登录
2*. 如图6，$△ ABC$为等边三角形，$∠1=∠2$，$BD=CE$. 求证：$△ ADE$是等边三角形. 
答案
2. 提示:由△ABD≌△ACE得AD=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴△ADE是等边三角形.
∴△ADE是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△ADE是等边三角形，可先证它是等腰三角形，再证明它有一个内角为60°即可。首先利用等边三角形的性质得到AB=AC、∠BAC=60°，结合已知的∠1=∠2、BD=CE，可通过SAS判定△ABD与△ACE全等，再利用全等的性质得到AD=AE、∠BAD=∠CAE，进而推出∠CAE=60°，即可判定△ADE为等边三角形。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°。
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠1=∠2 \\BD=CE\end{array} $
∴ △ABD≌△ACE（SAS）。
∴ AD=AE，∠BAD=∠CAE。
∵ ∠BAD=∠BAC=60°，
∴ ∠CAE=60°。
又
∵ AD=AE，
∴ △ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
【答案】
△ADE是等边三角形，证明成立。
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定（SAS）
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础题型，解题的核心是先通过已知条件证明三角形全等，得到边和角的等量关系，再结合等边三角形的判定定理推导结论，需要熟练掌握全等三角形的判定方法以及等边三角形的相关性质、判定规则。
【难度系数】
0.7
要证明△ADE是等边三角形，可先证它是等腰三角形，再证明它有一个内角为60°即可。首先利用等边三角形的性质得到AB=AC、∠BAC=60°，结合已知的∠1=∠2、BD=CE，可通过SAS判定△ABD与△ACE全等，再利用全等的性质得到AD=AE、∠BAD=∠CAE，进而推出∠CAE=60°，即可判定△ADE为等边三角形。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°。
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠1=∠2 \\BD=CE\end{array} $
∴ △ABD≌△ACE（SAS）。
∴ AD=AE，∠BAD=∠CAE。
∵ ∠BAD=∠BAC=60°，
∴ ∠CAE=60°。
又
∵ AD=AE，
∴ △ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
【答案】
△ADE是等边三角形，证明成立。
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定（SAS）
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础题型，解题的核心是先通过已知条件证明三角形全等，得到边和角的等量关系，再结合等边三角形的判定定理推导结论，需要熟练掌握全等三角形的判定方法以及等边三角形的相关性质、判定规则。
【难度系数】
0.7
如图7,在△ABC中,AB=AC,△ABD和△ACE均为等边三角形,BE与CD相交于点F,连接AF并延长交BC于点G.
(1)求证:BE=CD;
(2)求证:BG=CG;
(3)已知∠BAC=α,求∠BDC的大小.(用含α的式子表示)
(1)求证:BE=CD;
(2)求证:BG=CG;
(3)已知∠BAC=α,求∠BDC的大小.(用含α的式子表示)
答案
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵△ABD和△ACE为等边三角形,
∴∠ABD=∠ACE=60°, DB=AB=AC=EC,
∴∠ACE+∠ACB=∠ABD+∠ABC,即∠BCE=∠CBD. 在△ECB和△DBC中,$\begin{cases} EC=DB, \\ ∠BCE=∠CBD, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ECB≌△DBC(SAS),
∴BE=CD.
(2)证明:由(1)得△ECB≌△DBC,
∴∠CBE=∠BCD,
∴BF=CF.
∵AB=AC,
∴AG是BC的垂直平分线,
∴BG=CG.
(3)由(2)可知,AG是BC的垂直平分线,
∵AB=AC,∠BAC=α,
∴∠BAG=∠CAG=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$α.
∵△ABD和△ACE为等边三角形,
∴∠ADB=∠DAB=∠EAC=60°,AD=AB=AC=AE,
∴∠DAC=∠EAB=60°+α.
∵AD=AB=AC=AE,
∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD=$\frac{1}{2}$×(180°-60°-α)=60°-$\frac{α}{2}$,
∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=60°-$(60° - \frac{α}{2})$=$\frac{α}{2}$.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵△ABD和△ACE为等边三角形,
∴∠ABD=∠ACE=60°, DB=AB=AC=EC,
∴∠ACE+∠ACB=∠ABD+∠ABC,即∠BCE=∠CBD. 在△ECB和△DBC中,$\begin{cases} EC=DB, \\ ∠BCE=∠CBD, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ECB≌△DBC(SAS),
∴BE=CD.
(2)证明:由(1)得△ECB≌△DBC,
∴∠CBE=∠BCD,
∴BF=CF.
∵AB=AC,
∴AG是BC的垂直平分线,
∴BG=CG.
(3)由(2)可知,AG是BC的垂直平分线,
∵AB=AC,∠BAC=α,
∴∠BAG=∠CAG=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$α.
∵△ABD和△ACE为等边三角形,
∴∠ADB=∠DAB=∠EAC=60°,AD=AB=AC=AE,
∴∠DAC=∠EAB=60°+α.
∵AD=AB=AC=AE,
∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD=$\frac{1}{2}$×(180°-60°-α)=60°-$\frac{α}{2}$,
∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=60°-$(60° - \frac{α}{2})$=$\frac{α}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明线段相等，通常可通过证明线段所在的三角形全等实现。已知AB=AC，△ABD和△ACE是等边三角形，可推导出对应边相等、对应角相等，进而得到△ECB和△DBC全等的判定条件，即可证BE=CD。
(2) 要证明BG=CG，已知△ABC是等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明AG是BC的垂直平分线即可。由(1)的全等结论可推得BF=CF，结合AB=AC，可得点A、F都在BC的垂直平分线上，即可证BG=CG。
(3) 求∠BDC的大小，可观察角的组成关系：∠BDC=∠ADB-∠ADC，其中等边△ABD中∠ADB=60°，只需计算∠ADC即可。由等边三角形性质得AD=AC，结合已知∠BAC=α可求出△ADC的顶角度数，再根据等腰三角形内角和性质求底角∠ADC，代入角的差的关系即可得结果。
【解析】
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵△ABD和△ACE为等边三角形,
∴∠ABD=∠ACE=60°, DB=AB=AC=EC,
∴∠ACE+∠ACB=∠ABD+∠ABC,即∠BCE=∠CBD.
在△ECB和△DBC中,
$\begin{cases} EC=DB, \\ ∠BCE=∠CBD, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ECB≌△DBC(SAS),
∴BE=CD.
(2)证明:由(1)得△ECB≌△DBC,
∴∠CBE=∠BCD,
∴BF=CF.
∵AB=AC,
∴点A、F均在BC的垂直平分线上，即AG是BC的垂直平分线,
∴BG=CG.
(3)解:
∵△ABD为等边三角形,
∴∠ADB=∠DAB=60°,AD=AB.
又
∵AB=AC,
∴AD=AC,∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+α,
∴△ADC为等腰三角形,
∴∠ADC=∠ACD=$\frac{1}{2}$×(180°-∠DAC)=$\frac{1}{2}$×(180°-60°-α)=60°-$\frac{α}{2}$,
∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=60°-$(60° - \frac{α}{2})$=$\frac{α}{2}$.
【答案】
(1) BE=CD，证明成立；
(2) BG=CG，证明成立；
(3) $∠ BDC=\dfrac{α}{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合经典题型，将等腰、等边三角形的性质与全等三角形的判定相结合，解题时需注意梳理图形中角的和差关系、线段的等量关系，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明线段相等，通常可通过证明线段所在的三角形全等实现。已知AB=AC，△ABD和△ACE是等边三角形，可推导出对应边相等、对应角相等，进而得到△ECB和△DBC全等的判定条件，即可证BE=CD。
(2) 要证明BG=CG，已知△ABC是等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明AG是BC的垂直平分线即可。由(1)的全等结论可推得BF=CF，结合AB=AC，可得点A、F都在BC的垂直平分线上，即可证BG=CG。
(3) 求∠BDC的大小，可观察角的组成关系：∠BDC=∠ADB-∠ADC，其中等边△ABD中∠ADB=60°，只需计算∠ADC即可。由等边三角形性质得AD=AC，结合已知∠BAC=α可求出△ADC的顶角度数，再根据等腰三角形内角和性质求底角∠ADC，代入角的差的关系即可得结果。
【解析】
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵△ABD和△ACE为等边三角形,
∴∠ABD=∠ACE=60°, DB=AB=AC=EC,
∴∠ACE+∠ACB=∠ABD+∠ABC,即∠BCE=∠CBD.
在△ECB和△DBC中,
$\begin{cases} EC=DB, \\ ∠BCE=∠CBD, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ECB≌△DBC(SAS),
∴BE=CD.
(2)证明:由(1)得△ECB≌△DBC,
∴∠CBE=∠BCD,
∴BF=CF.
∵AB=AC,
∴点A、F均在BC的垂直平分线上，即AG是BC的垂直平分线,
∴BG=CG.
(3)解:
∵△ABD为等边三角形,
∴∠ADB=∠DAB=60°,AD=AB.
又
∵AB=AC,
∴AD=AC,∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+α,
∴△ADC为等腰三角形,
∴∠ADC=∠ACD=$\frac{1}{2}$×(180°-∠DAC)=$\frac{1}{2}$×(180°-60°-α)=60°-$\frac{α}{2}$,
∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=60°-$(60° - \frac{α}{2})$=$\frac{α}{2}$.
【答案】
(1) BE=CD，证明成立；
(2) BG=CG，证明成立；
(3) $∠ BDC=\dfrac{α}{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合经典题型，将等腰、等边三角形的性质与全等三角形的判定相结合，解题时需注意梳理图形中角的和差关系、线段的等量关系，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，则$BC:AB$等于（
A.$2:1$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$2:3$
1. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，则$BC:AB$等于（
B
）A.$2:1$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$2:3$
答案
1. B
解析
【分析】
遇到给出三角形内角度数比的题目，首先结合三角形内角和为180°计算出三个内角的具体度数，判断三角形的类型；本题计算后可得到含30°角的直角三角形，再根据直角三角形中30°角的边角性质，找到BC、AB两条边的对应关系，即可求出二者的比值。
【解析】
设∠A的度数为$ x $，由$ ∠A:∠B:∠C=1:2:3 $可得：$ ∠B=2x $，$ ∠C=3x $。
根据三角形内角和为$ 180° $，列等式：
$ x + 2x + 3x = 180° $
解得$ 6x=180° $，$ x=30° $。
因此$ ∠A=30° $，$ ∠C=3x=90° $，即$ △ABC $是直角三角形，AB为斜边，BC是$ ∠A $（30°角）对的直角边。
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$ BC=\frac{1}{2}AB $，因此$ BC:AB=1:2 $。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先通过内角比例求出各角度数，再利用特殊直角三角形的边角性质求解，计算量小，掌握相关基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
遇到给出三角形内角度数比的题目，首先结合三角形内角和为180°计算出三个内角的具体度数，判断三角形的类型；本题计算后可得到含30°角的直角三角形，再根据直角三角形中30°角的边角性质，找到BC、AB两条边的对应关系，即可求出二者的比值。
【解析】
设∠A的度数为$ x $，由$ ∠A:∠B:∠C=1:2:3 $可得：$ ∠B=2x $，$ ∠C=3x $。
根据三角形内角和为$ 180° $，列等式：
$ x + 2x + 3x = 180° $
解得$ 6x=180° $，$ x=30° $。
因此$ ∠A=30° $，$ ∠C=3x=90° $，即$ △ABC $是直角三角形，AB为斜边，BC是$ ∠A $（30°角）对的直角边。
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$ BC=\frac{1}{2}AB $，因此$ BC:AB=1:2 $。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先通过内角比例求出各角度数，再利用特殊直角三角形的边角性质求解，计算量小，掌握相关基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 如图1,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$∠ B=30°$,点P是BC边上的动点,则AP的长不可能是(
A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
D
)A.3.5
B.4.2
C.5.8
D.7
答案
2. D
解析
【分析】
要判断AP的长不可能是哪个值，首先需确定AP的取值范围：1. 先根据直角三角形30°角的性质求出斜边AB的长度；2. 结合点P在BC边上运动的特点，确定AP的最小值和最大值：因为AC⊥BC，所以当P与C重合时AP最短，长度等于AC；当P与B重合时AP最长，长度等于AB；3. 最后对比各选项，找出不在取值范围内的数值即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得AB=2AC=2×3=6。
∵点P是BC边上的动点，
∴当点P与点C重合时，AP取得最小值，AP=AC=3；
当点P与点B重合时，AP取得最大值，AP=AB=6。
因此AP的长度取值范围为$3≤ AP≤6$。
对比各选项：3.5、4.2、5.8均在取值范围内，只有7＞6，不在取值范围内，故AP的长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，垂线段最短，动点取值范围
【点评】
本题结合动点场景考查直角三角形的相关性质，解题的核心是找准动点在端点处时线段的极值，从而确定线段的取值范围，整体解题思路清晰，属于基础类的几何应用题。
【难度系数】
0.75
要判断AP的长不可能是哪个值，首先需确定AP的取值范围：1. 先根据直角三角形30°角的性质求出斜边AB的长度；2. 结合点P在BC边上运动的特点，确定AP的最小值和最大值：因为AC⊥BC，所以当P与C重合时AP最短，长度等于AC；当P与B重合时AP最长，长度等于AB；3. 最后对比各选项，找出不在取值范围内的数值即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得AB=2AC=2×3=6。
∵点P是BC边上的动点，
∴当点P与点C重合时，AP取得最小值，AP=AC=3；
当点P与点B重合时，AP取得最大值，AP=AB=6。
因此AP的长度取值范围为$3≤ AP≤6$。
对比各选项：3.5、4.2、5.8均在取值范围内，只有7＞6，不在取值范围内，故AP的长不可能是7。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，垂线段最短，动点取值范围
【点评】
本题结合动点场景考查直角三角形的相关性质，解题的核心是找准动点在端点处时线段的极值，从而确定线段的取值范围，整体解题思路清晰，属于基础类的几何应用题。
【难度系数】
0.75
3. 如图2,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成$30°$角,这棵树在折断前的高度为(
A.6米
B.9米
C.12米
D.15米
B
)A.6米
B.9米
C.12米
D.15米
答案
3. B
解析
【分析】
我们可以把折断的树抽象为直角三角形模型：未折断的树干垂直于地面，长度为3m，是直角三角形的一条直角边，折断倒下的部分是直角三角形的斜边，斜边与地面夹角为30°。解题时先利用含30°角的直角三角形的性质求出斜边（即折断部分）的长度，再将折断部分长度和未折断部分长度相加，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，树折断后未折断部分、地面、折断部分构成直角三角形，其中30°角所对的直角边为未折断的树干，长度为3米。
根据直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分的长度为 $3×2=6$ 米。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$3+6=9$ 米。
【答案】
B
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查直角三角形的基础性质，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，熟练掌握30°角直角三角形的边角关系即可快速求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
我们可以把折断的树抽象为直角三角形模型：未折断的树干垂直于地面，长度为3m，是直角三角形的一条直角边，折断倒下的部分是直角三角形的斜边，斜边与地面夹角为30°。解题时先利用含30°角的直角三角形的性质求出斜边（即折断部分）的长度，再将折断部分长度和未折断部分长度相加，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，树折断后未折断部分、地面、折断部分构成直角三角形，其中30°角所对的直角边为未折断的树干，长度为3米。
根据直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分的长度为 $3×2=6$ 米。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$3+6=9$ 米。
【答案】
B
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查直角三角形的基础性质，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，熟练掌握30°角直角三角形的边角关系即可快速求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
