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1. 估计开方开不尽的数的算术平方根或立方根时，可借助
围。
平方
运算或立方
运算，通过夹逼的办法估计它们的值的大致围。答案
1.平方 立方
解析
【分析】
要估计开方开不尽的数的算术平方根或立方根，首先要明确开方和乘方是互逆运算。估算算术平方根时，我们需要找到两个数，使它们的平方分别小于和大于被开方数，就能确定算术平方根的范围；估算立方根时，同理需要找到两个数的立方分别小于和大于被开方数，确定立方根的范围，因此需要借助对应的乘方运算来实现夹逼估算。
【解析】
根据乘方和开方的互逆关系：
1. 对于算术平方根：若$x^2=a(a≥0)$，则$x=\sqrt{a}$，估算$\sqrt{a}$的范围时，只需找到整数$m、n$满足$m^2 ＜ a ＜ n^2$，即可得到$m＜\sqrt{a}＜n$，这一过程需要用到平方运算；
2. 对于立方根：若$x^3=a$，则$x=\sqrt[3]{a}$，估算$\sqrt[3]{a}$的范围时，只需找到整数$m、n$满足$m^3 ＜ a ＜ n^3$，即可得到$m＜\sqrt[3]{a}＜n$，这一过程需要用到立方运算。
因此两个空依次对应平方运算、立方运算。
【答案】
平方；立方
【知识点】
乘方开方互逆；无理数估算
【点评】
本题考查开方估算的基础方法，解题核心是理解乘方与开方的互逆关系，属于基础概念类题目，掌握相关运算关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要估计开方开不尽的数的算术平方根或立方根，首先要明确开方和乘方是互逆运算。估算算术平方根时，我们需要找到两个数，使它们的平方分别小于和大于被开方数，就能确定算术平方根的范围；估算立方根时，同理需要找到两个数的立方分别小于和大于被开方数，确定立方根的范围，因此需要借助对应的乘方运算来实现夹逼估算。
【解析】
根据乘方和开方的互逆关系：
1. 对于算术平方根：若$x^2=a(a≥0)$，则$x=\sqrt{a}$，估算$\sqrt{a}$的范围时，只需找到整数$m、n$满足$m^2 ＜ a ＜ n^2$，即可得到$m＜\sqrt{a}＜n$，这一过程需要用到平方运算；
2. 对于立方根：若$x^3=a$，则$x=\sqrt[3]{a}$，估算$\sqrt[3]{a}$的范围时，只需找到整数$m、n$满足$m^3 ＜ a ＜ n^3$，即可得到$m＜\sqrt[3]{a}＜n$，这一过程需要用到立方运算。
因此两个空依次对应平方运算、立方运算。
【答案】
平方；立方
【知识点】
乘方开方互逆；无理数估算
【点评】
本题考查开方估算的基础方法，解题核心是理解乘方与开方的互逆关系，属于基础概念类题目，掌握相关运算关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. (1)方根的比较:如果$a＞b＞0$,那么$\sqrt{a}$
(2)如果$a＞b$,那么$\sqrt[3]{a}$
＞
$\sqrt{b}$;(2)如果$a＞b$,那么$\sqrt[3]{a}$
＞
$\sqrt[3]{b}$。答案
2.(1)＞ (2)＞
解析
【分析】
解题思路：本题考查算术平方根和立方根的性质应用，思考步骤如下：
1. 第(1)问：观察是算术平方根比较，且被开方数a、b均为正数，回忆算术平方根的变化规律：当被开方数为非负数时，被开方数越大，对应的算术平方根越大，即可判断大小。
2. 第(2)问：观察是立方根比较，回忆立方根的变化规律：对于任意实数，被开方数越大，对应的立方根越大，该规律对正数、负数、0均适用，直接根据a＞b判断即可。
【解析】
(1) 已知$a＞b＞0$，根据算术平方根的性质：当两个正数比较大小时，较大正数的算术平方根也更大，可举例验证：如$a=4$，$b=1$，$4＞1＞0$，则$\sqrt{4}=2＞\sqrt{1}=1$，因此$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$。
(2) 已知$a＞b$，根据立方根的性质：任意实数的立方根大小与被开方数大小一致，可举例验证：如$a=8$，$b=1$，$8＞1$，则$\sqrt[3]{8}=2＞\sqrt[3]{1}=1$；再如$a=-1$，$b=-8$，$-1＞-8$，则$\sqrt[3]{-1}=-1＞\sqrt[3]{-8}=-2$，因此$\sqrt[3]{a}＞\sqrt[3]{b}$。
【答案】
(1)＞ (2)＞
【知识点】
算术平方根的性质；立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握算术平方根和立方根随被开方数变化的规律，注意算术平方根的规律仅适用于非负被开方数，而立方根的规律对所有实数都适用，解题时也可通过举具体数值代入验证，提高正确率。
【难度系数】
0.9
解题思路：本题考查算术平方根和立方根的性质应用，思考步骤如下：
1. 第(1)问：观察是算术平方根比较，且被开方数a、b均为正数，回忆算术平方根的变化规律：当被开方数为非负数时，被开方数越大，对应的算术平方根越大，即可判断大小。
2. 第(2)问：观察是立方根比较，回忆立方根的变化规律：对于任意实数，被开方数越大，对应的立方根越大，该规律对正数、负数、0均适用，直接根据a＞b判断即可。
【解析】
(1) 已知$a＞b＞0$，根据算术平方根的性质：当两个正数比较大小时，较大正数的算术平方根也更大，可举例验证：如$a=4$，$b=1$，$4＞1＞0$，则$\sqrt{4}=2＞\sqrt{1}=1$，因此$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$。
(2) 已知$a＞b$，根据立方根的性质：任意实数的立方根大小与被开方数大小一致，可举例验证：如$a=8$，$b=1$，$8＞1$，则$\sqrt[3]{8}=2＞\sqrt[3]{1}=1$；再如$a=-1$，$b=-8$，$-1＞-8$，则$\sqrt[3]{-1}=-1＞\sqrt[3]{-8}=-2$，因此$\sqrt[3]{a}＞\sqrt[3]{b}$。
【答案】
(1)＞ (2)＞
【知识点】
算术平方根的性质；立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握算术平方根和立方根随被开方数变化的规律，注意算术平方根的规律仅适用于非负被开方数，而立方根的规律对所有实数都适用，解题时也可通过举具体数值代入验证，提高正确率。
【难度系数】
0.9
1. 若$a＜\sqrt{7}＜b$，且$a$与$b$为两个连续的整数，则$a$与$b$的值分别是（
A.1,2
B.2,3
C.3,4
D.4,5
B
）。A.1,2
B.2,3
C.3,4
D.4,5
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，核心是先估算出$\sqrt{7}$的取值范围，再结合a、b是连续整数的条件确定a、b的值。我们可以通过比较被开方数7和相邻正整数的平方的大小，再根据算术平方根的大小比较规律，就能得到$\sqrt{7}$介于哪两个连续整数之间，进而对应得到a、b的取值。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，
且$4＜7＜9$，
根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，
即$2＜\sqrt{7}＜3$。
已知$a＜\sqrt{7}＜b$，且a、b为连续整数，因此$a=2$，$b=3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.无理数的估算 2.算术平方根的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握无理数大小的估算方法，只要找到被开方数介于哪两个连续正整数的平方之间，就能快速确定对应算术平方根的取值范围。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，核心是先估算出$\sqrt{7}$的取值范围，再结合a、b是连续整数的条件确定a、b的值。我们可以通过比较被开方数7和相邻正整数的平方的大小，再根据算术平方根的大小比较规律，就能得到$\sqrt{7}$介于哪两个连续整数之间，进而对应得到a、b的取值。
【解析】
先计算相邻正整数的平方：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，
且$4＜7＜9$，
根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，
即$2＜\sqrt{7}＜3$。
已知$a＜\sqrt{7}＜b$，且a、b为连续整数，因此$a=2$，$b=3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.无理数的估算 2.算术平方根的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握无理数大小的估算方法，只要找到被开方数介于哪两个连续正整数的平方之间，就能快速确定对应算术平方根的取值范围。
【难度系数】
0.9
2. 下列整数中，比$\sqrt{3}$大、比$\sqrt{7}$小的数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{7}$分别介于哪两个相邻整数之间，再结合选项找出符合要求的整数。核心思路是利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，通过对比完全平方数确定无理数的取值范围，再筛选符合条件的整数。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的取值范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，根据算术平方根的性质可得$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$。
2. 估算$\sqrt{7}$的取值范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，同理可得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$。
3. 筛选符合条件的整数：
所求整数需要满足“大于$\sqrt{3}$、小于$\sqrt{7}$”，即大于1点多、小于2点多，符合要求的整数只有2。
对比选项：A选项1小于$\sqrt{3}$，C选项3、D选项4均大于$\sqrt{7}$，均不符合要求，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对无理数取值范围的估算能力，解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质，借助相邻整数的平方快速确定无理数的大致范围。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，我们需要先估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{7}$分别介于哪两个相邻整数之间，再结合选项找出符合要求的整数。核心思路是利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，通过对比完全平方数确定无理数的取值范围，再筛选符合条件的整数。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的取值范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，根据算术平方根的性质可得$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$。
2. 估算$\sqrt{7}$的取值范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，同理可得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$。
3. 筛选符合条件的整数：
所求整数需要满足“大于$\sqrt{3}$、小于$\sqrt{7}$”，即大于1点多、小于2点多，符合要求的整数只有2。
对比选项：A选项1小于$\sqrt{3}$，C选项3、D选项4均大于$\sqrt{7}$，均不符合要求，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对无理数取值范围的估算能力，解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质，借助相邻整数的平方快速确定无理数的大致范围。
【难度系数】
0.9
3. 如图,数轴上的点P表示的数可能是（
A.$\sqrt{5}$
B.$-\sqrt{5}$
C.$-3.8$
D.$-\sqrt{10}$
B
）。A.$\sqrt{5}$
B.$-\sqrt{5}$
C.$-3.8$
D.$-\sqrt{10}$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定点P所在的数值范围：$-3 ＜ P ＜ -2$，解题思路如下：第一步先排除明显不符合范围的选项，正数和小于-3的数直接排除；第二步对剩余的含无理数的选项进行估算，判断其值是否落在-3到-2之间，即可选出正确答案。
【解析】
解：由数轴可得点P表示的数满足：$-3 ＜ P ＜ -2$。
对各选项逐一分析：
A. $\sqrt{5}\approx2.236$，是正数，不在$-3∼-2$范围内，排除；
B. $\sqrt{5}\approx2.236$，因此$-\sqrt{5}\approx-2.236$，满足$-3 ＜ -2.236 ＜ -2$，符合要求；
C. $-3.8 ＜ -3$，不在$-3∼-2$范围内，排除；
D. $\sqrt{10}\approx3.16$，因此$-\sqrt{10}\approx-3.16 ＜ -3$，不在$-3∼-2$范围内，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题是基础类考题，解题核心是先确定目标数的取值范围，再通过估算、排除法快速筛选出正确选项，能有效考查学生对无理数大小的掌握程度和数轴的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴确定点P所在的数值范围：$-3 ＜ P ＜ -2$，解题思路如下：第一步先排除明显不符合范围的选项，正数和小于-3的数直接排除；第二步对剩余的含无理数的选项进行估算，判断其值是否落在-3到-2之间，即可选出正确答案。
【解析】
解：由数轴可得点P表示的数满足：$-3 ＜ P ＜ -2$。
对各选项逐一分析：
A. $\sqrt{5}\approx2.236$，是正数，不在$-3∼-2$范围内，排除；
B. $\sqrt{5}\approx2.236$，因此$-\sqrt{5}\approx-2.236$，满足$-3 ＜ -2.236 ＜ -2$，符合要求；
C. $-3.8 ＜ -3$，不在$-3∼-2$范围内，排除；
D. $\sqrt{10}\approx3.16$，因此$-\sqrt{10}\approx-3.16 ＜ -3$，不在$-3∼-2$范围内，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题是基础类考题，解题核心是先确定目标数的取值范围，再通过估算、排除法快速筛选出正确选项，能有效考查学生对无理数大小的掌握程度和数轴的应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 估计$\sqrt{73}$的大小应在（
A.8.5～8.6
B.8.6～8.7
C.8.7～8.8
D.8.4～8.5
A
）。A.8.5～8.6
B.8.6～8.7
C.8.7～8.8
D.8.4～8.5
答案
4.A
解析
【分析】
要估算$\sqrt{73}$的大小，我们可以用平方法：对于正数$a$、$b$，若$a^2 ＜ c ＜ b^2$，则$\sqrt{c}$的大小就在$a$和$b$之间。首先已知$\sqrt{73}$的整数部分是8，接下来只需计算相邻一位小数的平方，找到分别小于、大于73的两个平方数对应的底数，就能确定$\sqrt{73}$的范围。
【解析】
我们通过计算相邻小数的平方来推导范围：
1. 计算$8.5$的平方：$8.5^2=8.5×8.5=72.25$
2. 计算$8.6$的平方：$8.6^2=8.6×8.6=73.96$
因为$72.25＜73＜73.96$，根据算术平方根的性质，正数越大对应的算术平方根也越大，可得$\sqrt{72.25}＜\sqrt{73}＜\sqrt{73.96}$，即$8.5＜\sqrt{73}＜8.6$，因此$\sqrt{73}$的大小在8.5～8.6之间。
【答案】
A
【知识点】
无理数大小估算、平方运算、算术平方根性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查算术平方根的估算方法，平方法是估算算术平方根范围的常用技巧，熟练掌握平方运算就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要估算$\sqrt{73}$的大小，我们可以用平方法：对于正数$a$、$b$，若$a^2 ＜ c ＜ b^2$，则$\sqrt{c}$的大小就在$a$和$b$之间。首先已知$\sqrt{73}$的整数部分是8，接下来只需计算相邻一位小数的平方，找到分别小于、大于73的两个平方数对应的底数，就能确定$\sqrt{73}$的范围。
【解析】
我们通过计算相邻小数的平方来推导范围：
1. 计算$8.5$的平方：$8.5^2=8.5×8.5=72.25$
2. 计算$8.6$的平方：$8.6^2=8.6×8.6=73.96$
因为$72.25＜73＜73.96$，根据算术平方根的性质，正数越大对应的算术平方根也越大，可得$\sqrt{72.25}＜\sqrt{73}＜\sqrt{73.96}$，即$8.5＜\sqrt{73}＜8.6$，因此$\sqrt{73}$的大小在8.5～8.6之间。
【答案】
A
【知识点】
无理数大小估算、平方运算、算术平方根性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查算术平方根的估算方法，平方法是估算算术平方根范围的常用技巧，熟练掌握平方运算就能快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 满足$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$的整数$x$的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.D
解析
【分析】
要找出满足不等式$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$的整数x，首先需要估算出无理数$-\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的大致取值范围，再根据取值范围枚举所有符合条件的整数，最后统计个数即可。
【解析】
第一步，估算无理数的大小：
根据已学的平方根近似值可知，$\sqrt{3}\approx1.732$，因此$-\sqrt{3}\approx-1.732$；
同时$\sqrt{5}\approx2.236$。
第二步，转化不等式并找出整数解：
原不等式可转化为$-1.732 ＜ x ＜ 2.236$，
其中满足条件的整数x为：-1、0、1、2，共4个。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
无理数大小估算；不等式整数解
【点评】
本题的解题关键是准确估算出两个带根号无理数的取值范围，再枚举得到符合要求的整数，解题时需注意不要遗漏负整数，也不要错算超出范围的整数，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要找出满足不等式$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$的整数x，首先需要估算出无理数$-\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的大致取值范围，再根据取值范围枚举所有符合条件的整数，最后统计个数即可。
【解析】
第一步，估算无理数的大小：
根据已学的平方根近似值可知，$\sqrt{3}\approx1.732$，因此$-\sqrt{3}\approx-1.732$；
同时$\sqrt{5}\approx2.236$。
第二步，转化不等式并找出整数解：
原不等式可转化为$-1.732 ＜ x ＜ 2.236$，
其中满足条件的整数x为：-1、0、1、2，共4个。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
无理数大小估算；不等式整数解
【点评】
本题的解题关键是准确估算出两个带根号无理数的取值范围，再枚举得到符合要求的整数，解题时需注意不要遗漏负整数，也不要错算超出范围的整数，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6. 与$\sqrt[3]{900}$最接近的整数是
10
。答案
6.10
解析
【分析】要找到与$\sqrt[3]{900}$最接近的整数，可利用立方和开立方互为逆运算的思路：首先确定900位于哪两个连续整数的立方之间，再分别计算900与这两个立方数的差值，差值更小的对应整数就是所求的最接近的整数。
【解析】
步骤1：计算相邻整数的立方：
$9^3=9×9×9=729$
$10^3=10×10×10=1000$
可知$9^3＜900＜10^3$，即$\sqrt[3]{900}$介于9和10之间。
步骤2：计算900与两个立方数的差值：
$900-729=171$
$1000-900=100$
因为$100＜171$，说明900更接近1000，因此$\sqrt[3]{900}$更接近10。
【答案】10
【知识点】立方根估算、立方运算、互逆运算
【点评】本题是基础的无理数估算题型，核心考查对立方与开立方互逆关系的掌握，通过计算相邻整数的立方、比较差值即可快速解题。
【难度系数】0.8
【解析】
步骤1：计算相邻整数的立方：
$9^3=9×9×9=729$
$10^3=10×10×10=1000$
可知$9^3＜900＜10^3$，即$\sqrt[3]{900}$介于9和10之间。
步骤2：计算900与两个立方数的差值：
$900-729=171$
$1000-900=100$
因为$100＜171$，说明900更接近1000，因此$\sqrt[3]{900}$更接近10。
【答案】10
【知识点】立方根估算、立方运算、互逆运算
【点评】本题是基础的无理数估算题型，核心考查对立方与开立方互逆关系的掌握，通过计算相邻整数的立方、比较差值即可快速解题。
【难度系数】0.8
7. 已知$a,b$为两个连续的整数，且$a＜\sqrt{34}＜b$，则$a+b=$
11
。答案
7.11
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先确定无理数$\sqrt{34}$介于哪两个连续整数之间。核心思路是找到和34相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根也越大），就能确定a、b的值，最后计算a+b的结果。
【解析】
解：先计算相邻整数的平方：
$5^2=25$，$6^2=36$
因为$25＜34＜36$，根据算术平方根的大小比较规律，可得：
$\sqrt{25}＜\sqrt{34}＜\sqrt{36}$
即$5＜\sqrt{34}＜6$
已知a、b是连续整数，且$a＜\sqrt{34}＜b$，因此$a=5$，$b=6$
所以$a+b=5+6=11$
【答案】
11
【知识点】
无理数的估算；完全平方数；算术平方根的性质
【点评】
本题属于无理数估算的基础题型，解题的关键是熟练掌握常见整数的平方值，借助算术平方根的单调性确定无理数的取值范围，是对平方根相关基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.85
要解决这个问题，我们需要先确定无理数$\sqrt{34}$介于哪两个连续整数之间。核心思路是找到和34相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根也越大），就能确定a、b的值，最后计算a+b的结果。
【解析】
解：先计算相邻整数的平方：
$5^2=25$，$6^2=36$
因为$25＜34＜36$，根据算术平方根的大小比较规律，可得：
$\sqrt{25}＜\sqrt{34}＜\sqrt{36}$
即$5＜\sqrt{34}＜6$
已知a、b是连续整数，且$a＜\sqrt{34}＜b$，因此$a=5$，$b=6$
所以$a+b=5+6=11$
【答案】
11
【知识点】
无理数的估算；完全平方数；算术平方根的性质
【点评】
本题属于无理数估算的基础题型，解题的关键是熟练掌握常见整数的平方值，借助算术平方根的单调性确定无理数的取值范围，是对平方根相关基础概念的应用考查。
【难度系数】
0.85
8. 比较大小：2
＞
$\sqrt{5} - 1$。（填“＞”“＜”或“=”）答案
8.＞
解析
【分析】
要比较2与$\sqrt{5}-1$的大小，核心是先确定无理数$\sqrt{5}$的取值范围。我们可以利用平方和开平方的互逆关系，找到与5相邻的两个完全平方数，进而估算出$\sqrt{5}$的范围，再根据不等式的性质推导$\sqrt{5}-1$的范围，最终和2比较得出结果。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{5}$的取值范围
因为$4＜5＜9$，对三个数同时开平方可得：$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
第二步：推导$\sqrt{5}-1$的取值范围
对不等式$2＜\sqrt{5}＜3$的三边同时减1，可得：$2-1＜\sqrt{5}-1＜3-1$，即$1＜\sqrt{5}-1＜2$。
第三步：比较大小
由$1＜\sqrt{5}-1＜2$可知，$\sqrt{5}-1$的取值小于2，因此$2＞\sqrt{5}-1$。
【答案】
＞
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较
【点评】
本题考查无理数估算和实数大小比较的应用，解题的关键是准确估算出带根号的无理数的取值范围，是实数比较大小类的基础题型。
【难度系数】
0.9
要比较2与$\sqrt{5}-1$的大小，核心是先确定无理数$\sqrt{5}$的取值范围。我们可以利用平方和开平方的互逆关系，找到与5相邻的两个完全平方数，进而估算出$\sqrt{5}$的范围，再根据不等式的性质推导$\sqrt{5}-1$的范围，最终和2比较得出结果。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{5}$的取值范围
因为$4＜5＜9$，对三个数同时开平方可得：$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
第二步：推导$\sqrt{5}-1$的取值范围
对不等式$2＜\sqrt{5}＜3$的三边同时减1，可得：$2-1＜\sqrt{5}-1＜3-1$，即$1＜\sqrt{5}-1＜2$。
第三步：比较大小
由$1＜\sqrt{5}-1＜2$可知，$\sqrt{5}-1$的取值小于2，因此$2＞\sqrt{5}-1$。
【答案】
＞
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较
【点评】
本题考查无理数估算和实数大小比较的应用，解题的关键是准确估算出带根号的无理数的取值范围，是实数比较大小类的基础题型。
【难度系数】
0.9
9. 估计$\sqrt{30} -2$的值在（
A.1与2之间
B.2与3之间
C.3与4之间
D.4与5之间
C
）。A.1与2之间
B.2与3之间
C.3与4之间
D.4与5之间
答案
9.C
解析
【分析】
要确定$\sqrt{30}-2$的取值范围，首先需要先估算出$\sqrt{30}$的范围。我们可以先找到与30相邻的两个能开得尽方的正整数，也就是找两个连续的正整数，它们的平方分别小于30和大于30，确定$\sqrt{30}$的范围后，再根据不等式的性质，给这个范围的各部分同时减去2，就能得到$\sqrt{30}-2$的取值范围，进而对应选项得到答案。
【解析】
第一步：确定$\sqrt{30}$的范围
因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜30＜36$，
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，
即$5＜\sqrt{30}＜6$。
第二步：求$\sqrt{30}-2$的范围
给上述不等式的三边同时减去2，不等号方向不变，
可得$5-2＜\sqrt{30}-2＜6-2$，
计算得$3＜\sqrt{30}-2＜4$，
因此$\sqrt{30}-2$的值在3与4之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数大小估算、不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算类的基础题型，解题核心是先锁定被开方数相邻的两个完全平方数，再通过不等式的变形得到目标式子的取值范围，熟练掌握常见完全平方数是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
要确定$\sqrt{30}-2$的取值范围，首先需要先估算出$\sqrt{30}$的范围。我们可以先找到与30相邻的两个能开得尽方的正整数，也就是找两个连续的正整数，它们的平方分别小于30和大于30，确定$\sqrt{30}$的范围后，再根据不等式的性质，给这个范围的各部分同时减去2，就能得到$\sqrt{30}-2$的取值范围，进而对应选项得到答案。
【解析】
第一步：确定$\sqrt{30}$的范围
因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜30＜36$，
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，
即$5＜\sqrt{30}＜6$。
第二步：求$\sqrt{30}-2$的范围
给上述不等式的三边同时减去2，不等号方向不变，
可得$5-2＜\sqrt{30}-2＜6-2$，
计算得$3＜\sqrt{30}-2＜4$，
因此$\sqrt{30}-2$的值在3与4之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数大小估算、不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算类的基础题型，解题核心是先锁定被开方数相邻的两个完全平方数，再通过不等式的变形得到目标式子的取值范围，熟练掌握常见完全平方数是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
10. 比较$\sqrt{3} - 1$与$\frac{\sqrt{3}}{2}$的大小，结果是（
A.前者大
B.后者大
C.一样大
D.无法确定
B
）。A.前者大
B.后者大
C.一样大
D.无法确定
答案
10.B
解析
【分析】
要比较两个实数的大小，可采用常用的作差法：若两个数的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差等于0，则两数相等。我们先计算两个数的差，再通过平方法判断差的正负，就能得出大小关系，这种方法不需要估算近似值，准确性更高，也符合当前学段的知识要求。
【解析】
解：使用作差法比较两个数的大小：
1. 计算两数的差值：
$(\sqrt{3} - 1) - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$
2. 判断$\frac{\sqrt{3}}{2}$和1的大小：
$\frac{\sqrt{3}}{2}$和1均为正数，分别对两个数平方可得：
$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$，$1^2=1$
因为$\frac{3}{4} ＜ 1$，正数平方越大原数越大，所以$\frac{\sqrt{3}}{2} ＜ 1$
3. 推导差值的正负：
由$\frac{\sqrt{3}}{2} ＜ 1$可得$\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 ＜ 0$，即$(\sqrt{3} -1) - \frac{\sqrt{3}}{2} ＜ 0$
因此$\sqrt{3} -1 ＜ \frac{\sqrt{3}}{2}$，后者更大。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较；平方根的运算
【点评】
本题考查实数大小的比较方法，作差法是比较实数大小的基础常用方法，结合平方法判断无理数的范围可以快速得出结论，是实数板块的基础典型题。
【难度系数】
0.8
要比较两个实数的大小，可采用常用的作差法：若两个数的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大；若差等于0，则两数相等。我们先计算两个数的差，再通过平方法判断差的正负，就能得出大小关系，这种方法不需要估算近似值，准确性更高，也符合当前学段的知识要求。
【解析】
解：使用作差法比较两个数的大小：
1. 计算两数的差值：
$(\sqrt{3} - 1) - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$
2. 判断$\frac{\sqrt{3}}{2}$和1的大小：
$\frac{\sqrt{3}}{2}$和1均为正数，分别对两个数平方可得：
$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}$，$1^2=1$
因为$\frac{3}{4} ＜ 1$，正数平方越大原数越大，所以$\frac{\sqrt{3}}{2} ＜ 1$
3. 推导差值的正负：
由$\frac{\sqrt{3}}{2} ＜ 1$可得$\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 ＜ 0$，即$(\sqrt{3} -1) - \frac{\sqrt{3}}{2} ＜ 0$
因此$\sqrt{3} -1 ＜ \frac{\sqrt{3}}{2}$，后者更大。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较；平方根的运算
【点评】
本题考查实数大小的比较方法，作差法是比较实数大小的基础常用方法，结合平方法判断无理数的范围可以快速得出结论，是实数板块的基础典型题。
【难度系数】
0.8
11. 在实数 $0,-\sqrt{5},-π,\sqrt{2}$ 中，最小的数是
$-π$
。答案
11.$-π$
解析
【分析】
要找出这四个实数中最小的数，需遵循实数大小比较的基本规则：正数＞0＞负数，因此最小的数一定在负数中；再根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的数反而小，只需比较两个负数的绝对值大小即可得出结论。
【解析】
解：先对四个数进行分类：
① 正数：$\sqrt{2}＞0$；
② 0既不是正数也不是负数；
③ 负数：$-\sqrt{5}$、$-π$，均小于0，因此最小的数在这两个负数中。
计算两个负数的绝对值：
$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}\approx2.236$，$|-π|=π\approx3.14$
因为$3.14＞2.236$，即$|-π|＞|-\sqrt{5}|$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-π＜-\sqrt{5}$。
将四个数从小到大排序为：$-π＜-\sqrt{5}＜0＜\sqrt{2}$，因此最小的数是$-π$。
【答案】
$-π$
【知识点】
实数大小比较；负数比较大小规则；无理数估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题，解题的关键是先通过正负性缩小范围，再利用负数比较大小的规则结合常见无理数的近似值判断大小，牢记相关比较规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要找出这四个实数中最小的数，需遵循实数大小比较的基本规则：正数＞0＞负数，因此最小的数一定在负数中；再根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的数反而小，只需比较两个负数的绝对值大小即可得出结论。
【解析】
解：先对四个数进行分类：
① 正数：$\sqrt{2}＞0$；
② 0既不是正数也不是负数；
③ 负数：$-\sqrt{5}$、$-π$，均小于0，因此最小的数在这两个负数中。
计算两个负数的绝对值：
$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}\approx2.236$，$|-π|=π\approx3.14$
因为$3.14＞2.236$，即$|-π|＞|-\sqrt{5}|$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得$-π＜-\sqrt{5}$。
将四个数从小到大排序为：$-π＜-\sqrt{5}＜0＜\sqrt{2}$，因此最小的数是$-π$。
【答案】
$-π$
【知识点】
实数大小比较；负数比较大小规则；无理数估算
【点评】
本题是实数比较大小的基础题，解题的关键是先通过正负性缩小范围，再利用负数比较大小的规则结合常见无理数的近似值判断大小，牢记相关比较规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 若$\sqrt{19}$的整数部分是$a$，小数部分是$b$，则$a^2 + b - \sqrt{19} =$
12
。答案
12.12
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要确定无理数$\sqrt{19}$的取值范围：先找到与19相邻的两个完全平方数，就能判断$\sqrt{19}$介于哪两个连续整数之间，由此得到它的整数部分$a$；再根据“小数部分=无理数本身-整数部分”得到$b$的表达式，最后将$a$、$b$代入所求代数式化简计算即可。
【解析】
1. 确定$\sqrt{19}$的范围：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜19＜25$，根据平方根的性质可得$4＜\sqrt{19}＜5$。
2. 求$a$、$b$的值：
$\sqrt{19}$的整数部分$a=4$，小数部分$b=\sqrt{19}-a=\sqrt{19}-4$。
3. 代入代数式计算：
将$a=4$，$b=\sqrt{19}-4$代入$a^2 + b - \sqrt{19}$得：
$\begin{aligned}原式&=4^2 + (\sqrt{19}-4) - \sqrt{19}\\&=16 + \sqrt{19} - 4 - \sqrt{19}\\&=(16-4) + (\sqrt{19}-\sqrt{19})\\&=12\end{aligned}$
【答案】
12
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 代数式求值
【点评】
本题是平方根章节的常考基础题型，核心考查用夹逼法估算无理数的范围，以及无理数小数部分的表示方法，代入计算时无理数项可相互抵消，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要确定无理数$\sqrt{19}$的取值范围：先找到与19相邻的两个完全平方数，就能判断$\sqrt{19}$介于哪两个连续整数之间，由此得到它的整数部分$a$；再根据“小数部分=无理数本身-整数部分”得到$b$的表达式，最后将$a$、$b$代入所求代数式化简计算即可。
【解析】
1. 确定$\sqrt{19}$的范围：
因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜19＜25$，根据平方根的性质可得$4＜\sqrt{19}＜5$。
2. 求$a$、$b$的值：
$\sqrt{19}$的整数部分$a=4$，小数部分$b=\sqrt{19}-a=\sqrt{19}-4$。
3. 代入代数式计算：
将$a=4$，$b=\sqrt{19}-4$代入$a^2 + b - \sqrt{19}$得：
$\begin{aligned}原式&=4^2 + (\sqrt{19}-4) - \sqrt{19}\\&=16 + \sqrt{19} - 4 - \sqrt{19}\\&=(16-4) + (\sqrt{19}-\sqrt{19})\\&=12\end{aligned}$
【答案】
12
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 代数式求值
【点评】
本题是平方根章节的常考基础题型，核心考查用夹逼法估算无理数的范围，以及无理数小数部分的表示方法，代入计算时无理数项可相互抵消，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
13. 通过估算，比较下面各组数的大小：
(1)$\sqrt{3}$
(2)$\frac{\sqrt{10}+2}{3}$
(1)$\sqrt{3}$
＞
1.7；(2)$\frac{\sqrt{10}+2}{3}$
＞
$\frac{5}{3}$。答案
13.(1)＞ (2)＞
解析
【分析】
比较带根号的无理数和有理数的大小，可利用平方法：对于两个正数，平方越大，原数越大。(1)要比较$\sqrt{3}$和1.7的大小，可分别计算两者的平方，通过比较平方的大小推导原数的大小；(2)两个分数分母相同，只需比较分子的大小，将分子中的常数项移项后，再用平方法比较$\sqrt{10}$和3的大小，即可得到两个分数的大小关系。
【解析】
(1) 先计算1.7的平方：$1.7^2 = 2.89$，
因为$3 ＞ 2.89$，所以$\sqrt{3} ＞ \sqrt{2.89}$，即$\sqrt{3} ＞ 1.7$。
(2) 两个分数分母均为3（正数），分母相同时，分子越大分数越大，因此只需比较$\sqrt{10}+2$和5的大小：
移项得，只需比较$\sqrt{10}$和$5-2=3$的大小，
计算$3^2=9$，因为$10 ＞ 9$，所以$\sqrt{10} ＞ \sqrt{9}=3$，
因此$\sqrt{10}+2 ＞ 3+2=5$，所以$\frac{\sqrt{10}+2}{3} ＞ \frac{5}{3}$。
【答案】
(1)＞；(2)＞
【知识点】
实数大小比较、平方根估算、不等式基本性质
【点评】
本题考查无理数的估算和实数大小比较的常用方法，平方法是比较带正根号的数大小的常用技巧，掌握该方法可快速解决这类基础比较题。
【难度系数】
0.85
比较带根号的无理数和有理数的大小，可利用平方法：对于两个正数，平方越大，原数越大。(1)要比较$\sqrt{3}$和1.7的大小，可分别计算两者的平方，通过比较平方的大小推导原数的大小；(2)两个分数分母相同，只需比较分子的大小，将分子中的常数项移项后，再用平方法比较$\sqrt{10}$和3的大小，即可得到两个分数的大小关系。
【解析】
(1) 先计算1.7的平方：$1.7^2 = 2.89$，
因为$3 ＞ 2.89$，所以$\sqrt{3} ＞ \sqrt{2.89}$，即$\sqrt{3} ＞ 1.7$。
(2) 两个分数分母均为3（正数），分母相同时，分子越大分数越大，因此只需比较$\sqrt{10}+2$和5的大小：
移项得，只需比较$\sqrt{10}$和$5-2=3$的大小，
计算$3^2=9$，因为$10 ＞ 9$，所以$\sqrt{10} ＞ \sqrt{9}=3$，
因此$\sqrt{10}+2 ＞ 3+2=5$，所以$\frac{\sqrt{10}+2}{3} ＞ \frac{5}{3}$。
【答案】
(1)＞；(2)＞
【知识点】
实数大小比较、平方根估算、不等式基本性质
【点评】
本题考查无理数的估算和实数大小比较的常用方法，平方法是比较带正根号的数大小的常用技巧，掌握该方法可快速解决这类基础比较题。
【难度系数】
0.85
14. 如图,一根旗杆AC高10 m,旗杆顶部A与地面一固定点B之间要拉一根笔直的铁丝(不计损耗),已知固定点B到旗杆底部C的距离是7 m,一工人准备了长为12.5 m的铁丝,你认为这根铁丝够用吗?说明理由。
答案
14.解:够用。理由如下：
在 Rt△ABC 中, $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 7^2} = \sqrt{149}(\mathrm{m})$,而 $\sqrt{149}＜12.5$,因此这根铁丝够用。
在 Rt△ABC 中, $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 7^2} = \sqrt{149}(\mathrm{m})$,而 $\sqrt{149}＜12.5$,因此这根铁丝够用。
解析
【分析】
首先明确旗杆垂直于地面，因此△ABC是直角三角形，∠C为直角。要判断铁丝是否够用，需先求出固定点B到旗杆顶部A的最短距离即斜边AB的长度，再将AB的长度与准备的铁丝长度比较即可。已知两条直角边AC=10m、BC=7m，可利用勾股定理计算AB的长度，再进行大小比较得出结论。
【解析】
解：这根铁丝够用，理由如下：
由题意得，$∠ C=90°$，$△ ABC$为直角三角形，其中$AC=10\mathrm{m}$，$BC=7\mathrm{m}$。
根据勾股定理：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 7^2} = \sqrt{100 + 49} = \sqrt{149}(\mathrm{m})$
又因为$12.5^2=156.25$，可得$\sqrt{149}＜\sqrt{156.25}=12.5$，即$AB＜12.5\mathrm{m}$，因此这根铁丝够用。
【答案】
够用，理由：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 7^2} = \sqrt{149}(\mathrm{m})$，而$\sqrt{149}＜12.5$，因此这根铁丝够用。
【知识点】
勾股定理；实数大小比较
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，再通过算术平方根的大小比较得出结论，侧重考查基础知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
首先明确旗杆垂直于地面，因此△ABC是直角三角形，∠C为直角。要判断铁丝是否够用，需先求出固定点B到旗杆顶部A的最短距离即斜边AB的长度，再将AB的长度与准备的铁丝长度比较即可。已知两条直角边AC=10m、BC=7m，可利用勾股定理计算AB的长度，再进行大小比较得出结论。
【解析】
解：这根铁丝够用，理由如下：
由题意得，$∠ C=90°$，$△ ABC$为直角三角形，其中$AC=10\mathrm{m}$，$BC=7\mathrm{m}$。
根据勾股定理：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 7^2} = \sqrt{100 + 49} = \sqrt{149}(\mathrm{m})$
又因为$12.5^2=156.25$，可得$\sqrt{149}＜\sqrt{156.25}=12.5$，即$AB＜12.5\mathrm{m}$，因此这根铁丝够用。
【答案】
够用，理由：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 7^2} = \sqrt{149}(\mathrm{m})$，而$\sqrt{149}＜12.5$，因此这根铁丝够用。
【知识点】
勾股定理；实数大小比较
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，再通过算术平方根的大小比较得出结论，侧重考查基础知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
