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(1)$-36×(\dfrac{1}{12}-\dfrac{5}{9}-\dfrac{3}{4})+(-3)^2$。
(2)$25×\dfrac{3}{4}-(-25)×\dfrac{1}{2}+25×(-\dfrac{1}{4})$。
(3)$(-7\dfrac{1}{8})+(-3.37)+6\dfrac{1}{4}+2.125+(-0.25)+(-2.63)$。
(4)$(-2)^4÷(-2\dfrac{2}{3})^2+5\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{1}{6})-0.25$。
(5)$1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{999}$。
(2)$25×\dfrac{3}{4}-(-25)×\dfrac{1}{2}+25×(-\dfrac{1}{4})$。
(3)$(-7\dfrac{1}{8})+(-3.37)+6\dfrac{1}{4}+2.125+(-0.25)+(-2.63)$。
(4)$(-2)^4÷(-2\dfrac{2}{3})^2+5\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{1}{6})-0.25$。
(5)$1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{999}$。
答案
(1)53。
(2)25。
(3)$-5$。
(4)$\frac{13}{12}$
(5)$2^{1\ 000}-1$。
(2)25。
(3)$-5$。
(4)$\frac{13}{12}$
(5)$2^{1\ 000}-1$。
解析
【分析】
这5道题均为有理数运算类题目，解题核心是优先使用运算律简化计算，避免复杂通分或逐次硬算：
(1) 有公因数-36乘括号内分数，直接用乘法分配律展开，再计算乘方后合并即可；
(2) 三项都含公因数25，逆用乘法分配律提取25，先算括号内分数加减再相乘；
(3) 观察可发现有能凑整、同分母的数，用加法交换律和结合律分组凑整后计算；
(4) 遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，带分数先化假分数再运算；
(5) 属于等比数列求和，用错位相减法：设原式为S，两边乘公比2后两式相减即可快速得结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=-36×\frac{1}{12} + (-36)×(-\frac{5}{9}) + (-36)×(-\frac{3}{4}) + 9\\&=-3 + 20 + 27 + 9\\&=53\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=25×\frac{3}{4} + 25×\frac{1}{2} + 25×(-\frac{1}{4})\\&=25×(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4})\\&=25×1\\&=25\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式&=(-7\frac{1}{8}+2.125) + (-3.37-2.63) + (6\frac{1}{4}-0.25)\\&=(-7.125+2.125) + (-6) + (6.25-0.25)\\&=-5 -6 +6\\&=-5\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}原式&=16÷(\frac{64}{9}) + \frac{11}{2}×(-\frac{1}{6}) - \frac{1}{4}\\&=16×\frac{9}{64} - \frac{11}{12} - \frac{1}{4}\\&=\frac{9}{4} - \frac{1}{4} - \frac{11}{12}\\&=2 - \frac{11}{12}\\&=\frac{13}{12}\end{aligned}$
(5)
设$S=1+2+2^2+2^3+···+2^{999}$ ①
两边同乘2得：$2S=2+2^2+2^3+···+2^{1000}$ ②
用②-①得：$2S-S=2^{1000}-1$，即$S=2^{1000}-1$
【答案】
(1)$53$；(2)$25$；(3)$-5$；(4)$\frac{13}{12}$；(5)$2^{1000}-1$
【知识点】
有理数混合运算，运算律的简便应用，错位相减法求和
【点评】
本组题目侧重考查运算的灵活性，熟练运用乘法分配律、加法交换律和结合律可大幅降低计算量、减少出错率，最后一道规律求和题需要掌握错位相减的技巧，对运算能力和规律探究能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
这5道题均为有理数运算类题目，解题核心是优先使用运算律简化计算，避免复杂通分或逐次硬算：
(1) 有公因数-36乘括号内分数，直接用乘法分配律展开，再计算乘方后合并即可；
(2) 三项都含公因数25，逆用乘法分配律提取25，先算括号内分数加减再相乘；
(3) 观察可发现有能凑整、同分母的数，用加法交换律和结合律分组凑整后计算；
(4) 遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，带分数先化假分数再运算；
(5) 属于等比数列求和，用错位相减法：设原式为S，两边乘公比2后两式相减即可快速得结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=-36×\frac{1}{12} + (-36)×(-\frac{5}{9}) + (-36)×(-\frac{3}{4}) + 9\\&=-3 + 20 + 27 + 9\\&=53\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=25×\frac{3}{4} + 25×\frac{1}{2} + 25×(-\frac{1}{4})\\&=25×(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4})\\&=25×1\\&=25\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式&=(-7\frac{1}{8}+2.125) + (-3.37-2.63) + (6\frac{1}{4}-0.25)\\&=(-7.125+2.125) + (-6) + (6.25-0.25)\\&=-5 -6 +6\\&=-5\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}原式&=16÷(\frac{64}{9}) + \frac{11}{2}×(-\frac{1}{6}) - \frac{1}{4}\\&=16×\frac{9}{64} - \frac{11}{12} - \frac{1}{4}\\&=\frac{9}{4} - \frac{1}{4} - \frac{11}{12}\\&=2 - \frac{11}{12}\\&=\frac{13}{12}\end{aligned}$
(5)
设$S=1+2+2^2+2^3+···+2^{999}$ ①
两边同乘2得：$2S=2+2^2+2^3+···+2^{1000}$ ②
用②-①得：$2S-S=2^{1000}-1$，即$S=2^{1000}-1$
【答案】
(1)$53$；(2)$25$；(3)$-5$；(4)$\frac{13}{12}$；(5)$2^{1000}-1$
【知识点】
有理数混合运算，运算律的简便应用，错位相减法求和
【点评】
本组题目侧重考查运算的灵活性，熟练运用乘法分配律、加法交换律和结合律可大幅降低计算量、减少出错率，最后一道规律求和题需要掌握错位相减的技巧，对运算能力和规律探究能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
跟踪训练2-2 阅读下面的材料。
计算$\frac{1}{60}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$。
解法一:原式$=\frac{1}{60}÷\frac{1}{3}-\frac{1}{60}÷\frac{1}{4}+\frac{1}{60}÷\frac{1}{12}=\frac{1}{60}×3-\frac{1}{60}×4+\frac{1}{60}×12=\frac{11}{60}$。
解法二:原式$=\frac{1}{60}÷(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}+\frac{1}{12})=\frac{1}{60}÷\frac{1}{6}=\frac{1}{60}×6=\frac{1}{10}$。
解法三:原式的倒数为$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷\frac{1}{60}$，
其值$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})×60=\frac{1}{3}×60-\frac{1}{4}×60+\frac{1}{12}×60=20-15+5=10$，
所以原式$=\frac{1}{10}$。
上述解法的结果不同，肯定有错误的解法。你认为解法
在正确的解法中，你认为解法
较简捷。用你认为简便的方法计算：
$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$。
计算$\frac{1}{60}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})$。
解法一:原式$=\frac{1}{60}÷\frac{1}{3}-\frac{1}{60}÷\frac{1}{4}+\frac{1}{60}÷\frac{1}{12}=\frac{1}{60}×3-\frac{1}{60}×4+\frac{1}{60}×12=\frac{11}{60}$。
解法二:原式$=\frac{1}{60}÷(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}+\frac{1}{12})=\frac{1}{60}÷\frac{1}{6}=\frac{1}{60}×6=\frac{1}{10}$。
解法三:原式的倒数为$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})÷\frac{1}{60}$，
其值$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12})×60=\frac{1}{3}×60-\frac{1}{4}×60+\frac{1}{12}×60=20-15+5=10$，
所以原式$=\frac{1}{10}$。
上述解法的结果不同，肯定有错误的解法。你认为解法
一
是错误的。在正确的解法中，你认为解法
三
较简捷。用你认为简便的方法计算：
$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$。
答案
一 三 $-\frac{1}{14}$。
解析
【分析】
首先判断错误解法：除法运算没有分配律，不能将被除数分别除以括号内的每一项，因此解法一错误。对比两种正确解法，解法三通过先求原式的倒数，将除法转化为乘法，可直接运用乘法分配律计算，无需先通分计算括号内的和，运算更简捷。计算待求式子时，我们也采用倒数法，先求原式的倒数，算出倒数的值后再取倒数即可得到原式结果。
【解析】
1. 判断错误解法：解法一错误套用除法分配律，运算不符合有理数除法法则，因此解法一错误。
2. 简捷解法选择：解法三利用倒数将除法转化为乘法，借助乘法分配律简化运算，比解法二更简捷。
3. 计算$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$：
先求原式的倒数：
$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
运用乘法分配律展开：
$=\frac{1}{6}×(-42) - \frac{3}{14}×(-42) + \frac{2}{3}×(-42) - \frac{2}{7}×(-42)$
$=-7 + 9 - 28 + 12$
$=-14$
因此原式为$\frac{1}{-14}=-\frac{1}{14}$。
【答案】
一 三 $-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法运算，乘法分配律，倒数的应用
【点评】
本题需要明确除法没有分配律，避免错误套用运算律导致计算出错；当遇到除数是多个分数的和差形式时，利用倒数法将除法转化为乘法，再用乘法分配律计算，能有效简化运算步骤，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
首先判断错误解法：除法运算没有分配律，不能将被除数分别除以括号内的每一项，因此解法一错误。对比两种正确解法，解法三通过先求原式的倒数，将除法转化为乘法，可直接运用乘法分配律计算，无需先通分计算括号内的和，运算更简捷。计算待求式子时，我们也采用倒数法，先求原式的倒数，算出倒数的值后再取倒数即可得到原式结果。
【解析】
1. 判断错误解法：解法一错误套用除法分配律，运算不符合有理数除法法则，因此解法一错误。
2. 简捷解法选择：解法三利用倒数将除法转化为乘法，借助乘法分配律简化运算，比解法二更简捷。
3. 计算$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$：
先求原式的倒数：
$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
运用乘法分配律展开：
$=\frac{1}{6}×(-42) - \frac{3}{14}×(-42) + \frac{2}{3}×(-42) - \frac{2}{7}×(-42)$
$=-7 + 9 - 28 + 12$
$=-14$
因此原式为$\frac{1}{-14}=-\frac{1}{14}$。
【答案】
一 三 $-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法运算，乘法分配律，倒数的应用
【点评】
本题需要明确除法没有分配律，避免错误套用运算律导致计算出错；当遇到除数是多个分数的和差形式时，利用倒数法将除法转化为乘法，再用乘法分配律计算，能有效简化运算步骤，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
