登录
2. 如图5,已知$AB=AC$,$AD=AE$.若$BE=8$,$DE=2$,则$BC=$
14
.答案
2. 14
解析
【分析】
解题时首先从已知的两组等边条件入手，结合两个三角形共有的∠A，可通过SAS判定定理证明△ABE与△ACD全等，得到对应边CD与BE相等；再观察图形中线段的组成关系，BC由BE和CD重叠拼接而成，减去重叠部分DE即可算出BC的长度。
【解析】
证明：在$△ ABE$和$△ ACD$中
$\begin{cases}AB=AC \quad (\mathrm{已知}) \\∠ A=∠ A \quad (\mathrm{公共角}) \\AE=AD \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD \ (\mathrm{SAS})$
$\therefore CD=BE=8$（全等三角形的对应边相等）
由线段的和差关系可得：
$BC=BE+CD-DE$
将$BE=8$，$CD=8$，$DE=2$代入得：
$BC=8+8-2=14$
【答案】
14
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是利用公共角构造全等三角形，得到相等的线段后，结合图形分析线段间的重叠关系即可快速求解，对学生的图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的两组等边条件入手，结合两个三角形共有的∠A，可通过SAS判定定理证明△ABE与△ACD全等，得到对应边CD与BE相等；再观察图形中线段的组成关系，BC由BE和CD重叠拼接而成，减去重叠部分DE即可算出BC的长度。
【解析】
证明：在$△ ABE$和$△ ACD$中
$\begin{cases}AB=AC \quad (\mathrm{已知}) \\∠ A=∠ A \quad (\mathrm{公共角}) \\AE=AD \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD \ (\mathrm{SAS})$
$\therefore CD=BE=8$（全等三角形的对应边相等）
由线段的和差关系可得：
$BC=BE+CD-DE$
将$BE=8$，$CD=8$，$DE=2$代入得：
$BC=8+8-2=14$
【答案】
14
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是利用公共角构造全等三角形，得到相等的线段后，结合图形分析线段间的重叠关系即可快速求解，对学生的图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
3. 如图6-1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动.C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动.如图6-2，若∠BDE=84°，则∠CDE的度数是
68°
.答案
3. 68°
解析
【分析】
已知OC=CD=DE，可得△OCD、△CDE均为等腰三角形，可利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，先设∠O的度数为x，将∠BDE用含x的代数式表示，求出x的值后，再根据平角为180°的性质即可计算出∠CDE的度数。
【解析】
设∠O = x，
∵ OC = CD，
∴ ∠CDO = ∠O = x，
根据三角形外角的性质，得∠DCE = ∠O + ∠CDO = 2x，
又
∵ CD = DE，
∴ ∠DEC = ∠DCE = 2x，
再根据三角形外角的性质，得∠BDE = ∠O + ∠DEC = x + 2x = 3x，
已知∠BDE = 84°，
∴ 3x = 84°，解得x = 28°，即∠CDO = 28°，
∵ 点O、D、B在同一直线上，∠CDO + ∠CDE + ∠BDE = 180°（平角的定义），
∴ ∠CDE = 180° - ∠CDO - ∠BDE = 180° - 28° - 84° = 68°。
【答案】
68°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形角度计算的综合题，解题的关键是熟练运用等边对等角的性质梳理角度之间的数量关系，通过设未知数列式求解，能有效考查学生对几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
已知OC=CD=DE，可得△OCD、△CDE均为等腰三角形，可利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，先设∠O的度数为x，将∠BDE用含x的代数式表示，求出x的值后，再根据平角为180°的性质即可计算出∠CDE的度数。
【解析】
设∠O = x，
∵ OC = CD，
∴ ∠CDO = ∠O = x，
根据三角形外角的性质，得∠DCE = ∠O + ∠CDO = 2x，
又
∵ CD = DE，
∴ ∠DEC = ∠DCE = 2x，
再根据三角形外角的性质，得∠BDE = ∠O + ∠DEC = x + 2x = 3x，
已知∠BDE = 84°，
∴ 3x = 84°，解得x = 28°，即∠CDO = 28°，
∵ 点O、D、B在同一直线上，∠CDO + ∠CDE + ∠BDE = 180°（平角的定义），
∴ ∠CDE = 180° - ∠CDO - ∠BDE = 180° - 28° - 84° = 68°。
【答案】
68°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形角度计算的综合题，解题的关键是熟练运用等边对等角的性质梳理角度之间的数量关系，通过设未知数列式求解，能有效考查学生对几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
4*. 如图7,直线BD⊥AC,垂足为点O,且AO=CO.若∠ADC+∠ABC=220°,则∠DAB的度数为
图6-1
图6-2
70°
.图6-1
图6-2
答案
4. 70°
解析
【分析】
首先观察已知条件：BD垂直AC且AO=CO，可判断BD是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=CD、AB=CB，进而得到△ADC和△ABC均为等腰三角形，再结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就能推导得出∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵BD⊥AC，AO=CO，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AB=CB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA（等腰三角形等边对等角）。
根据三角形内角和为180°可得：
在△ADC中：$∠ ADC+∠ DAC+∠ DCA=180°$，
在△ABC中：$∠ ABC+∠ BAC+∠ BCA=180°$，
将两式相加得：$∠ ADC+∠ ABC + (∠ DAC+∠ DCA+∠ BAC+∠ BCA) = 360°$，
把$∠ ADC+∠ ABC=220°$代入上式，结合等角关系可得：
$220° + 2(∠ DAC+∠ BAC) = 360°$，
即$2∠ DAB=140°$，
解得$∠ DAB=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是先通过垂直平分线的性质得到等腰三角形，再利用角度和的关系推导所求角的度数，考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件：BD垂直AC且AO=CO，可判断BD是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=CD、AB=CB，进而得到△ADC和△ABC均为等腰三角形，再结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就能推导得出∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵BD⊥AC，AO=CO，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AB=CB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA（等腰三角形等边对等角）。
根据三角形内角和为180°可得：
在△ADC中：$∠ ADC+∠ DAC+∠ DCA=180°$，
在△ABC中：$∠ ABC+∠ BAC+∠ BCA=180°$，
将两式相加得：$∠ ADC+∠ ABC + (∠ DAC+∠ DCA+∠ BAC+∠ BCA) = 360°$，
把$∠ ADC+∠ ABC=220°$代入上式，结合等角关系可得：
$220° + 2(∠ DAC+∠ BAC) = 360°$，
即$2∠ DAB=140°$，
解得$∠ DAB=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是先通过垂直平分线的性质得到等腰三角形，再利用角度和的关系推导所求角的度数，考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图8,在△ABD中,AB=AC=DC,∠BAC=40°,求∠BAD的度数.
1. 如图8,在△ABD中,AB=AC=DC,∠BAC=40°,求∠BAD的度数.
答案
1.
∵AB=AC=DC,
∴∠B=∠ACB,∠D=∠CAD.
∵∠BAC=40°,
∴∠ACB=$\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}(180°-40°)=70°$.
∵∠ACB=∠D+∠CAD=2∠CAD,
∴2∠CAD=70°,
∴∠CAD=35°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+35°=75°.
∵AB=AC=DC,
∴∠B=∠ACB,∠D=∠CAD.
∵∠BAC=40°,
∴∠ACB=$\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}(180°-40°)=70°$.
∵∠ACB=∠D+∠CAD=2∠CAD,
∴2∠CAD=70°,
∴∠CAD=35°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+35°=75°.
解析
【分析】
解题时先识别图中的等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，先在△ABC中利用三角形内角和求出∠ACB的度数；再发现∠ACB是△ACD的外角，结合AC=DC得到的∠D=∠CAD，利用三角形外角的性质求出∠CAD的度数；最后将∠BAC与∠CAD相加即可得到∠BAD的度数。
【解析】
∵AB=AC=DC，
∴∠B=∠ACB，∠D=∠CAD。
∵∠BAC=40°，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}(180°-40°)=70°$。
∵∠ACB=∠D+∠CAD=2∠CAD，
∴2∠CAD=70°，
∴∠CAD=35°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+35°=75°。
【答案】
$\boxed{75°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础典型题，解题关键是利用等边对等角建立角的等量关系，结合三角形内角和、外角性质完成角度的转化计算，能够帮助学生巩固等腰三角形的基础应用。
【难度系数】
0.7
解题时先识别图中的等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，先在△ABC中利用三角形内角和求出∠ACB的度数；再发现∠ACB是△ACD的外角，结合AC=DC得到的∠D=∠CAD，利用三角形外角的性质求出∠CAD的度数；最后将∠BAC与∠CAD相加即可得到∠BAD的度数。
【解析】
∵AB=AC=DC，
∴∠B=∠ACB，∠D=∠CAD。
∵∠BAC=40°，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}(180°-40°)=70°$。
∵∠ACB=∠D+∠CAD=2∠CAD，
∴2∠CAD=70°，
∴∠CAD=35°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+35°=75°。
【答案】
$\boxed{75°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础典型题，解题关键是利用等边对等角建立角的等量关系，结合三角形内角和、外角性质完成角度的转化计算，能够帮助学生巩固等腰三角形的基础应用。
【难度系数】
0.7
2. 如图9,AC,DB相交于点O,AB=DC,∠A=∠D.
求证:(1)△ABO≌△DCO;(2)∠OBC=∠OCB.
求证:(1)△ABO≌△DCO;(2)∠OBC=∠OCB.
答案
2. (1)证明:在△ABO与△DCO中,$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ ∠AOB=∠DOC, \\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS).
(2)证明:
∵△ABO≌△DCO,
∴OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∴△ABO≌△DCO(AAS).
(2)证明:
∵△ABO≌△DCO,
∴OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
解析
【分析】
对于第(1)问，要证明△ABO≌△DCO，先梳理已知条件：题目给出AB=DC、∠A=∠D，再结合AC与BD交于点O，可得一组对顶角∠AOB=∠DOC，三个条件恰好满足AAS的全等判定依据，即可完成证明。对于第(2)问，要证明∠OBC=∠OCB，可借助第(1)问的全等结论得到OB=OC，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质即可得证。
【解析】
(1)证明：在△ABO与△DCO中，
$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ ∠AOB=∠DOC, \\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS)。
(2)证明：
∵△ABO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB。
【答案】
(1)证明:在△ABO与△DCO中,$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ ∠AOB=∠DOC, \\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS).
(2)证明:
∵△ABO≌△DCO,
∴OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
【知识点】
全等三角形AAS判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是挖掘出对顶角相等的隐含条件完成全等证明，再依次结合全等性质和等腰三角形性质推导角的关系，考察的都是几何模块的核心基础内容，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，要证明△ABO≌△DCO，先梳理已知条件：题目给出AB=DC、∠A=∠D，再结合AC与BD交于点O，可得一组对顶角∠AOB=∠DOC，三个条件恰好满足AAS的全等判定依据，即可完成证明。对于第(2)问，要证明∠OBC=∠OCB，可借助第(1)问的全等结论得到OB=OC，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质即可得证。
【解析】
(1)证明：在△ABO与△DCO中，
$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ ∠AOB=∠DOC, \\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS)。
(2)证明：
∵△ABO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB。
【答案】
(1)证明:在△ABO与△DCO中,$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ ∠AOB=∠DOC, \\ AB=DC, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(AAS).
(2)证明:
∵△ABO≌△DCO,
∴OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
【知识点】
全等三角形AAS判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是挖掘出对顶角相等的隐含条件完成全等证明，再依次结合全等性质和等腰三角形性质推导角的关系，考察的都是几何模块的核心基础内容，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
3*. 如图10,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AE=CE. 求证:(1)△AEF≌△CEB;(2)AF=2CD.
答案
3. 证明:(1)
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠B+∠BAD=90°,∠B+∠BCE=90°,
∴∠EAF=∠ECB. 在△AEF和△CEB中,$\begin{cases} ∠AEF=∠CEB=90°, \\ AE=CE, \\ ∠EAF=∠ECB, \end{cases}$
∴△AEF≌△CEB(ASA).
(2)
∵△AEF≌△CEB,
∴AF=BC.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
∴AF=BC=2CD.
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠B+∠BAD=90°,∠B+∠BCE=90°,
∴∠EAF=∠ECB. 在△AEF和△CEB中,$\begin{cases} ∠AEF=∠CEB=90°, \\ AE=CE, \\ ∠EAF=∠ECB, \end{cases}$
∴△AEF≌△CEB(ASA).
(2)
∵△AEF≌△CEB,
∴AF=BC.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
∴AF=BC=2CD.
解析
【分析】
（1）要证明△AEF≌△CEB，先梳理已知条件：CE⊥AB可得两个三角形都有直角，即∠AEF=∠CEB=90°，且题目已给出AE=CE，仅需再找一组对应角相等即可。由AD⊥BC、CE⊥AB可知，∠BAD和∠BCE都与∠B互余，根据同角的余角相等可推出∠EAF=∠ECB，满足ASA全等判定的条件。
（2）要证明AF=2CD，先由全等三角形的性质得到AF与对应边BC相等，再结合等腰三角形ABC中AD是底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质可得BC=2CD，通过等量代换即可得出结论。
【解析】
(1)
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BCE=90°，
∴∠EAF=∠ECB。
在△AEF和△CEB中，
$\begin{cases} ∠AEF=∠CEB=90°, \\ AE=CE, \\ ∠EAF=∠ECB, \end{cases}$
∴△AEF≌△CEB(ASA)。
(2)
∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，即BC=2CD，
∴AF=BC=2CD。
【答案】
证明见上述解析过程。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是利用同角的余角相等得到全等判定的等角条件，再结合全等性质和等腰三角形三线合一的性质完成线段的等量代换，能够有效考查学生对基础几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△AEF≌△CEB，先梳理已知条件：CE⊥AB可得两个三角形都有直角，即∠AEF=∠CEB=90°，且题目已给出AE=CE，仅需再找一组对应角相等即可。由AD⊥BC、CE⊥AB可知，∠BAD和∠BCE都与∠B互余，根据同角的余角相等可推出∠EAF=∠ECB，满足ASA全等判定的条件。
（2）要证明AF=2CD，先由全等三角形的性质得到AF与对应边BC相等，再结合等腰三角形ABC中AD是底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质可得BC=2CD，通过等量代换即可得出结论。
【解析】
(1)
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠B+∠BAD=90°，∠B+∠BCE=90°，
∴∠EAF=∠ECB。
在△AEF和△CEB中，
$\begin{cases} ∠AEF=∠CEB=90°, \\ AE=CE, \\ ∠EAF=∠ECB, \end{cases}$
∴△AEF≌△CEB(ASA)。
(2)
∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，即BC=2CD，
∴AF=BC=2CD。
【答案】
证明见上述解析过程。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是利用同角的余角相等得到全等判定的等角条件，再结合全等性质和等腰三角形三线合一的性质完成线段的等量代换，能够有效考查学生对基础几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
