（填序号）
①$BE=CD$；②$∠ BOD=60°$；③$∠ BDO=∠ CEO$.

4. ①②

【分析】
解题时首先结合等边三角形的性质推导边、角的等量关系：要判断边BE和CD是否相等，优先考虑证明两条边所在的三角形全等，找到包含BE、CD的△ABE和△ADC，利用等边三角形的等边、等角性质推导夹角相等，即可用SAS证明全等；判断∠BOD的度数时，可利用全等得到的对应角相等，结合三角形内角和定理，将∠BOD和等边三角形的60°内角建立关联推导度数；判断第三个结论时，注意已知AB≠AC，没有足够的条件可推导两个角相等，即可排除错误结论。
【解析】
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=∠ADB=∠ABD=60°，
∴∠DAB + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC，即∠DAC=∠BAE。
在△ADC和△ABE中：
$\{\begin{array}{l} AD=AB\\ ∠ DAC=∠ BAE\\ AC=AE\end{array} $
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE，故①正确。
由△ADC≌△ABE可得∠ADC=∠ABE，
在△BOD中，∠BOD=180°-∠ODB-∠OBD，
其中∠ODB=∠ADB-∠ADC=60°-∠ADC，
∠OBD=∠ABD+∠ABE=60°+∠ABE=60°+∠ADC，
∴∠ODB+∠OBD=(60°-∠ADC)+(60°+∠ADC)=120°，
∴∠BOD=180°-120°=60°，故②正确。
对于③：
∵AB≠AC，
∴BD=AB≠AC=CE，且无其他条件可证明∠BDO=∠CEO，因此该结论不成立。
综上，正确的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等边三角形与全等三角形的综合基础题，解题核心是利用等边三角形的性质构造全等三角形，再结合全等的性质推导边角关系，判断结论时要结合已知条件推导，避免主观臆断无依据的结论。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 如图5,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,∠ C=30°$,高$AD$与$∠ ABC$的平分线$BE$相交于$F$. 求证:$△ AFE$为等边三角形.

1. 提示:可求出∠AEF=∠AFE=∠EAF=60°,
∴△AFE为等边三角形.

【分析】
要证明△AFE为等边三角形，可通过证明其三个内角均为60°的思路求解。首先利用△ABC的已知内角度数求出∠ABC的度数，再结合角平分线的性质得到∠ABE、∠EBC的度数，接着根据高的定义得到直角，利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，分别计算△AFE的三个内角，验证三个角均为60°即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴ ∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-90°-30°=60°，
∵ BE是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABE=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵ AD是BC边上的高，
∴ ∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABC=90°-60°=30°，
∴ ∠EAF=∠BAC-∠BAD=90°-30°=60°，
在Rt△ABE中，∠AEF=∠AEB=90°-∠ABE=90°-30°=60°，
在△BFD中，∠BFD=180°-∠ADB-∠EBC=180°-90°-30°=60°，
由对顶角相等可得∠AFE=∠BFD=60°，
∴ ∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°，
∴ △AFE为等边三角形。
【答案】
△AFE为等边三角形
【知识点】
1. 等边三角形的判定
2. 直角三角形的性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是利用已知角度条件结合三角形相关性质推导目标三角形的内角度数，解题时需理清角与角之间的数量关系，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7