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4. 如图3,已知∠ABC=60°,DA是BC的垂直平分线,BE平分∠ABD交AD于点E,连接CE. 则下列结论:①BE=AE,②BD=AE,③AE=2DE,④$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$,其中正确的结论是(
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
C
)A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
4. C
解析
【分析】
解题思路：首先结合线段垂直平分线的性质、角平分线的定义推导各角的度数，再利用等角对等边、直角三角形30°角的性质判断线段关系，最后根据三角形面积公式判断面积关系，逐一验证4个结论即可。
第一步：先由垂直平分线的性质得到AD⊥BC、BD=DC、EB=EC；第二步：结合∠ABC=60°求出∠BAD=30°，再由角平分线得到∠ABE=∠EBD=30°，由此推导线段关系；第三步：利用等底同高的三角形面积相等的性质，验证面积结论。
【解析】
解：
∵DA是BC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，BD=DC，EB=EC，∠ADB=90°。
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=90°-60°=30°。
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°。
1. 验证结论①：
∵∠ABE=∠BAD=30°，
∴AE=BE，故①正确。
2. 验证结论②：
在Rt△BDE中，∠EBD=30°，
∴BE=2DE，且直角三角形斜边大于直角边，得BE＞BD，
∵AE=BE，
∴AE＞BD，故②错误。
3. 验证结论③：
由上述推导得BE=2DE，又
∵AE=BE，
∴AE=2DE，故③正确。
4. 验证结论④：
∵BD=DC，AD⊥BC，
∴$S_{△BDE}=S_{△CDE}$（等底同高的三角形面积相等），即$S_{△CBE}=2S_{△BDE}$。
又
∵△ABE和△BDE的高均为BD，底AE=2DE，
∴$S_{△ABE}=2S_{△BDE}$，
∴$S_{△ABE}=S_{△CBE}$，故④正确。
综上，①③④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查三角形中线段、角度、面积的推导，解题的关键是熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质，以及直角三角形30°角所对直角边是斜边一半的结论，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先结合线段垂直平分线的性质、角平分线的定义推导各角的度数，再利用等角对等边、直角三角形30°角的性质判断线段关系，最后根据三角形面积公式判断面积关系，逐一验证4个结论即可。
第一步：先由垂直平分线的性质得到AD⊥BC、BD=DC、EB=EC；第二步：结合∠ABC=60°求出∠BAD=30°，再由角平分线得到∠ABE=∠EBD=30°，由此推导线段关系；第三步：利用等底同高的三角形面积相等的性质，验证面积结论。
【解析】
解：
∵DA是BC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，BD=DC，EB=EC，∠ADB=90°。
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=90°-60°=30°。
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°。
1. 验证结论①：
∵∠ABE=∠BAD=30°，
∴AE=BE，故①正确。
2. 验证结论②：
在Rt△BDE中，∠EBD=30°，
∴BE=2DE，且直角三角形斜边大于直角边，得BE＞BD，
∵AE=BE，
∴AE＞BD，故②错误。
3. 验证结论③：
由上述推导得BE=2DE，又
∵AE=BE，
∴AE=2DE，故③正确。
4. 验证结论④：
∵BD=DC，AD⊥BC，
∴$S_{△BDE}=S_{△CDE}$（等底同高的三角形面积相等），即$S_{△CBE}=2S_{△BDE}$。
又
∵△ABE和△BDE的高均为BD，底AE=2DE，
∴$S_{△ABE}=2S_{△BDE}$，
∴$S_{△ABE}=S_{△CBE}$，故④正确。
综上，①③④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查三角形中线段、角度、面积的推导，解题的关键是熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质，以及直角三角形30°角所对直角边是斜边一半的结论，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=2∠ A$，$BC=2$，那么$∠ A=$
30°
，$AB=$4
。答案
1. 30°,4
解析
【分析】
解题思路可分为两步：①先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠B=2∠A的关系，计算出∠A的度数；②再根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，代入已知的BC长度求出斜边AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
已知$∠ B=2∠ A$，代入上式得：
$∠ A + 2∠ A = 90°$
即$3∠ A=90°$，解得$∠ A=30°$。
因为$∠ A=30°$，$∠ A$所对的直角边为$BC=2$，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$
因此$AB=2BC=2×2=4$。
【答案】
$30°$，$4$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查直角三角形的相关性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的角度关系和特殊直角三角形的边长性质。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为两步：①先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠B=2∠A的关系，计算出∠A的度数；②再根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，代入已知的BC长度求出斜边AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
已知$∠ B=2∠ A$，代入上式得：
$∠ A + 2∠ A = 90°$
即$3∠ A=90°$，解得$∠ A=30°$。
因为$∠ A=30°$，$∠ A$所对的直角边为$BC=2$，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$
因此$AB=2BC=2×2=4$。
【答案】
$30°$，$4$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查直角三角形的相关性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的角度关系和特殊直角三角形的边长性质。
【难度系数】
0.9
2. 如，在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ C=45°$，$AD⊥ BC$于$D$，$CD=1$，则$AB=$
2
。答案
2. 2
解析
【分析】
解题时先观察图形，AD是两个直角三角形的公共高，我们可以先利用Rt△ADC的已知条件：∠C=45°、CD=1，求出公共边AD的长度；再利用Rt△ADB中∠B=30°的特殊角性质，就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴∠DAC=90°-∠C=45°，即∠DAC=∠C，
∴AD=CD=1（等角对等边）。
在Rt△ADB中，∠B=30°，30°角所对的直角边为AD，
∴$AD=\frac{1}{2}AB$，
∴AB=2AD=2×1=2。
【答案】
2
【知识点】
1. 等腰直角三角形性质
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 等角对等边
【点评】
本题是特殊直角三角形性质的基础应用，核心是找到两个直角三角形的公共边AD作为计算桥梁，只要熟练掌握特殊角度直角三角形的边、角关系即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形，AD是两个直角三角形的公共高，我们可以先利用Rt△ADC的已知条件：∠C=45°、CD=1，求出公共边AD的长度；再利用Rt△ADB中∠B=30°的特殊角性质，就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴∠DAC=90°-∠C=45°，即∠DAC=∠C，
∴AD=CD=1（等角对等边）。
在Rt△ADB中，∠B=30°，30°角所对的直角边为AD，
∴$AD=\frac{1}{2}AB$，
∴AB=2AD=2×1=2。
【答案】
2
【知识点】
1. 等腰直角三角形性质
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 等角对等边
【点评】
本题是特殊直角三角形性质的基础应用，核心是找到两个直角三角形的公共边AD作为计算桥梁，只要熟练掌握特殊角度直角三角形的边、角关系即可快速解答。
【难度系数】
0.7
3. 如图5，$∠ AOE=∠ BOE=15°$，$EF// OB$，$EC⊥ OB$于$C$，若$EC=1$，则$EF=$.
4. 如图6，在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ B=120°$，$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$. 若$AC=6\ \mathrm{cm}$，则$AD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
4. 如图6，在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ B=120°$，$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$. 若$AC=6\ \mathrm{cm}$，则$AD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
3. 2 4. 2
解析
【分析】
第3题思路：由∠AOE=∠BOE可知OE是∠AOB的角平分线，结合EC⊥OB，根据角平分线的性质，过E作OA的垂线，可得该垂线段长度等于EC=1；再由EF//OB，利用平行线的性质可推出EF与OA的夹角为30°，最后在直角三角形中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质即可求出EF的长度。
第4题思路：首先由AB=BC、∠B=120°可计算出△ABC的两个底角均为30°；连接BD，利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，进而推出∠ABD=30°，可得∠DBC=90°；最后在Rt△DBC中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，得到DC与AD的数量关系，结合AC的总长度即可求出AD的值。
【解析】
3. 解：过点E作EG⊥OA于点G，
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，EG⊥OA，
∴EG=EC=1（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵EF//OB，
∴∠EFG=∠AOB=∠AOE+∠BOE=15°+15°=30°，
在Rt△EFG中，∠EGF=90°，∠EFG=30°，
∴EF=2EG=2×1=2。
4. 解：连接BD，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=(180°-120°)÷2=30°，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=120°-30°=90°，
在Rt△DBC中，∠C=30°，
∴BD=½DC，
又
∵BD=AD，
∴DC=2AD，
∵AC=AD+DC=AD+2AD=3AD=6cm，
∴AD=2cm。
【答案】
3. 2；4. 2
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
这两道题是三角形性质的综合基础应用题，解题关键是正确作出辅助线，将分散的已知条件集中到同一三角形中建立数量关系，是几何部分的常考典型题型。
【难度系数】
0.7
第3题思路：由∠AOE=∠BOE可知OE是∠AOB的角平分线，结合EC⊥OB，根据角平分线的性质，过E作OA的垂线，可得该垂线段长度等于EC=1；再由EF//OB，利用平行线的性质可推出EF与OA的夹角为30°，最后在直角三角形中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质即可求出EF的长度。
第4题思路：首先由AB=BC、∠B=120°可计算出△ABC的两个底角均为30°；连接BD，利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，进而推出∠ABD=30°，可得∠DBC=90°；最后在Rt△DBC中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，得到DC与AD的数量关系，结合AC的总长度即可求出AD的值。
【解析】
3. 解：过点E作EG⊥OA于点G，
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，EG⊥OA，
∴EG=EC=1（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵EF//OB，
∴∠EFG=∠AOB=∠AOE+∠BOE=15°+15°=30°，
在Rt△EFG中，∠EGF=90°，∠EFG=30°，
∴EF=2EG=2×1=2。
4. 解：连接BD，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=(180°-120°)÷2=30°，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=120°-30°=90°，
在Rt△DBC中，∠C=30°，
∴BD=½DC，
又
∵BD=AD，
∴DC=2AD，
∵AC=AD+DC=AD+2AD=3AD=6cm，
∴AD=2cm。
【答案】
3. 2；4. 2
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
这两道题是三角形性质的综合基础应用题，解题关键是正确作出辅助线，将分散的已知条件集中到同一三角形中建立数量关系，是几何部分的常考典型题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图7，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ CAB=60°$，$AD$平分$∠ CAB$，点$D$到$AB$的距离$DE$是3 cm，求$BC$的长。
1. 如图7，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ CAB=60°$，$AD$平分$∠ CAB$，点$D$到$AB$的距离$DE$是3 cm，求$BC$的长。
答案
1. $BC=CD+BD=3+6=9(\mathrm{cm})$
解析
【分析】
解题思路如下：①首先根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC、DE⊥AB，可得CD=DE，先求出CD的长度；②再根据直角三角形两锐角互余，算出Rt△ABC中∠B的度数为30°；③接着利用含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BD的长度；④最后由BC=CD+BD，代入数值即可得到BC的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB，
∴由角平分线的性质得：$CD = DE = 3\mathrm{cm}$。
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠CAB=60°$，
∴$∠B = 90° - ∠CAB = 30°$。
在$Rt△BDE$中，$∠DEB=90°$，$∠B=30°$，
∴根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得：$BD = 2DE = 2×3 = 6\mathrm{cm}$。
∴$BC = CD + BD = 3 + 6 = 9\mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{9\mathrm{cm}}$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查角平分线性质和特殊直角三角形的性质的综合运用，解题时只要找准对应线段的数量关系，即可快速求解，是角平分线与直角三角形结合的典型常规题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC、DE⊥AB，可得CD=DE，先求出CD的长度；②再根据直角三角形两锐角互余，算出Rt△ABC中∠B的度数为30°；③接着利用含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BD的长度；④最后由BC=CD+BD，代入数值即可得到BC的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB，
∴由角平分线的性质得：$CD = DE = 3\mathrm{cm}$。
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠CAB=60°$，
∴$∠B = 90° - ∠CAB = 30°$。
在$Rt△BDE$中，$∠DEB=90°$，$∠B=30°$，
∴根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得：$BD = 2DE = 2×3 = 6\mathrm{cm}$。
∴$BC = CD + BD = 3 + 6 = 9\mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{9\mathrm{cm}}$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查角平分线性质和特殊直角三角形的性质的综合运用，解题时只要找准对应线段的数量关系，即可快速求解，是角平分线与直角三角形结合的典型常规题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图8,已知AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于D.
求证:BC=3AD.
求证:BC=3AD.
答案
2. 提示:由$∠B=∠BAD=30°$得$BD=AD$,在$△ACD$中证$DC=2AD$,$\therefore BC=3AD$
解析
【分析】
首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和，求出两个底角∠B、∠C的度数均为30°；再结合AD⊥AC的垂直条件，计算出∠BAD的度数也为30°，可得∠B=∠BAD，根据等角对等边推出BD=AD；最后在Rt△ADC中，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，得到DC=2AD，将BD和DC相加即可推出BC和AD的数量关系。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=120°-90°=30°$，
∴ $∠ B=∠ BAD$，
∴ $BD=AD$（等角对等边），
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=30°$，
∴ $DC=2AD$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴ $BC=BD+DC=AD+2AD=3AD$。
【答案】
$BC=3AD$，得证
【知识点】
等腰三角形的性质，等角对等边，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于特殊三角形性质的基础综合应用题，解题核心是通过角度推导建立边的等量关系，要求熟练掌握等腰三角形、含30°角直角三角形的边角对应性质，是几何证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和，求出两个底角∠B、∠C的度数均为30°；再结合AD⊥AC的垂直条件，计算出∠BAD的度数也为30°，可得∠B=∠BAD，根据等角对等边推出BD=AD；最后在Rt△ADC中，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，得到DC=2AD，将BD和DC相加即可推出BC和AD的数量关系。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=120°-90°=30°$，
∴ $∠ B=∠ BAD$，
∴ $BD=AD$（等角对等边），
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=30°$，
∴ $DC=2AD$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴ $BC=BD+DC=AD+2AD=3AD$。
【答案】
$BC=3AD$，得证
【知识点】
等腰三角形的性质，等角对等边，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于特殊三角形性质的基础综合应用题，解题核心是通过角度推导建立边的等量关系，要求熟练掌握等腰三角形、含30°角直角三角形的边角对应性质，是几何证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
