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3. 如图9，$△ ABC$是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为一边向上作等边$△ CDE$，连接AE.
(1)求证: $△ BCD ≌ △ ACE$;
(2)若$∠ DEA=30°$,求$∠ BDC$的度数;
(3)在(2)的条件下,若$BC=6$,求$AD$的长.
(1)求证: $△ BCD ≌ △ ACE$;
(2)若$∠ DEA=30°$,求$∠ BDC$的度数;
(3)在(2)的条件下,若$BC=6$,求$AD$的长.
答案
3. (1)证明:$\because △ABC$和$△CDE$都是等边三角形,$\therefore CB=CA,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°$,$\therefore ∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD$,$\therefore ∠BCD=∠ACE$,$\therefore △BCD≌△ACE(\mathrm{SAS})$. (2)$\because △CDE$是等边三角形,$\therefore ∠CED=60°$. $\because ∠DEA=30°$,$\therefore ∠AEC=∠DEA+∠CED=90°$. $\because △BCD≌△ACE$,$\therefore ∠BDC=∠AEC=90°$. (3)$\because △ABC$是等边三角形,$\therefore AB=BC=6$,$\because ∠BDC=90°$,即$CD⊥AB$,$\therefore AD=\dfrac{1}{2}BC=3$.
解析
【分析】
(1) 要证明△BCD≌△ACE，首先利用等边三角形的性质得到两组对应边相等：△ABC为等边三角形得CB=CA，△CDE为等边三角形得CD=CE；再推导夹角相等：两个等边三角形的内角均为60°，即∠ACB=∠DCE=60°，两个角同时减去公共角∠ACD，可得∠BCD=∠ACE，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 求∠BDC的度数，先根据等边△CDE的性质得∠CED=60°，结合已知∠DEA=30°可算出∠AEC=90°，再利用第(1)问全等三角形对应角相等的性质，即可得到∠BDC的度数。
(3) 求AD的长，先由等边△ABC的性质得AB=BC=6，结合第(2)问得到的∠BDC=90°可知CD⊥AB，根据等边三角形三线合一的性质，D是AB中点，即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴$CB=CA$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$，
∴$∠ ACB - ∠ ACD = ∠ DCE - ∠ ACD$，
即$∠ BCD=∠ ACE$，
在$△ BCD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}CB=CA \\∠ BCD=∠ ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴$△ BCD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
(2) 解：
∵$△ CDE$是等边三角形，
∴$∠ CED=60°$，
∵$∠ DEA=30°$，
∴$∠ AEC=∠ DEA + ∠ CED=30° + 60°=90°$，
由(1)知$△ BCD ≌ △ ACE$，
∴$∠ BDC=∠ AEC=90°$。
(3) 解：
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$AB=BC=6$，
由(2)知$∠ BDC=90°$，即$CD ⊥ AB$，
根据等边三角形三线合一的性质，D为AB的中点，
∴$AD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 6=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{90°}$；
(3) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三线合一
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合基础题，三个小问层层递进，前一问的结论是后一问解题的关键，要求学生熟练掌握相关性质和判定，学会利用已证结论推导后续问题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BCD≌△ACE，首先利用等边三角形的性质得到两组对应边相等：△ABC为等边三角形得CB=CA，△CDE为等边三角形得CD=CE；再推导夹角相等：两个等边三角形的内角均为60°，即∠ACB=∠DCE=60°，两个角同时减去公共角∠ACD，可得∠BCD=∠ACE，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 求∠BDC的度数，先根据等边△CDE的性质得∠CED=60°，结合已知∠DEA=30°可算出∠AEC=90°，再利用第(1)问全等三角形对应角相等的性质，即可得到∠BDC的度数。
(3) 求AD的长，先由等边△ABC的性质得AB=BC=6，结合第(2)问得到的∠BDC=90°可知CD⊥AB，根据等边三角形三线合一的性质，D是AB中点，即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴$CB=CA$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$，
∴$∠ ACB - ∠ ACD = ∠ DCE - ∠ ACD$，
即$∠ BCD=∠ ACE$，
在$△ BCD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}CB=CA \\∠ BCD=∠ ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴$△ BCD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
(2) 解：
∵$△ CDE$是等边三角形，
∴$∠ CED=60°$，
∵$∠ DEA=30°$，
∴$∠ AEC=∠ DEA + ∠ CED=30° + 60°=90°$，
由(1)知$△ BCD ≌ △ ACE$，
∴$∠ BDC=∠ AEC=90°$。
(3) 解：
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$AB=BC=6$，
由(2)知$∠ BDC=90°$，即$CD ⊥ AB$，
根据等边三角形三线合一的性质，D为AB的中点，
∴$AD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 6=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{90°}$；
(3) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三线合一
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合基础题，三个小问层层递进，前一问的结论是后一问解题的关键，要求学生熟练掌握相关性质和判定，学会利用已证结论推导后续问题。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 直线a是一条输气管道，M,N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M,N两村庄供应天然气。在下列图的四种方案中，铺设管道最短的是（
1. 直线a是一条输气管道，M,N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M,N两村庄供应天然气。在下列图的四种方案中，铺设管道最短的是（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
要解决在直线a上找一点O，使铺设管道总长度OM+ON最短的问题，可利用轴对称性质将同侧两点转化为异侧，结合“两点之间线段最短”的原理求解。首先作其中一个点（如M）关于直线a的对称点M'，由轴对称性质可知，直线a上任意点到M和M'的距离相等，即OM=OM'，那么OM+ON就等价于OM'+ON；要让这个和最小，根据两点之间线段最短，只需连接M'和N，连线与直线a的交点就是所求的O点，此时路径最短。
【解析】
我们的目标是找到直线a上的点O，使得OM+ON的和最小：
1. 作点M关于直线a的对称点M'，根据轴对称的性质，对直线a上任意一点O，都有OM=OM'，因此OM+ON=OM'+ON。
2. 根据“两点之间，线段最短”的原理，当O点是M'N与直线a的交点时，OM'+ON的长度等于线段M'N的长度，此时OM+ON取得最小值。
观察四个选项，只有选项C的作法符合上述推导，因此C方案铺设的管道最短。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的应用；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的基础应用，解题核心是通过轴对称将同侧两点的路径问题转化为异侧两点的路径问题，结合线段的基本性质即可判断，考查的是基础原理的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决在直线a上找一点O，使铺设管道总长度OM+ON最短的问题，可利用轴对称性质将同侧两点转化为异侧，结合“两点之间线段最短”的原理求解。首先作其中一个点（如M）关于直线a的对称点M'，由轴对称性质可知，直线a上任意点到M和M'的距离相等，即OM=OM'，那么OM+ON就等价于OM'+ON；要让这个和最小，根据两点之间线段最短，只需连接M'和N，连线与直线a的交点就是所求的O点，此时路径最短。
【解析】
我们的目标是找到直线a上的点O，使得OM+ON的和最小：
1. 作点M关于直线a的对称点M'，根据轴对称的性质，对直线a上任意一点O，都有OM=OM'，因此OM+ON=OM'+ON。
2. 根据“两点之间，线段最短”的原理，当O点是M'N与直线a的交点时，OM'+ON的长度等于线段M'N的长度，此时OM+ON取得最小值。
观察四个选项，只有选项C的作法符合上述推导，因此C方案铺设的管道最短。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的应用；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的基础应用，解题核心是通过轴对称将同侧两点的路径问题转化为异侧两点的路径问题，结合线段的基本性质即可判断，考查的是基础原理的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 直线$l_1,l_2$表示一条河的两岸，且$l_1// l_2$，若村庄$P$和村庄$Q$在这条河的两岸.现要在这条河上建一座桥$EF$(桥$EF$与河的两岸$l_1,l_2$垂直)，使得从村庄$P$经桥$EF$过河到村庄$Q$的路径$PEFQ$最短，即$PE+EF+FQ$最小，则下列图中满足条件的是(
A
)答案
2. A
解析
【分析】
要解决造桥选址的最短路径问题，我们可以按以下思路思考：
1. 先分析定值：因为桥EF与河岸垂直，且$l_1// l_2$，所以EF的长度等于两平行线的距离，是固定不变的，因此要让$PE+EF+FQ$最短，只需要让$PE+FQ$的和最小即可。
2. 转化路径：我们可以利用平移的方法，将点P沿着垂直河岸向上的方向平移，平移距离等于EF的长度，得到点$P'$，根据平移的性质，PE和$P'F$长度相等，这样$PE+FQ$就转化为$P'F+FQ$。
3. 应用最短原理：根据“两点之间线段最短”，当$P'$、F、Q三点共线时，$P'F+FQ$的和最小，此时连接$P'Q$与$l_1$的交点就是建桥的上端点F，过F作EF垂直$l_2$得到点E，就是符合要求的桥，对比选项即可找到正确答案。
【解析】
解：$\because l_1// l_2$，$EF⊥ l_1$、$EF⊥ l_2$，
$\therefore$ EF的长度等于$l_1$与$l_2$之间的距离，是定值，
$\therefore$ 要使$PE+EF+FQ$最小，只需保证$PE+FQ$最小即可。
将点P沿垂直于河岸向上的方向平移，平移距离等于EF的长度，得到点$P'$，由平移的性质可知$PE=P'F$，
$\therefore PE+FQ = P'F + FQ$，
根据两点之间线段最短，当$P'$、F、Q三点共线时，$P'F+FQ$取得最小值，
因此连接$P'Q$，与$l_1$的交点为F，过F作$EF⊥ l_2$交$l_2$于点E，此时路径PEFQ最短，符合该作图的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
两点之间线段最短；平移的性质；最短路径问题
【点评】
本题是典型的造桥选址类几何最值问题，核心是通过平移将固定长度的桥长分离，把分散的未知路径转化为可直接应用最短原理的线段，体现了转化思想在几何问题中的应用，掌握该类题型的平移转化方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
要解决造桥选址的最短路径问题，我们可以按以下思路思考：
1. 先分析定值：因为桥EF与河岸垂直，且$l_1// l_2$，所以EF的长度等于两平行线的距离，是固定不变的，因此要让$PE+EF+FQ$最短，只需要让$PE+FQ$的和最小即可。
2. 转化路径：我们可以利用平移的方法，将点P沿着垂直河岸向上的方向平移，平移距离等于EF的长度，得到点$P'$，根据平移的性质，PE和$P'F$长度相等，这样$PE+FQ$就转化为$P'F+FQ$。
3. 应用最短原理：根据“两点之间线段最短”，当$P'$、F、Q三点共线时，$P'F+FQ$的和最小，此时连接$P'Q$与$l_1$的交点就是建桥的上端点F，过F作EF垂直$l_2$得到点E，就是符合要求的桥，对比选项即可找到正确答案。
【解析】
解：$\because l_1// l_2$，$EF⊥ l_1$、$EF⊥ l_2$，
$\therefore$ EF的长度等于$l_1$与$l_2$之间的距离，是定值，
$\therefore$ 要使$PE+EF+FQ$最小，只需保证$PE+FQ$最小即可。
将点P沿垂直于河岸向上的方向平移，平移距离等于EF的长度，得到点$P'$，由平移的性质可知$PE=P'F$，
$\therefore PE+FQ = P'F + FQ$，
根据两点之间线段最短，当$P'$、F、Q三点共线时，$P'F+FQ$取得最小值，
因此连接$P'Q$，与$l_1$的交点为F，过F作$EF⊥ l_2$交$l_2$于点E，此时路径PEFQ最短，符合该作图的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
两点之间线段最短；平移的性质；最短路径问题
【点评】
本题是典型的造桥选址类几何最值问题，核心是通过平移将固定长度的桥长分离，把分散的未知路径转化为可直接应用最短原理的线段，体现了转化思想在几何问题中的应用，掌握该类题型的平移转化方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图1,在$△ ABC$中,$AB=3$,$AC=4$,$EF$垂直平分$BC$,交$AC$于点$D$,则$△ ABP$周长的最小值是(
A.12
B.6
C.7
D.8
C
)A.12
B.6
C.7
D.8
答案
3. C
解析
【分析】
要计算△ABP周长的最小值，首先拆分周长组成：△ABP的周长=AB+AP+BP，已知AB=3是固定值，因此只需让AP+BP的和最小即可。结合EF垂直平分BC的条件，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，可得BP=CP，因此可将AP+BP转化为AP+CP。根据两点之间线段最短，当A、P、C三点共线时，AP+CP的和最小，最小值就是AC的长度，代入计算即可得到周长的最小值。
【解析】
解：由题意可知，点P是EF上的动点。
∵EF垂直平分BC，
∴对于EF上的任意点P，都有BP=CP。
△ABP的周长 = AB + AP + BP = AB + AP + CP，
∵AB=3为定值，
∴要使△ABP周长最小，需使AP+CP的和最小。
根据两点之间线段最短，当A、P、C三点共线时，AP+CP取得最小值，最小值等于AC的长度，即AC=4。
∴△ABP周长的最小值为 3 + 4 = 7。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 最短路径问题
【点评】
本题是典型的最短路径应用类题目，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条动线段的和转化为共线时的定线段长度，解题过程体现了转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
要计算△ABP周长的最小值，首先拆分周长组成：△ABP的周长=AB+AP+BP，已知AB=3是固定值，因此只需让AP+BP的和最小即可。结合EF垂直平分BC的条件，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，可得BP=CP，因此可将AP+BP转化为AP+CP。根据两点之间线段最短，当A、P、C三点共线时，AP+CP的和最小，最小值就是AC的长度，代入计算即可得到周长的最小值。
【解析】
解：由题意可知，点P是EF上的动点。
∵EF垂直平分BC，
∴对于EF上的任意点P，都有BP=CP。
△ABP的周长 = AB + AP + BP = AB + AP + CP，
∵AB=3为定值，
∴要使△ABP周长最小，需使AP+CP的和最小。
根据两点之间线段最短，当A、P、C三点共线时，AP+CP取得最小值，最小值等于AC的长度，即AC=4。
∴△ABP周长的最小值为 3 + 4 = 7。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 最短路径问题
【点评】
本题是典型的最短路径应用类题目，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条动线段的和转化为共线时的定线段长度，解题过程体现了转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
4. 如图2,在等边$△ ABC$中,BC边上的高$AD=8$,E是高AD上的一个动点,F是边AB的中点,在点E运动的过程中,存在$EB+EF$的最小值,则这个最小值是(
A.5
B.6
C.7
D.8
D
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
4. D
解析
【分析】
本题属于最短路径中的“将军饮马”类问题，解题思路如下：①首先明确等边三角形是轴对称图形，BC边上的高AD所在直线是△ABC的一条对称轴，点B和点C关于AD对称，因此可将EB转化为EC，把求EB+EF的最小值转化为求EC+EF的最小值；②根据“两点之间线段最短”，可知当E、C、F三点共线时，EC+EF的和最小，最小值为线段CF的长度；③最后结合等边三角形的性质，等边三角形三条边上的高长度相等，即可求出CF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高
∴AD垂直平分BC，即点B与点C关于直线AD对称
∴EB=EC
∴EB+EF=EC+EF
根据两点之间线段最短，当点C、E、F三点共线时，EC+EF取得最小值，最小值为线段CF的长度
又
∵F是AB的中点，△ABC是等边三角形
∴CF是AB边上的高
∵等边三角形三条边上的高长度相等，AD=8
∴CF=AD=8
即EB+EF的最小值为8
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题核心是利用轴对称将两条线段的和转化为共线时的定长线段，同时结合等边三角形的性质求解，掌握轴对称转化的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径中的“将军饮马”类问题，解题思路如下：①首先明确等边三角形是轴对称图形，BC边上的高AD所在直线是△ABC的一条对称轴，点B和点C关于AD对称，因此可将EB转化为EC，把求EB+EF的最小值转化为求EC+EF的最小值；②根据“两点之间线段最短”，可知当E、C、F三点共线时，EC+EF的和最小，最小值为线段CF的长度；③最后结合等边三角形的性质，等边三角形三条边上的高长度相等，即可求出CF的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高
∴AD垂直平分BC，即点B与点C关于直线AD对称
∴EB=EC
∴EB+EF=EC+EF
根据两点之间线段最短，当点C、E、F三点共线时，EC+EF取得最小值，最小值为线段CF的长度
又
∵F是AB的中点，△ABC是等边三角形
∴CF是AB边上的高
∵等边三角形三条边上的高长度相等，AD=8
∴CF=AD=8
即EB+EF的最小值为8
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题核心是利用轴对称将两条线段的和转化为共线时的定长线段，同时结合等边三角形的性质求解，掌握轴对称转化的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
