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跟踪训练1-5 下图所示为一种数值转换机的运算程序。
（跟踪训练1-5）
(1)若第1次输入的数为2，则第1次输出的数为1，那么第2次输出的数为
(2)若第1次输入的数为12，求第5次输出的数及第2028次输出的数。
（跟踪训练1-5）
(1)若第1次输入的数为2，则第1次输出的数为1，那么第2次输出的数为
10
。(2)若第1次输入的数为12，求第5次输出的数及第2028次输出的数。
答案
(1)10
(2)第5次输出的数为3,第2028次输出的数为12。
(2)第5次输出的数为3,第2028次输出的数为12。
解析
【分析】
首先明确数值转换机的运算规则：输入的x为偶数时，输出$\frac{1}{2}x$；输入的x为奇数时，输出$x+9$，且每次输出的结果会作为下一次的输入。对于(1)，已知第1次输出为1，判断1是奇数，直接代入奇数的运算规则即可得第2次输出；对于(2)，先按规则依次计算前几次的输出结果，找到输出结果的循环周期，再根据周期规律计算第5次和第2028次的输出即可。
【解析】
(1) 第1次输出的数是1，1是奇数，根据规则，第2次输出的数为$1+9=10$。
(2) 第1次输入的数为12，依次计算每次输出：
第1次输出：12是偶数，$\frac{1}{2}×12=6$；
第2次输出：6是偶数，$\frac{1}{2}×6=3$；
第3次输出：3是奇数，$3+9=12$；
第4次输出：12是偶数，$\frac{1}{2}×12=6$；
第5次输出：6是偶数，$\frac{1}{2}×6=3$；
观察可得，输出结果按“6，3，12”3个为一组循环出现，周期为3。
计算$2028÷3=676$，没有余数，说明第2028次输出的数是周期中的最后一个数，即12。
【答案】
(1) 10
(2) 第5次输出的数为3，第2028次输出的数为12
【知识点】
代数式求值，有理数运算，规律探究
【点评】
本题结合运算流程图考查有理数的计算和数字规律的探索，解题的核心是先准确按照规则计算前几次结果，找到循环周期，再利用周期快速求解较大次数的输出，解题时需注意区分奇偶对应的运算规则，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
首先明确数值转换机的运算规则：输入的x为偶数时，输出$\frac{1}{2}x$；输入的x为奇数时，输出$x+9$，且每次输出的结果会作为下一次的输入。对于(1)，已知第1次输出为1，判断1是奇数，直接代入奇数的运算规则即可得第2次输出；对于(2)，先按规则依次计算前几次的输出结果，找到输出结果的循环周期，再根据周期规律计算第5次和第2028次的输出即可。
【解析】
(1) 第1次输出的数是1，1是奇数，根据规则，第2次输出的数为$1+9=10$。
(2) 第1次输入的数为12，依次计算每次输出：
第1次输出：12是偶数，$\frac{1}{2}×12=6$；
第2次输出：6是偶数，$\frac{1}{2}×6=3$；
第3次输出：3是奇数，$3+9=12$；
第4次输出：12是偶数，$\frac{1}{2}×12=6$；
第5次输出：6是偶数，$\frac{1}{2}×6=3$；
观察可得，输出结果按“6，3，12”3个为一组循环出现，周期为3。
计算$2028÷3=676$，没有余数，说明第2028次输出的数是周期中的最后一个数，即12。
【答案】
(1) 10
(2) 第5次输出的数为3，第2028次输出的数为12
【知识点】
代数式求值，有理数运算，规律探究
【点评】
本题结合运算流程图考查有理数的计算和数字规律的探索，解题的核心是先准确按照规则计算前几次结果，找到循环周期，再利用周期快速求解较大次数的输出，解题时需注意区分奇偶对应的运算规则，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
★例2 老师课上讲了两道利用运算律进行简便运算的题：
①$98×12=(100-2)×12=1200-24=1176$。
②$-16×233+17×233=(-16+17)×233=233$。
请你参考老师的讲解，用运算律简便计算(请写出具体的解题过程)：
(1)$999×(-15)$。
(2)$375×16\frac{4}{7}+125×(-\frac{3}{7})-375×6\frac{3}{7}$。
①$98×12=(100-2)×12=1200-24=1176$。
②$-16×233+17×233=(-16+17)×233=233$。
请你参考老师的讲解，用运算律简便计算(请写出具体的解题过程)：
(1)$999×(-15)$。
(2)$375×16\frac{4}{7}+125×(-\frac{3}{7})-375×6\frac{3}{7}$。
答案
(1)$-14\ 985$。
(2)$3\ 750$。
(2)$3\ 750$。
解析
【分析】
本题考查运用运算律进行有理数的简便运算，解题思路如下：
(1) 观察999接近整千数1000，可将999拆成(1000-1)，再正用乘法分配律展开计算，无需直接计算999×15，大幅简化运算量。
(2) 观察式子中出现因数375和125，375是125的3倍，先将含375的项合并，逆用乘法分配律提取公因式375，再将带分数拆分后展开，可发现分数部分刚好抵消，快速得到结果。
【解析】
(1) 计算$999×(-15)$：
$\begin{aligned}999×(-15)&=(1000-1)×(-15)\\&=1000×(-15) - 1×(-15)\\&=-15000 + 15\\&=-14985\end{aligned}$
(2) 计算$375×16\frac{4}{7}+125×(-\frac{3}{7})-375×6\frac{3}{7}$：
$\begin{aligned}原式&=375×16\frac{4}{7} - 375×6\frac{3}{7} + 125×(-\frac{3}{7})\\&=375×(16\frac{4}{7} - 6\frac{3}{7}) - \frac{375}{7}\\&=375×10\frac{1}{7} - \frac{375}{7}\\&=375×(10 + \frac{1}{7}) - \frac{375}{7}\\&=375×10 + 375×\frac{1}{7} - \frac{375}{7}\\&=3750\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-14985}$；(2) $\boldsymbol{3750}$
【知识点】
乘法分配律；有理数简便运算
【点评】
解题的核心是灵活运用乘法分配律，做题前先观察数字特征，通过凑整、提取公因式等方法变形，能有效降低运算难度，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查运用运算律进行有理数的简便运算，解题思路如下：
(1) 观察999接近整千数1000，可将999拆成(1000-1)，再正用乘法分配律展开计算，无需直接计算999×15，大幅简化运算量。
(2) 观察式子中出现因数375和125，375是125的3倍，先将含375的项合并，逆用乘法分配律提取公因式375，再将带分数拆分后展开，可发现分数部分刚好抵消，快速得到结果。
【解析】
(1) 计算$999×(-15)$：
$\begin{aligned}999×(-15)&=(1000-1)×(-15)\\&=1000×(-15) - 1×(-15)\\&=-15000 + 15\\&=-14985\end{aligned}$
(2) 计算$375×16\frac{4}{7}+125×(-\frac{3}{7})-375×6\frac{3}{7}$：
$\begin{aligned}原式&=375×16\frac{4}{7} - 375×6\frac{3}{7} + 125×(-\frac{3}{7})\\&=375×(16\frac{4}{7} - 6\frac{3}{7}) - \frac{375}{7}\\&=375×10\frac{1}{7} - \frac{375}{7}\\&=375×(10 + \frac{1}{7}) - \frac{375}{7}\\&=375×10 + 375×\frac{1}{7} - \frac{375}{7}\\&=3750\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-14985}$；(2) $\boldsymbol{3750}$
【知识点】
乘法分配律；有理数简便运算
【点评】
解题的核心是灵活运用乘法分配律，做题前先观察数字特征，通过凑整、提取公因式等方法变形，能有效降低运算难度，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
