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13. 求下列各式中$x$的值：
(1)$125x^3=8$；
(2)$(3x-2)^3=0.343$；
(3)$\sqrt[3]{x-2}=-2$。
(1)$125x^3=8$；
(2)$(3x-2)^3=0.343$；
(3)$\sqrt[3]{x-2}=-2$。
答案
13. (1)$x=\frac{2}{5}$ (2)$x=0.9$ (3)$x=-6$
解析
【分析】
这三道题均考查利用立方根的定义求解未知数，解题核心思路是：先将含未知数的三次项（或三次根号项）单独放在等式一侧，常数项放在另一侧，再根据“若$a^3=b$，则$a$是$b$的立方根”的性质，对等式两边同时开立方（或立方），将原式转化为一元一次方程，进而求解$x$的值，计算时注意立方根的符号与被开方数符号一致。
【解析】
(1) 对于$125x^3=8$，先将$x^3$的系数化为1：
两边同时除以125，得$x^3=\frac{8}{125}$，
对等式两边开立方，得$x=\sqrt[3]{\frac{8}{125}}=\frac{2}{5}$。
(2) 对于$(3x-2)^3=0.343$，直接对等式两边开立方：
得$3x-2=\sqrt[3]{0.343}=0.7$，
移项得$3x=2+0.7=2.7$，
系数化为1，得$x=2.7÷3=0.9$。
(3) 对于$\sqrt[3]{x-2}=-2$，根据立方根的定义，两边同时立方：
得$x-2=(-2)^3=-8$，
移项得$x=-8+2=-6$。
【答案】
(1)$x=\frac{2}{5}$；(2)$x=0.9$；(3)$x=-6$
【知识点】
立方根的定义，开立方运算，一元一次方程求解
【点评】
本题是立方根相关的基础练习题，重点考查对立方根性质的理解和应用，解题时需注意开立方运算的符号规律，移项时不要弄错符号，保证计算准确率即可得分。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查利用立方根的定义求解未知数，解题核心思路是：先将含未知数的三次项（或三次根号项）单独放在等式一侧，常数项放在另一侧，再根据“若$a^3=b$，则$a$是$b$的立方根”的性质，对等式两边同时开立方（或立方），将原式转化为一元一次方程，进而求解$x$的值，计算时注意立方根的符号与被开方数符号一致。
【解析】
(1) 对于$125x^3=8$，先将$x^3$的系数化为1：
两边同时除以125，得$x^3=\frac{8}{125}$，
对等式两边开立方，得$x=\sqrt[3]{\frac{8}{125}}=\frac{2}{5}$。
(2) 对于$(3x-2)^3=0.343$，直接对等式两边开立方：
得$3x-2=\sqrt[3]{0.343}=0.7$，
移项得$3x=2+0.7=2.7$，
系数化为1，得$x=2.7÷3=0.9$。
(3) 对于$\sqrt[3]{x-2}=-2$，根据立方根的定义，两边同时立方：
得$x-2=(-2)^3=-8$，
移项得$x=-8+2=-6$。
【答案】
(1)$x=\frac{2}{5}$；(2)$x=0.9$；(3)$x=-6$
【知识点】
立方根的定义，开立方运算，一元一次方程求解
【点评】
本题是立方根相关的基础练习题，重点考查对立方根性质的理解和应用，解题时需注意开立方运算的符号规律，移项时不要弄错符号，保证计算准确率即可得分。
【难度系数】
0.8
14.【数学应用】依照平方根(二次方根)和立方根(三次方根)的定义可给出四次方根、五次方根的定义:(1)如果$x^4=a$，那么x就叫作a的四次方根;(2)如果$x^5=a$，那么x就叫作a的五次方根。请依据以上两个定义，解决下列问题。
(1)81的四次方根是多少?
(2)-32的五次方根是多少?
(3)求下列各式中x的值:
①$x^4=16$;②$100000x^5=243$。
(1)81的四次方根是多少?
(2)-32的五次方根是多少?
(3)求下列各式中x的值:
①$x^4=16$;②$100000x^5=243$。
答案
14. 解:(1)因为$(\pm 3)^4=81$,
所以81的四次方根是$\pm 3$,即$\pm \sqrt[4]{81}=\pm 3$。
(2)因为$(-2)^5=-32$,
所以$-32$的五次方根是$-2$,即$\sqrt[5]{-32}=-2$。
(3)①$x=\pm \sqrt[4]{16}=\pm \sqrt[4]{2^4}=\pm 2$。
②原式变为$x^5=0.00243$,
所以$x=\sqrt[5]{0.00243}=\sqrt[5]{0.3^5}=0.3$。
所以81的四次方根是$\pm 3$,即$\pm \sqrt[4]{81}=\pm 3$。
(2)因为$(-2)^5=-32$,
所以$-32$的五次方根是$-2$,即$\sqrt[5]{-32}=-2$。
(3)①$x=\pm \sqrt[4]{16}=\pm \sqrt[4]{2^4}=\pm 2$。
②原式变为$x^5=0.00243$,
所以$x=\sqrt[5]{0.00243}=\sqrt[5]{0.3^5}=0.3$。
解析
【分析】
解题时可类比已学的平方根、立方根的性质来推导高次方根的结果：①偶次方根和平方根性质一致：正数有两个互为相反数的偶次方根，负数没有偶次方根；②奇次方根和立方根性质一致：正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数，仅1个结果。解题步骤为：先根据定义判断所求方根是奇次还是偶次，确定根的个数，再通过乘方和开方的互逆运算找到对应结果即可。
【解析】
(1) 因为$(\pm 3)^4=81$，根据四次方根的定义，81的四次方根是$\pm 3$，即$\pm \sqrt[4]{81}=\pm 3$。
(2) 因为$(-2)^5=-32$，根据五次方根的定义，$-32$的五次方根是$-2$，即$\sqrt[5]{-32}=-2$。
(3) ① 根据四次方根的定义，对$x^4=16$两边同时开四次方，得$x=\pm \sqrt[4]{16}=\pm \sqrt[4]{2^4}=\pm 2$。
② 先将原式变形：$100000x^5=243$，即$x^5=\frac{243}{100000}=0.00243$，根据五次方根的定义开五次方，得$x=\sqrt[5]{0.00243}=\sqrt[5]{0.3^5}=0.3$。
【答案】
(1) $\pm 3$；(2) $-2$；(3) ①$x=\pm 2$；②$x=0.3$
【知识点】
1. 高次方根的定义；2. 开方运算；3. 乘方与开方的互逆性
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是类比平方根、立方根的性质解决高次方根的相关问题，解题时需注意区分奇次和偶次方根的符号差异，偶次方根要考虑正负两种情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
解题时可类比已学的平方根、立方根的性质来推导高次方根的结果：①偶次方根和平方根性质一致：正数有两个互为相反数的偶次方根，负数没有偶次方根；②奇次方根和立方根性质一致：正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数，仅1个结果。解题步骤为：先根据定义判断所求方根是奇次还是偶次，确定根的个数，再通过乘方和开方的互逆运算找到对应结果即可。
【解析】
(1) 因为$(\pm 3)^4=81$，根据四次方根的定义，81的四次方根是$\pm 3$，即$\pm \sqrt[4]{81}=\pm 3$。
(2) 因为$(-2)^5=-32$，根据五次方根的定义，$-32$的五次方根是$-2$，即$\sqrt[5]{-32}=-2$。
(3) ① 根据四次方根的定义，对$x^4=16$两边同时开四次方，得$x=\pm \sqrt[4]{16}=\pm \sqrt[4]{2^4}=\pm 2$。
② 先将原式变形：$100000x^5=243$，即$x^5=\frac{243}{100000}=0.00243$，根据五次方根的定义开五次方，得$x=\sqrt[5]{0.00243}=\sqrt[5]{0.3^5}=0.3$。
【答案】
(1) $\pm 3$；(2) $-2$；(3) ①$x=\pm 2$；②$x=0.3$
【知识点】
1. 高次方根的定义；2. 开方运算；3. 乘方与开方的互逆性
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是类比平方根、立方根的性质解决高次方根的相关问题，解题时需注意区分奇次和偶次方根的符号差异，偶次方根要考虑正负两种情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
