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2. 提出问题:唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马. 如图8-1,将军从山脚下的点A出发,到达河岸点C饮马后再回到点B宿营,他时常想,怎么走,才能使他每天走的路程之和最短呢?
解决问题
(1)标出“提出问题”中C点的位置;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)为了说明(1)中点C的位置即为所求,某学习小组经探究发现,在直线上另外取点C',连接AC',BC',B'C',说明AC+BC＜AC'+BC'即可,请你借助(1)中所作的图形说明;
类比探究
(3)如图8-2,将军牵马从军营P处出发,到河流OA饮马,再到草地OB吃草,最后回到P处,试分别在边OA和OB上各找一点E,F,使得走过的路程最短.(保留画图痕迹,辅助线用虚线,最短路径用实线)
解决问题
(1)标出“提出问题”中C点的位置;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)为了说明(1)中点C的位置即为所求,某学习小组经探究发现,在直线上另外取点C',连接AC',BC',B'C',说明AC+BC＜AC'+BC'即可,请你借助(1)中所作的图形说明;
类比探究
(3)如图8-2,将军牵马从军营P处出发,到河流OA饮马,再到草地OB吃草,最后回到P处,试分别在边OA和OB上各找一点E,F,使得走过的路程最短.(保留画图痕迹,辅助线用虚线,最短路径用实线)
答案
2. (1)如图4所示,点C即为所求.(2)如图5,
∵直线l是点B、B'的对称轴,点C、C'在l上,
∴CB=CB',BC'=C'B',
∴AC+CB=AC+CB'=AB'. 在△AC'B'中,
∵AB'＜AC'+C'B',
∴AC+CB＜AC'+BC'.(3)如图6所示,
∵CE=PE,DF=PF,
∴PE+EF+PF=CE+EF+DF,根据两点之间线段最短可得路线PE,EF,PF即为所求.
解析
【分析】
(1) 要在直线l上找点C使AC+BC最短，已知A、B在直线l同侧，可利用轴对称将其中一个点转移到直线另一侧，将折线段和转化为两点之间的线段，依据两点之间线段最短即可确定C点位置：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，AB'与直线l的交点即为所求C。
(2) 要证明AC+BC最短，需借助轴对称的性质：对称轴上的点到两个对称点的距离相等，因此BC=B'C，BC'=B'C'，将AC+BC转化为AB'，AC'+BC'转化为AC'+B'C'，再利用三角形两边之和大于第三边即可比较大小。
(3) 要在OA、OB上分别找点E、F使PE+EF+FP最短，同样利用轴对称，分别作P关于OA、OB的对称点，将PE、PF转化为对称点到E、F的线段，此时三段折线段的和就转化为两个对称点之间的路径，依据两点之间线段最短，连接两个对称点与OA、OB的交点即为所求E、F。
【解析】
(1) 作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，AB'与直线l的交点即为点C，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵直线l是点B和点B'的对称轴，点C、C'都在直线l上，
∴根据轴对称的性质得：$CB=CB'$，$BC'=B'C'$，
∴$AC+CB=AC+CB'=AB'$，$AC'+BC'=AC'+B'C'$。
在$△ AC'B'$中，由三角形三边关系（两边之和大于第三边）可得：$AB'＜AC'+B'C'$，
∴$AC+CB ＜ AC'+BC'$，即点C为使路程最短的点。
(3) 作点P关于OA的对称点C，作点P关于OB的对称点D，连接CD，CD与OA交于点E，与OB交于点F，此时路径$P\to E\to F\to P$即为最短路径，按要求保留辅助线痕迹即可。
【答案】
(1)如图4所示,点C即为所求。
(2)如图5,
∵直线l是点B、B'的对称轴,点C、C'在l上,
∴CB=CB',BC'=C'B',
∴AC+CB=AC+CB'=AB'。在△AC'B'中,
∵AB'＜AC'+C'B',
∴AC+CB＜AC'+BC'。
(3)如图6所示,
∵CE=PE,DF=PF,
∴PE+EF+PF=CE+EF+DF,根据两点之间线段最短可得路线PE,EF,PF即为所求。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是“将军饮马”模型的典型应用，包含直线同侧两定点最短路径、角内点往返两边最短路径两类常考题型，解题核心是通过轴对称变换将折线路径转化为两点之间的线段，结合几何公理或定理证明最短，掌握轴对称转化的思路是解决这类路径最值问题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要在直线l上找点C使AC+BC最短，已知A、B在直线l同侧，可利用轴对称将其中一个点转移到直线另一侧，将折线段和转化为两点之间的线段，依据两点之间线段最短即可确定C点位置：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，AB'与直线l的交点即为所求C。
(2) 要证明AC+BC最短，需借助轴对称的性质：对称轴上的点到两个对称点的距离相等，因此BC=B'C，BC'=B'C'，将AC+BC转化为AB'，AC'+BC'转化为AC'+B'C'，再利用三角形两边之和大于第三边即可比较大小。
(3) 要在OA、OB上分别找点E、F使PE+EF+FP最短，同样利用轴对称，分别作P关于OA、OB的对称点，将PE、PF转化为对称点到E、F的线段，此时三段折线段的和就转化为两个对称点之间的路径，依据两点之间线段最短，连接两个对称点与OA、OB的交点即为所求E、F。
【解析】
(1) 作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，AB'与直线l的交点即为点C，保留尺规作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵直线l是点B和点B'的对称轴，点C、C'都在直线l上，
∴根据轴对称的性质得：$CB=CB'$，$BC'=B'C'$，
∴$AC+CB=AC+CB'=AB'$，$AC'+BC'=AC'+B'C'$。
在$△ AC'B'$中，由三角形三边关系（两边之和大于第三边）可得：$AB'＜AC'+B'C'$，
∴$AC+CB ＜ AC'+BC'$，即点C为使路程最短的点。
(3) 作点P关于OA的对称点C，作点P关于OB的对称点D，连接CD，CD与OA交于点E，与OB交于点F，此时路径$P\to E\to F\to P$即为最短路径，按要求保留辅助线痕迹即可。
【答案】
(1)如图4所示,点C即为所求。
(2)如图5,
∵直线l是点B、B'的对称轴,点C、C'在l上,
∴CB=CB',BC'=C'B',
∴AC+CB=AC+CB'=AB'。在△AC'B'中,
∵AB'＜AC'+C'B',
∴AC+CB＜AC'+BC'。
(3)如图6所示,
∵CE=PE,DF=PF,
∴PE+EF+PF=CE+EF+DF,根据两点之间线段最短可得路线PE,EF,PF即为所求。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是“将军饮马”模型的典型应用，包含直线同侧两定点最短路径、角内点往返两边最短路径两类常考题型，解题核心是通过轴对称变换将折线路径转化为两点之间的线段，结合几何公理或定理证明最短，掌握轴对称转化的思路是解决这类路径最值问题的关键。
【难度系数】
0.7
【拓展思考】
将军要检阅一队士兵,要求(如图9):队伍长为$a$,沿河$OB$排开(从点$P$到点$Q$);将军从马棚$M$出发到达队头$P$,从$P$至$Q$检阅队伍后再赶到校场$N$. 问:在什么位置列队(即选择点$P$和$Q$),可以使得将军走的总路程$MP+PQ+QN$最短?
将军要检阅一队士兵,要求(如图9):队伍长为$a$,沿河$OB$排开(从点$P$到点$Q$);将军从马棚$M$出发到达队头$P$,从$P$至$Q$检阅队伍后再赶到校场$N$. 问:在什么位置列队(即选择点$P$和$Q$),可以使得将军走的总路程$MP+PQ+QN$最短?
答案
3. 如图7,作ME//OB,使得ME=a,作点E关于OB的对称点F,连接FN交OB于点Q,在OQ上截取QP=a,连接MP,则选择线路M→P→Q→N时,MP+PQ+QN的值最小.
解析
【分析】
要解决总路程$MP+PQ+QN$最短的问题，首先观察到$PQ$是固定长度$a$，因此只需让$MP+QN$的和最小即可。我们可以通过平移变换，把$MP$和$QN$这两条分散的线段转化为有公共端点的线段，再利用轴对称的性质和“两点之间线段最短”的原理求解：先将点$M$沿平行于$OB$的方向平移$a$个长度单位得到点$E$，可将$MP$转化为$EQ$，此时$MP+QN$就等价于$EQ+QN$；再作$E$关于$OB$的对称点$F$，将$EQ$转化为$FQ$，则$EQ+QN$变为$FQ+QN$，当$F、Q、N$三点共线时，$FQ+QN$的和最小，最后再确定$P$点位置即可。
【解析】
1. 分离定值与变量：因为$PQ$的长度固定为$a$且始终在$OB$上，所以总路程$MP+PQ+QN$的最小值等价于$MP+QN$的最小值。
2. 平移转化线段：过点$M$作$ME// OB$，且截取$ME=a$，相当于将点$M$沿平行于$OB$的方向平移$a$个单位得到点$E$，由平移的性质可得$MP=EQ$，因此$MP+QN=EQ+QN$。
3. 轴对称转化：作点$E$关于直线$OB$的对称点$F$，根据轴对称的性质可知$EQ=FQ$，因此$EQ+QN=FQ+QN$。
4. 确定点$Q$：根据“两点之间线段最短”，连接$FN$，$FN$与$OB$的交点即为$Q$点，此时$FQ+QN=FN$，和最小。
5. 确定点$P$：在$OB$上的线段$OQ$上截取$QP=a$，连接$MP$，此时总路程$MP+PQ+QN$最短。
【答案】
如图7,作ME//OB,使得ME=a,作点E关于OB的对称点F,连接FN交OB于点Q,在OQ上截取QP=a,连接MP,则选择线路M→P→Q→N时,MP+PQ+QN的值最小.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是经典将军饮马模型的变形应用，解题核心是先分离出长度固定的线段，将问题转化为两条动线段之和的最小值，再通过平移、轴对称变换将分散的动线段转化到同一直线上，结合两点之间线段最短的原理求解，充分考查了几何转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要解决总路程$MP+PQ+QN$最短的问题，首先观察到$PQ$是固定长度$a$，因此只需让$MP+QN$的和最小即可。我们可以通过平移变换，把$MP$和$QN$这两条分散的线段转化为有公共端点的线段，再利用轴对称的性质和“两点之间线段最短”的原理求解：先将点$M$沿平行于$OB$的方向平移$a$个长度单位得到点$E$，可将$MP$转化为$EQ$，此时$MP+QN$就等价于$EQ+QN$；再作$E$关于$OB$的对称点$F$，将$EQ$转化为$FQ$，则$EQ+QN$变为$FQ+QN$，当$F、Q、N$三点共线时，$FQ+QN$的和最小，最后再确定$P$点位置即可。
【解析】
1. 分离定值与变量：因为$PQ$的长度固定为$a$且始终在$OB$上，所以总路程$MP+PQ+QN$的最小值等价于$MP+QN$的最小值。
2. 平移转化线段：过点$M$作$ME// OB$，且截取$ME=a$，相当于将点$M$沿平行于$OB$的方向平移$a$个单位得到点$E$，由平移的性质可得$MP=EQ$，因此$MP+QN=EQ+QN$。
3. 轴对称转化：作点$E$关于直线$OB$的对称点$F$，根据轴对称的性质可知$EQ=FQ$，因此$EQ+QN=FQ+QN$。
4. 确定点$Q$：根据“两点之间线段最短”，连接$FN$，$FN$与$OB$的交点即为$Q$点，此时$FQ+QN=FN$，和最小。
5. 确定点$P$：在$OB$上的线段$OQ$上截取$QP=a$，连接$MP$，此时总路程$MP+PQ+QN$最短。
【答案】
如图7,作ME//OB,使得ME=a,作点E关于OB的对称点F,连接FN交OB于点Q,在OQ上截取QP=a,连接MP,则选择线路M→P→Q→N时,MP+PQ+QN的值最小.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是经典将军饮马模型的变形应用，解题核心是先分离出长度固定的线段，将问题转化为两条动线段之和的最小值，再通过平移、轴对称变换将分散的动线段转化到同一直线上，结合两点之间线段最短的原理求解，充分考查了几何转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
