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15.【数学应用】观察:因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{7}＜3$,
所以$\sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{7}-2$。
请你根据上述式子,解决下列问题:
(1)规定符号$[m]$表示实数$m$的整数部分,例如:$[\dfrac{4}{5}]=0,[π]=3$。
$[\sqrt{10}+2]=$
(2)如果$5+\sqrt{13}$的小数部分为$a$,$5-\sqrt{13}$的小数部分为$b$,求$a^2-b^2$的值。
所以$\sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{7}-2$。
请你根据上述式子,解决下列问题:
(1)规定符号$[m]$表示实数$m$的整数部分,例如:$[\dfrac{4}{5}]=0,[π]=3$。
$[\sqrt{10}+2]=$
5
;$[5-\sqrt{13}]=$1
;(2)如果$5+\sqrt{13}$的小数部分为$a$,$5-\sqrt{13}$的小数部分为$b$,求$a^2-b^2$的值。
答案
15.(1)5 1 (2)$2\sqrt{13}-7$
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先估算无理数的取值范围：先找到根号下的数介于哪两个相邻正整数的平方之间，即可得到这个无理数的整数范围，再根据整数部分的定义得到对应数的整数部分，小数部分等于原数减去整数部分。第二问计算$a^2-b^2$时，利用平方差公式因式分解可以简化计算步骤，避免复杂运算。
【解析】
(1) 先估算$\sqrt{10}$的范围：
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
$\therefore 3+2＜\sqrt{10}+2＜4+2$，即$5＜\sqrt{10}+2＜6$
$\therefore [\sqrt{10}+2]=5$
再估算$\sqrt{13}$的范围：
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$
$\therefore -4＜-\sqrt{13}＜-3$，不等式两边同时加5得：$1＜5-\sqrt{13}＜2$
$\therefore [5-\sqrt{13}]=1$
(2) 由$3＜\sqrt{13}＜4$可得：
$5+3＜5+\sqrt{13}＜5+4$，即$8＜5+\sqrt{13}＜9$
$\therefore 5+\sqrt{13}$的整数部分是8，小数部分$a=5+\sqrt{13}-8=\sqrt{13}-3$
又$\because 1＜5-\sqrt{13}＜2$
$\therefore 5-\sqrt{13}$的整数部分是1，小数部分$b=5-\sqrt{13}-1=4-\sqrt{13}$
利用平方差公式计算$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$：
先算$a+b=(\sqrt{13}-3)+(4-\sqrt{13})=1$
再算$a-b=(\sqrt{13}-3)-(4-\sqrt{13})=2\sqrt{13}-7$
$\therefore a^2-b^2=1×(2\sqrt{13}-7)=2\sqrt{13}-7$
【答案】
(1)5；1 (2)$2\sqrt{13}-7$
【知识点】
无理数的估算，实数的运算，平方差公式
【点评】
本题重点考查无理数大小的估算方法，解题的关键是先确定无理数的取值范围，进而得到对应实数的整数部分和小数部分，第二问巧用平方差公式可大幅简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是先估算无理数的取值范围：先找到根号下的数介于哪两个相邻正整数的平方之间，即可得到这个无理数的整数范围，再根据整数部分的定义得到对应数的整数部分，小数部分等于原数减去整数部分。第二问计算$a^2-b^2$时，利用平方差公式因式分解可以简化计算步骤，避免复杂运算。
【解析】
(1) 先估算$\sqrt{10}$的范围：
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
$\therefore 3+2＜\sqrt{10}+2＜4+2$，即$5＜\sqrt{10}+2＜6$
$\therefore [\sqrt{10}+2]=5$
再估算$\sqrt{13}$的范围：
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$
$\therefore -4＜-\sqrt{13}＜-3$，不等式两边同时加5得：$1＜5-\sqrt{13}＜2$
$\therefore [5-\sqrt{13}]=1$
(2) 由$3＜\sqrt{13}＜4$可得：
$5+3＜5+\sqrt{13}＜5+4$，即$8＜5+\sqrt{13}＜9$
$\therefore 5+\sqrt{13}$的整数部分是8，小数部分$a=5+\sqrt{13}-8=\sqrt{13}-3$
又$\because 1＜5-\sqrt{13}＜2$
$\therefore 5-\sqrt{13}$的整数部分是1，小数部分$b=5-\sqrt{13}-1=4-\sqrt{13}$
利用平方差公式计算$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$：
先算$a+b=(\sqrt{13}-3)+(4-\sqrt{13})=1$
再算$a-b=(\sqrt{13}-3)-(4-\sqrt{13})=2\sqrt{13}-7$
$\therefore a^2-b^2=1×(2\sqrt{13}-7)=2\sqrt{13}-7$
【答案】
(1)5；1 (2)$2\sqrt{13}-7$
【知识点】
无理数的估算，实数的运算，平方差公式
【点评】
本题重点考查无理数大小的估算方法，解题的关键是先确定无理数的取值范围，进而得到对应实数的整数部分和小数部分，第二问巧用平方差公式可大幅简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.7
16.【综合与实践】如图，在一张面积为30 cm²的大正方形卡纸上，剪去四个面积为2 cm²的小正方形（阴影部分），制作成一个无盖的长方体模型，请你尝试用计算器确定该长方体的底面边长a的大小。（精确到百分位）
答案
16.解:根据题意可得大正方形的边长为$\sqrt{30}$ cm,四个角上的小正方形的边长为$\sqrt{2}$ cm,所以 $a = \sqrt{30} - 2\sqrt{2} \approx 2.65(\mathrm{cm})$。
所以该长方体的底面边长约为 2.65 cm。
所以该长方体的底面边长约为 2.65 cm。
解析
【分析】
要确定长方体底面边长a的大小，可按以下思路推导：第一步，根据正方形面积与边长的关系，已知面积求边长需用到算术平方根，先分别算出大正方形和被剪去的小正方形的边长；第二步，观察图形可知，底面边长a等于大正方形的边长减去左右两个小正方形的边长，也就是减去2倍小正方形的边长；最后代入数值用计算器计算，结果按要求精确到百分位即可。
【解析】
解：
∵大正方形的面积为30 cm²，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，可得大正方形的边长为$\sqrt{30}$ cm。
∵每个阴影小正方形的面积为2 cm²，同理可得小正方形的边长为$\sqrt{2}$ cm。
观察图形的边长关系，长方体底面边长a = 大正方形边长 - 2×小正方形边长，即：
$a = \sqrt{30} - 2\sqrt{2}$
用计算器计算近似值：$\sqrt{30}\approx5.477$，$\sqrt{2}\approx1.414$，代入得：
$a\approx5.477 - 2×1.414 = 5.477 - 2.828 = 2.649\approx2.65$（cm）
【答案】
该长方体的底面边长约为2.65 cm
【知识点】
算术平方根应用；实数近似计算；正方形面积公式
【点评】
本题结合实际制作场景考查平方根的应用，解题核心是理清图形中各边长的数量关系，计算近似值时要注意精确度要求，避免进位错误。
【难度系数】
0.7
要确定长方体底面边长a的大小，可按以下思路推导：第一步，根据正方形面积与边长的关系，已知面积求边长需用到算术平方根，先分别算出大正方形和被剪去的小正方形的边长；第二步，观察图形可知，底面边长a等于大正方形的边长减去左右两个小正方形的边长，也就是减去2倍小正方形的边长；最后代入数值用计算器计算，结果按要求精确到百分位即可。
【解析】
解：
∵大正方形的面积为30 cm²，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，可得大正方形的边长为$\sqrt{30}$ cm。
∵每个阴影小正方形的面积为2 cm²，同理可得小正方形的边长为$\sqrt{2}$ cm。
观察图形的边长关系，长方体底面边长a = 大正方形边长 - 2×小正方形边长，即：
$a = \sqrt{30} - 2\sqrt{2}$
用计算器计算近似值：$\sqrt{30}\approx5.477$，$\sqrt{2}\approx1.414$，代入得：
$a\approx5.477 - 2×1.414 = 5.477 - 2.828 = 2.649\approx2.65$（cm）
【答案】
该长方体的底面边长约为2.65 cm
【知识点】
算术平方根应用；实数近似计算；正方形面积公式
【点评】
本题结合实际制作场景考查平方根的应用，解题核心是理清图形中各边长的数量关系，计算近似值时要注意精确度要求，避免进位错误。
【难度系数】
0.7
