5. 如图3，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=BC，AE=DE，∠BCD+∠CDE=230°，点P，Q分别在边BC，DE上，连接AP，AQ，PQ，当△APQ的周长最小时，∠PAQ的度数为()

A.50°
B.80°
C.100°
D.130°

5. B

【分析】
要解决△APQ周长最小的问题，属于最短路径的将军饮马变形题型，首先利用轴对称性质，分别作点A关于BC、DE的对称点，将AP、AQ转化为对称点到P、Q的线段，当两对称点与P、Q共线时，△APQ周长最小；随后先通过五边形内角和公式求出∠BAE的度数，再结合轴对称的角度等量关系，推导得到∠PAQ的度数。
【解析】
1. 计算∠BAE的度数：
五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，
已知$AB⊥ BC$，$AE⊥ DE$，故$∠ B=∠ E=90°$，又$∠ BCD+∠ CDE=230°$，
因此$∠ BAE=540°-∠ B-∠ E-(∠ BCD+∠ CDE)=540°-90°-90°-230°=130°$。
2. 确定△APQ周长最小时的位置：
分别作点A关于BC的对称点$A_1$，关于DE的对称点$A_2$，连接$A_1A_2$，交BC于P，交DE于Q，此时△APQ周长最小。
由轴对称性质可知：$AP=A_1P$，$AQ=A_2Q$，$∠ A_1=∠ BAP$，$∠ A_2=∠ EAQ$。
3. 计算∠PAQ的度数：
在$△ A_1AA_2$中，$∠ A_1+∠ A_2=180°-∠ BAE=180°-130°=50°$，
故$∠ BAP+∠ EAQ=∠ A_1+∠ A_2=50°$，
因此$∠ PAQ=∠ BAE-(∠ BAP+∠ EAQ)=130°-50°=80°$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，多边形内角和，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径的典型综合题，解题核心是利用轴对称转化线段找到周长最小的位置，再结合多边形内角和、角度和差关系推导结果，需要学生熟练掌握各知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6

1. 如图4,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(0,4)$,点B的坐标为$(8,4)$,点P是x轴上任意一点,若要使$PA+PB$的值最小,则点P的坐标为.

1. (4,0)

【分析】
本题属于直线同侧两点到直线上一点的距离和最小的典型最短路径问题，解题思路如下：首先利用轴对称变换，将x轴同侧的两点转化为异侧两点，根据轴对称性质，x轴上任意一点P到两个对称点的距离相等，即可将PA+PB转化为对称点到P的距离与PB的和；再根据两点之间线段最短，连接异侧的两个点，线段与x轴的交点即为所求的P点；最后通过求直线解析式的方式计算交点坐标即可。
【解析】
1. 作点A关于x轴的对称点A'：
已知点A坐标为(0,4)，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此A'的坐标为(0,-4)。
2. 利用轴对称性质转化线段：
根据轴对称的性质，对x轴上任意点P都有PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，根据两点之间线段最短，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB的值最小，即PA+PB最小。
3. 求直线A'B的解析式：
设直线A'B的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将A'(0,-4)、B(8,4)代入解析式：
代入A'(0,-4)，得$b=-4$；
代入B(8,4)，得$4=8k-4$，解得$k=1$。
因此直线A'B的解析式为$y=x-4$。
4. 求直线与x轴的交点P坐标：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，得$0=x-4$，解得$x=4$，因此点P的坐标为(4,0)。
【答案】
(4,0)
【知识点】
1. 最短路径（将军饮马）模型
2. 轴对称的性质
3. 一次函数的应用
【点评】
本题是最短路径问题的基础常考题，核心是通过轴对称将同侧距离和问题转化为异侧线段最短问题，结合一次函数求交点即可得解，解题思路固定，易于掌握。
【难度系数】
0.8

2. 如图5,等边$△ ABC$和等边$△ A'CB'$的边长都是4,点$B,C,B'$在同一条直线上,点$P$在线段$A'C$上,则$AP+BP$的最小值为.

2. 8

【分析】
本题属于最短路径中的“将军饮马”类问题，解题思路遵循“对称转化+两点之间线段最短”的核心逻辑：第一步先确定动点P所在的直线是A'C，第二步需要找到其中一个定点关于直线A'C的对称点，将两条折线段的和转化为共线时的线段长度求解。结合题中两个等边三角形边长相等、点B、C、B'共线的条件，可证得直线A'C平分∠ACB'，且AC=CB'，因此点A关于A'C的对称点恰好是B'，进而把AP+BP转化为BP+PB'，最小值就是B、B'两点之间的距离。
【解析】
解：
∵△ABC和△A'CB'都是边长为4的等边三角形，
∴AC=BC=CB'=4，∠ACB=∠A'CB'=60°，
∵点B、C、B'在同一条直线上，
∴∠ACA'=180°-∠ACB-∠A'CB'=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACA'=∠A'CB'=60°，即直线A'C是∠ACB'的角平分线，
又
∵AC=CB'，
∴直线A'C垂直平分线段AB'，即点A与点B'关于直线A'C对称，
∴对于线段A'C上的任意点P，都有AP=B'P，
∴AP+BP=B'P+BP，
根据两点之间线段最短，当B、P、B'三点共线时，B'P+BP的取值最小，最小值为线段BB'的长度，
∵BB'=BC+CB'=4+4=8，
∴AP+BP的最小值为8。
【答案】
8
【知识点】
最短路径问题；等边三角形的性质；轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的常规考法，解题的核心是结合等边三角形的角、边性质快速找到对称点，将折线段的和转化为两点之间的线段长度求解，要求学生能熟练将轴对称性质和几何图形特征结合应用。
【难度系数】
0.6

3. 如图6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点,则DE+EF+FD的和的最小值是.

图4 图5 图6

3. 4.8

【分析】
本题属于最短路径类问题，解题核心是利用轴对称转化折线段，结合几何最值性质求解。首先通过作点D关于两条直角边的对称点，将DE、FD分别转化为对称点到E、F的线段，把三条折线段的和转化为两点之间的线段长，再根据垂线段最短找到该线段的最小值即可。
【解析】
1. 作点D关于BC的对称点D₁，关于AC的对称点D₂，连接D₁E、D₂F、CD₁、CD₂。
根据轴对称的性质可得：DE=D₁E，FD=D₂F，CD₁=CD，CD₂=CD，∠D₁CB=∠DCB，∠D₂CA=∠DCA。
2. 转化线段和：DE+EF+FD = D₁E + EF + D₂F。
根据“两点之间线段最短”，D₁E + EF + D₂F ≥ D₁D₂，当且仅当D₁、E、F、D₂四点共线时，等号成立，即DE+EF+FD的最小值等于D₁D₂的长度。
3. 推导D₁D₂与CD的关系：
∵∠ACB=90°，
∴∠D₁CD₂ = ∠D₁CB + ∠DCB + ∠DCA + ∠D₂CA = 2(∠DCB + ∠DCA) = 2×90°=180°，
即D₁、C、D₂三点共线，因此D₁D₂=CD₁+CD₂=2CD。
要使D₁D₂最小，需先使CD最小。根据“垂线段最短”，当CD⊥AB时，CD的长度最小。
4. 计算最小长度：
Rt△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}×AC×BC$，也可表示为$\frac{1}{2}×AB×CD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×3×4 = \frac{1}{2}×5×CD$，
解得CD=$\frac{12}{5}$=2.4，
因此D₁D₂的最小值为2×2.4=4.8，即DE+EF+FD的最小值为4.8。
【答案】
4.8
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，垂线段最短
【点评】
本题考查最短路径的转化思路，需要熟练运用轴对称的性质将分散的折线段整合，结合线段最值的相关性质求解，对图形变换的理解能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

三、解答题
1. 在如图7所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为(-4,5),(-1,3).
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系;
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C';
(3)在y轴上找一点P,使PA+PC的值最小,请画出点P的位置.

1. (1)如图1,平面直角坐标系如图所示.(2)如图2,△A'B'C'即为所求.(3)如图3,点P即为所求.

【分析】
(1) 要建立平面直角坐标系，已知点A坐标为(-4,5)，说明原点在A点向右4个单位、向下5个单位的位置，找到该点作为原点后，画出水平向右的x轴和竖直向上的y轴即可。
(2) 作△ABC关于y轴对称的图形，首先要明确关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。先确定△ABC三个顶点的坐标，再分别求出它们关于y轴的对称点坐标，依次连接三个对称点就能得到所求的△A'B'C'。
(3) 要在y轴上找P使PA+PC最小，这是典型的最短路径问题：利用轴对称的性质，将其中一个点转化为关于y轴对称的点，根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，和y轴的交点就是所求的P点。因为A和A'关于y轴对称，所以PA=PA'，那么PA+PC=PA'+PC，当A'、P、C三点共线时，PA'+PC的长度就是A'C的长度，此时值最小。
【解析】
(1) 确定坐标原点位置：已知点A(-4,5)，将点A沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向下平移5个单位，得到的点即为原点O(0,0)；过原点作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，标注单位长度，完成平面直角坐标系的建立。
(2) 先确定△ABC三个顶点的坐标：A(-4,5)、B(-2,1)、C(-1,3)；根据关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，得到三个顶点的对称点坐标为A'(4,5)、B'(2,1)、C'(1,3)；在坐标系中描出A'、B'、C'三个点，依次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到△A'B'C'。
(3) 根据轴对称性质，点A与点A'关于y轴对称，故PA=PA'，因此PA+PC=PA'+PC；根据两点之间线段最短，当A'、P、C三点共线时，PA'+PC取得最小值，最小值为线段A'C的长度。连接A'C，A'C与y轴的交点即为所求的点P。
【答案】
1. (1)如图1，平面直角坐标系如图所示。(2)如图2，△A'B'C'即为所求。(3)如图3，点P即为所求。
【知识点】
平面直角坐标系建立；轴对称变换；最短路径问题
【点评】
本题属于基础作图类综合题，考查了坐标系的建立、轴对称作图以及最短路径的构造方法，解题的核心是熟练掌握轴对称的性质，作图时要注意规范、准确。
【难度系数】
0.8