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3. 如图6,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点均在正方形网格的格点上,且点A的坐标为(-4,2),△DEF和△ABC关于y轴对称(点A,B的对应点分别为点D,E).
(1)在图中把△ABC和△DEF补充完整;
(2)计算△ABC的面积.
(1)在图中把△ABC和△DEF补充完整;
(2)计算△ABC的面积.
答案
(1)
∵点B和E(1,0)关于y轴对称,点$C(-2,-4)$和F关于y轴对称, $\therefore B(-1,0),F(2,-4)$,把$△ ABC$和$△ DEF$补充完整如图2所示
.(2)如图2,分别过点A、C作x轴的平行线,分别过点A、B作y轴的平行线,交点为G、H、M. $\therefore S_{△ ABC}=S_{长方形AGHM}-S_{△ ABG}-S_{△ BCH}-S_{△ ACM}=AG· AM- \frac{1}{2} AG· BG- \frac{1}{2} CH· BH- \frac{1}{2} CM· AM=3×6-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×6=18-3-2-6=7$, $\therefore △ ABC$的面积为7.
解析
【分析】
(1) 补全图形需利用关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。首先根据已知的对称点E的坐标求出点B的坐标，再结合点A的坐标求出其对称点D的坐标，找到点C的坐标后求出其对称点F的坐标，最后依次连接对应点即可补全两个三角形。
(2) 网格中格点三角形的面积可采用割补法求解：将△ABC放在能完全包围它的长方形内，用长方形的总面积减去周围3个多余直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点满足纵坐标相同、横坐标互为相反数：
已知E(1,0)是点B的对称点，因此B点坐标为$(-1,0)$；
已知A$(-4,2)$，因此A的对称点D坐标为$(4,2)$；
点C的坐标为$(-2,-4)$，因此C的对称点F坐标为$(2,-4)$；
依次连接A、B、C得到△ABC，连接D、E、F得到△DEF，补全后的图形如图2所示。
(2) 分别过点A、C作x轴的平行线，分别过点A、B作y轴的平行线，交点为G、H、M，得到包围△ABC的长方形AGHM：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{长方形AGHM}-S_{△ ABG}-S_{△ BCH}-S_{△ ACM}\\&=AG· AM-\frac{1}{2}AG· BG-\frac{1}{2}CH· BH-\frac{1}{2}CM· AM\\&=3×6-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×6\\&=18-3-2-6\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1) 补全图形如图2所示；
(2) $\boxed{7}$
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 割补法求图形面积
3. 轴对称作图
【点评】
本题考查轴对称图形的绘制和格点三角形面积的计算，解题核心是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标规律，以及用割补法求解网格中不规则图形面积的方法。
【难度系数】
0.7
(1) 补全图形需利用关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数。首先根据已知的对称点E的坐标求出点B的坐标，再结合点A的坐标求出其对称点D的坐标，找到点C的坐标后求出其对称点F的坐标，最后依次连接对应点即可补全两个三角形。
(2) 网格中格点三角形的面积可采用割补法求解：将△ABC放在能完全包围它的长方形内，用长方形的总面积减去周围3个多余直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点满足纵坐标相同、横坐标互为相反数：
已知E(1,0)是点B的对称点，因此B点坐标为$(-1,0)$；
已知A$(-4,2)$，因此A的对称点D坐标为$(4,2)$；
点C的坐标为$(-2,-4)$，因此C的对称点F坐标为$(2,-4)$；
依次连接A、B、C得到△ABC，连接D、E、F得到△DEF，补全后的图形如图2所示。
(2) 分别过点A、C作x轴的平行线，分别过点A、B作y轴的平行线，交点为G、H、M，得到包围△ABC的长方形AGHM：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{长方形AGHM}-S_{△ ABG}-S_{△ BCH}-S_{△ ACM}\\&=AG· AM-\frac{1}{2}AG· BG-\frac{1}{2}CH· BH-\frac{1}{2}CM· AM\\&=3×6-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×6\\&=18-3-2-6\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1) 补全图形如图2所示
；(2) $\boxed{7}$
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 割补法求图形面积
3. 轴对称作图
【点评】
本题考查轴对称图形的绘制和格点三角形面积的计算，解题核心是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标规律，以及用割补法求解网格中不规则图形面积的方法。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 若等腰三角形的顶角为$36°$,则底角为(
A.$36°$
B.$54°$
C.$72°$
D.$108°$
1. 若等腰三角形的顶角为$36°$,则底角为(
C
)A.$36°$
B.$54°$
C.$72°$
D.$108°$
答案
1. C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆两个基础知识点：一是等腰三角形的两个底角相等，二是三角形的内角和为180°。解题时先根据内角和求出两个底角的总度数，再结合等腰三角形底角相等的性质，就能算出单个底角的度数。
【解析】
已知等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。
已知顶角为36°，则两个底角的度数和为：$180° - 36° = 144°$
又因为两个底角度数相等，所以单个底角的度数为：$144° ÷ 2 = 72°$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的基本性质与三角形内角和定理的简单应用，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆两个基础知识点：一是等腰三角形的两个底角相等，二是三角形的内角和为180°。解题时先根据内角和求出两个底角的总度数，再结合等腰三角形底角相等的性质，就能算出单个底角的度数。
【解析】
已知等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。
已知顶角为36°，则两个底角的度数和为：$180° - 36° = 144°$
又因为两个底角度数相等，所以单个底角的度数为：$144° ÷ 2 = 72°$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的基本性质与三角形内角和定理的简单应用，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如果等腰三角形两边长是2 cm和4 cm，那么它的周长是(
A.8 cm
B.10 cm
C.8 cm或10 cm
D.12 cm
B
)A.8 cm
B.10 cm
C.8 cm或10 cm
D.12 cm
答案
2. B
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的定义（有两条边相等的三角形是等腰三角形），题目未说明给出的两条边哪个是腰、哪个是底，因此需要分两种情况讨论。同时三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”，因此每种情况都要先验证是否能构成三角形，舍去不符合要求的情况，最后计算符合条件的三角形的周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若腰长为2cm，底边长为4cm，此时三角形三边长为2cm、2cm、4cm。
因为$2+2=4$，不满足三角形“两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，故该情况舍去。
2. 若腰长为4cm，底边长为2cm，此时三角形三边长为4cm、4cm、2cm。
因为$2+4＞4$、$4+4＞2$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，此时周长为$4+4+2=10\mathrm{cm}$。
综上，该等腰三角形的周长是10cm。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接认为两种情况都成立误选C。解决等腰三角形边长相关问题时，一定要牢记分类讨论后先验证能否构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形的定义（有两条边相等的三角形是等腰三角形），题目未说明给出的两条边哪个是腰、哪个是底，因此需要分两种情况讨论。同时三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”，因此每种情况都要先验证是否能构成三角形，舍去不符合要求的情况，最后计算符合条件的三角形的周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若腰长为2cm，底边长为4cm，此时三角形三边长为2cm、2cm、4cm。
因为$2+2=4$，不满足三角形“两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，故该情况舍去。
2. 若腰长为4cm，底边长为2cm，此时三角形三边长为4cm、4cm、2cm。
因为$2+4＞4$、$4+4＞2$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，此时周长为$4+4+2=10\mathrm{cm}$。
综上，该等腰三角形的周长是10cm。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接认为两种情况都成立误选C。解决等腰三角形边长相关问题时，一定要牢记分类讨论后先验证能否构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
3. 如图1,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,下列结论中,不正确的是(
A.$AB=2BD$
B.$AD⊥ BC$
C.$AD$平分$∠ BAC$
D.$∠ B=∠ C$
A
)A.$AB=2BD$
B.$AD⊥ BC$
C.$AD$平分$∠ BAC$
D.$∠ B=∠ C$
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的性质应用，解题思路如下：第一步，先根据已知条件$AB=AC$判断$△ ABC$为等腰三角形；第二步，回忆等腰三角形的相关性质，包括等边对等角、三线合一（底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合）；第三步，结合D是BC中点的条件，逐一判断四个选项的正误，选出不正确的选项即可。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
1. 根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得$∠ B=∠ C$，因此D选项结论正确，不符合题意；
2. 已知D是BC的中点，即AD是等腰$△ ABC$底边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得：$AD⊥ BC$、$AD$平分$∠ BAC$，因此B、C选项结论均正确，不符合题意；
3. A选项中，BD是BC的一半，仅当$△ ABC$是等边三角形时才有$AB=BC$，进而推出$AB=2BD$，题目仅说明$△ ABC$是等腰三角形，无法得到该结论，因此A选项结论错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三线合一；等边对等角
【点评】
本题属于基础题，重点考查对等腰三角形核心性质的掌握，解题时注意看清题干要求选择“不正确”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形的性质应用，解题思路如下：第一步，先根据已知条件$AB=AC$判断$△ ABC$为等腰三角形；第二步，回忆等腰三角形的相关性质，包括等边对等角、三线合一（底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合）；第三步，结合D是BC中点的条件，逐一判断四个选项的正误，选出不正确的选项即可。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
1. 根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得$∠ B=∠ C$，因此D选项结论正确，不符合题意；
2. 已知D是BC的中点，即AD是等腰$△ ABC$底边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得：$AD⊥ BC$、$AD$平分$∠ BAC$，因此B、C选项结论均正确，不符合题意；
3. A选项中，BD是BC的一半，仅当$△ ABC$是等边三角形时才有$AB=BC$，进而推出$AB=2BD$，题目仅说明$△ ABC$是等腰三角形，无法得到该结论，因此A选项结论错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三线合一；等边对等角
【点评】
本题属于基础题，重点考查对等腰三角形核心性质的掌握，解题时注意看清题干要求选择“不正确”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.9
4. 如图2，已知△ABC≌△ADE，点D在BC上.若∠CAE=40°，则∠B的度数是（
A.70°
B.68°
C.65°
D.60°
A
）A.70°
B.68°
C.65°
D.60°
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形的性质可得到对应边相等、对应角相等：一是可得AB=AD，即△ABD为等腰三角形；二是可得∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠DAC即可推出∠BAD=∠CAE，得到等腰△ABD的顶角度数，最后结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ △ABC≌△ADE
∴ AB=AD，∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE
已知∠CAE=40°，
∴ ∠BAD=40°
又
∵ AB=AD，
∴ △ABD是等腰三角形，∠B=∠ADB
根据三角形内角和为180°，可得：
∠B = (180° - ∠BAD)÷2 = (180° - 40°)÷2 = 70°
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形的综合基础题，解题的关键是准确找到全等三角形的对应边和对应角，结合等腰三角形的性质计算角度，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形的性质可得到对应边相等、对应角相等：一是可得AB=AD，即△ABD为等腰三角形；二是可得∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠DAC即可推出∠BAD=∠CAE，得到等腰△ABD的顶角度数，最后结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理即可求出∠B的度数。
【解析】
∵ △ABC≌△ADE
∴ AB=AD，∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE
已知∠CAE=40°，
∴ ∠BAD=40°
又
∵ AB=AD，
∴ △ABD是等腰三角形，∠B=∠ADB
根据三角形内角和为180°，可得：
∠B = (180° - ∠BAD)÷2 = (180° - 40°)÷2 = 70°
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形的综合基础题，解题的关键是准确找到全等三角形的对应边和对应角，结合等腰三角形的性质计算角度，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图3,在$△ ABC$中,PM,QN分别是线段AB,AC的垂直平分线.若$∠ BAC=110°$,则$∠ PAQ$的度数是(
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$70°$
B
)A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$70°$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件中的垂直平分线入手，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得等腰三角形，利用等边对等角得到角的等量关系；再结合三角形内角和定理求出∠B与∠C的和，最后通过角的和差关系计算∠PAQ的度数即可。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 180° - 110° = 70°$
∵PM是线段AB的垂直平分线，点P在PM上
∴$PA = PB$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ PAB = ∠ B$
同理，QN是线段AC的垂直平分线，点Q在QN上
∴$QA = QC$，得$∠ QAC = ∠ C$
∴$∠ PAB + ∠ QAC = ∠ B + ∠ C = 70°$
∴$∠ PAQ = ∠ BAC - (∠ PAB + ∠ QAC) = 110° - 70° = 40°$
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类常考题型，核心是利用线段垂直平分线的性质实现角的等量转化，将待求角与已知角建立关联，解题时注意结合三角形内角和定理计算角的和差即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件中的垂直平分线入手，回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得等腰三角形，利用等边对等角得到角的等量关系；再结合三角形内角和定理求出∠B与∠C的和，最后通过角的和差关系计算∠PAQ的度数即可。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 180° - 110° = 70°$
∵PM是线段AB的垂直平分线，点P在PM上
∴$PA = PB$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ PAB = ∠ B$
同理，QN是线段AC的垂直平分线，点Q在QN上
∴$QA = QC$，得$∠ QAC = ∠ C$
∴$∠ PAB + ∠ QAC = ∠ B + ∠ C = 70°$
∴$∠ PAQ = ∠ BAC - (∠ PAB + ∠ QAC) = 110° - 70° = 40°$
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类常考题型，核心是利用线段垂直平分线的性质实现角的等量转化，将待求角与已知角建立关联，解题时注意结合三角形内角和定理计算角的和差即可。
【难度系数】
0.7
1. 如图4,在△ABC中,AB=AC,D是边BC的中点.连接AD,若∠ABC=50°,则∠BAD的度数为
图4
40°
。 图4答案
1. 40°
解析
【分析】
解题思路：首先根据AB=AC判定△ABC为等腰三角形，结合D是BC中点的条件，可运用等腰三角形“三线合一”的性质得到AD⊥BC，再结合已知的∠ABC的度数，利用三角形内角和的相关知识即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
∵D是BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，即∠ADB=90°。
在△ABD中，三角形内角和为180°，因此：
∠BAD=180°-∠ADB-∠ABC=180°-90°-50°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，结合三角形内角和规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先根据AB=AC判定△ABC为等腰三角形，结合D是BC中点的条件，可运用等腰三角形“三线合一”的性质得到AD⊥BC，再结合已知的∠ABC的度数，利用三角形内角和的相关知识即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
∵D是BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，即∠ADB=90°。
在△ABD中，三角形内角和为180°，因此：
∠BAD=180°-∠ADB-∠ABC=180°-90°-50°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，结合三角形内角和规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
