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★例3 刻度尺上的一小格为1毫米，1纳米等于一百万分之一毫米，那么$3×10^{10}$纳米大约是（
A.一支铅笔的长度
B.课桌的高度
C.十层大楼的高度
D.珠穆朗玛峰的高度
C
）A.一支铅笔的长度
B.课桌的高度
C.十层大楼的高度
D.珠穆朗玛峰的高度
答案
C
解析
【分析】
这是一道结合单位换算和长度估测的题目，解题思路分为三步：第一步先根据题目给出的纳米与毫米的换算关系，将纳米单位换算为毫米；第二步再将毫米换算为大家熟悉的米单位；第三步结合生活中常见物体的大致长度，逐一对比选项选出符合的结果。
【解析】
首先根据题意可知：1纳米 = 一百万分之一毫米 = $10^{-6}$毫米
先将$3×10^{10}$纳米换算为毫米：
$3×10^{10}$纳米 = $3×10^{10} × 10^{-6}$毫米 = $3×10^{4}$毫米
再将毫米换算为米，已知1米 = 1000毫米 = $10^3$毫米：
$3×10^{4}$毫米 = $3×10^{4} ÷ 10^3$米 = 30米
结合生活常识判断各选项：
A. 一支铅笔长度约为0.15~0.2米，不符合30米；
B. 课桌高度约为0.8米，不符合30米；
C. 一层楼高度约为3米，十层大楼高度约为$3×10=30$米，符合计算结果；
D. 珠穆朗玛峰高度约为8848米，不符合30米。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法运算、长度单位换算、长度估测
【点评】
本题将数学单位换算和生活实际相结合，既考查了科学记数法的乘除计算能力，也要求学生对日常常见物体的长度有基本认知，是实用性较强的基础题。
【难度系数】
0.7
这是一道结合单位换算和长度估测的题目，解题思路分为三步：第一步先根据题目给出的纳米与毫米的换算关系，将纳米单位换算为毫米；第二步再将毫米换算为大家熟悉的米单位；第三步结合生活中常见物体的大致长度，逐一对比选项选出符合的结果。
【解析】
首先根据题意可知：1纳米 = 一百万分之一毫米 = $10^{-6}$毫米
先将$3×10^{10}$纳米换算为毫米：
$3×10^{10}$纳米 = $3×10^{10} × 10^{-6}$毫米 = $3×10^{4}$毫米
再将毫米换算为米，已知1米 = 1000毫米 = $10^3$毫米：
$3×10^{4}$毫米 = $3×10^{4} ÷ 10^3$米 = 30米
结合生活常识判断各选项：
A. 一支铅笔长度约为0.15~0.2米，不符合30米；
B. 课桌高度约为0.8米，不符合30米；
C. 一层楼高度约为3米，十层大楼高度约为$3×10=30$米，符合计算结果；
D. 珠穆朗玛峰高度约为8848米，不符合30米。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法运算、长度单位换算、长度估测
【点评】
本题将数学单位换算和生活实际相结合，既考查了科学记数法的乘除计算能力，也要求学生对日常常见物体的长度有基本认知，是实用性较强的基础题。
【难度系数】
0.7
跟踪训练3-1 已知 $1.414 ＜ \sqrt{2} ＜ 1.415$，用四舍五入法，按精确到0.01取近似值，则$\sqrt{2}$约等于（
A.1.414
B.1.415
C.1.41
D.1.42
C
）A.1.414
B.1.415
C.1.41
D.1.42
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确精确到0.01的含义：就是对一个数保留两位小数，此时只需要观察这个数小数点后第三位（千分位）的数字，按照四舍五入的规则判断是舍去还是进位。已知$\sqrt{2}$的范围是$1.414＜\sqrt{2}＜1.415$，我们可以先确定它千分位的数字，再按规则取近似值即可。
【解析】
1. 明确精确度要求：精确到0.01即保留两位小数，需对千分位（小数点后第三位）的数字进行四舍五入。
2. 确定$\sqrt{2}$千分位的数字：由$1.414＜\sqrt{2}＜1.415$可知，$\sqrt{2}$的小数点后前三位为$1.414$，千分位数字是4。
3. 按四舍五入规则计算：千分位的4小于5，因此舍去千分位及之后的所有数字，得到$\sqrt{2}$的近似值为$1.41$。
【答案】
C
【知识点】
近似数的精确度；四舍五入法取近似值
【点评】
本题主要考查近似数取法的基础应用，解题的核心是明确精确到某一位时，仅需要对它下一位的数字进行四舍五入判断，不需要考虑更后面的数位。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确精确到0.01的含义：就是对一个数保留两位小数，此时只需要观察这个数小数点后第三位（千分位）的数字，按照四舍五入的规则判断是舍去还是进位。已知$\sqrt{2}$的范围是$1.414＜\sqrt{2}＜1.415$，我们可以先确定它千分位的数字，再按规则取近似值即可。
【解析】
1. 明确精确度要求：精确到0.01即保留两位小数，需对千分位（小数点后第三位）的数字进行四舍五入。
2. 确定$\sqrt{2}$千分位的数字：由$1.414＜\sqrt{2}＜1.415$可知，$\sqrt{2}$的小数点后前三位为$1.414$，千分位数字是4。
3. 按四舍五入规则计算：千分位的4小于5，因此舍去千分位及之后的所有数字，得到$\sqrt{2}$的近似值为$1.41$。
【答案】
C
【知识点】
近似数的精确度；四舍五入法取近似值
【点评】
本题主要考查近似数取法的基础应用，解题的核心是明确精确到某一位时，仅需要对它下一位的数字进行四舍五入判断，不需要考虑更后面的数位。
【难度系数】
0.8
跟踪训练3-2 数6是6.39的近似值，其中6.39叫作真值。若一个数经四舍五入得到的近似数是16，则下列各数中，不可能为16的真值的为（
A.16.28
B.16.56
C.15.88
D.16.49
B
）A.16.28
B.16.56
C.15.88
D.16.49
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确四舍五入得到近似数16（精确到个位）时对应的真值取值范围，分两种情况推导：①如果是“四舍”得到16，说明真值个位原本是6，十分位数字小于5，此时真值小于16.5；②如果是“五入”得到16，说明真值个位原本是5，十分位数字大于或等于5，此时真值大于或等于15.5。综合可得真值的取值范围是$15.5≤ x＜16.5$，再判断四个选项的数是否在这个范围内即可。
【解析】
解：设近似数16对应的真值为$x$，根据四舍五入取近似值的规则，精确到个位时：
若为“四舍”得到16，则$x＜16.5$；
若为“五入”得到16，则$x≥15.5$；
因此真值的取值范围是$\boldsymbol{15.5 ≤ x ＜ 16.5}$。
逐一分析选项：
A. $15.5≤16.28＜16.5$，四舍五入可得16，不符合题意；
B. $16.56＞16.5$，四舍五入可得17，不可能是16的真值，符合题意；
C. $15.5≤15.88＜16.5$，四舍五入可得16，不符合题意；
D. $15.5≤16.49＜16.5$，四舍五入可得16，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
近似数；四舍五入法
【点评】
本题主要考查四舍五入取近似数的规则，解题关键是正确推导近似数对应的真值取值范围，注意四舍得到的近似数上限是取不到的，同时要避免连续进位的错误认知，四舍五入到某一位时仅需看它的下一位数字即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确四舍五入得到近似数16（精确到个位）时对应的真值取值范围，分两种情况推导：①如果是“四舍”得到16，说明真值个位原本是6，十分位数字小于5，此时真值小于16.5；②如果是“五入”得到16，说明真值个位原本是5，十分位数字大于或等于5，此时真值大于或等于15.5。综合可得真值的取值范围是$15.5≤ x＜16.5$，再判断四个选项的数是否在这个范围内即可。
【解析】
解：设近似数16对应的真值为$x$，根据四舍五入取近似值的规则，精确到个位时：
若为“四舍”得到16，则$x＜16.5$；
若为“五入”得到16，则$x≥15.5$；
因此真值的取值范围是$\boldsymbol{15.5 ≤ x ＜ 16.5}$。
逐一分析选项：
A. $15.5≤16.28＜16.5$，四舍五入可得16，不符合题意；
B. $16.56＞16.5$，四舍五入可得17，不可能是16的真值，符合题意；
C. $15.5≤15.88＜16.5$，四舍五入可得16，不符合题意；
D. $15.5≤16.49＜16.5$，四舍五入可得16，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
近似数；四舍五入法
【点评】
本题主要考查四舍五入取近似数的规则，解题关键是正确推导近似数对应的真值取值范围，注意四舍得到的近似数上限是取不到的，同时要避免连续进位的错误认知，四舍五入到某一位时仅需看它的下一位数字即可。
【难度系数】
0.8
跟踪训练3-3 若一个整数$x$用科学记数法表示为$1.381× 10^{28}$，则$x$的位数为（
A.27
B.28
C.29
D.30
C
）A.27
B.28
C.29
D.30
答案
C
解析
【分析】
首先回忆科学记数法的表示形式：科学记数法是将一个数写为$a × 10^n$的形式，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。当原数是大于1的正整数时，原数的整数位数和$n$的关系为：原数的整数位数 = $n + 1$。我们只需要找到题干中$10$的指数，代入这个规律就能算出$x$的位数。
【解析】
科学记数法表示大于1的数时，形式为$a × 10^n$（$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数），此时原数的整数位数等于$n + 1$。
本题中$x = 1.381 × 10^{28}$，对应$n = 28$，因此$x$的位数为$28 + 1 = 29$。
【答案】
C
【知识点】
1. 科学记数法
2. 科学记数法还原
【点评】
本题考查科学记数法相关的基础应用，核心是掌握正指数科学记数法与原数位数的对应规律，熟记“原数整数位数=10的指数+1”即可快速解题，注意不要漏加1导致错误。
【难度系数】
0.8
首先回忆科学记数法的表示形式：科学记数法是将一个数写为$a × 10^n$的形式，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。当原数是大于1的正整数时，原数的整数位数和$n$的关系为：原数的整数位数 = $n + 1$。我们只需要找到题干中$10$的指数，代入这个规律就能算出$x$的位数。
【解析】
科学记数法表示大于1的数时，形式为$a × 10^n$（$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数），此时原数的整数位数等于$n + 1$。
本题中$x = 1.381 × 10^{28}$，对应$n = 28$，因此$x$的位数为$28 + 1 = 29$。
【答案】
C
【知识点】
1. 科学记数法
2. 科学记数法还原
【点评】
本题考查科学记数法相关的基础应用，核心是掌握正指数科学记数法与原数位数的对应规律，熟记“原数整数位数=10的指数+1”即可快速解题，注意不要漏加1导致错误。
【难度系数】
0.8
跟踪训练3-4 12.597 2精确到十分位的近似数是
12.6
；324 986精确到百位的近似数是$3.250×10^5$
（用科学记数法表示）。答案
12.6 $3.250×10^5$
解析
【分析】
解决这类近似数问题需按两步走：1. 明确精确到的数位，观察该数位的下一位数字，按照四舍五入规则判断是否进位；2. 若要求用科学记数法表示，需将四舍五入后的结果改写为$a × 10^n$（$1 ≤ a ＜10$，n为正整数）的形式，注意保留对应精确度的数位，不能随意省略末尾用于体现精确度的0。
【解析】
1. 计算12.5972精确到十分位的近似数：
十分位是小数点后第1位的数字5，其下一位百分位上的数字为9，$9＞5$，按照四舍五入规则向十分位进1，$5+1=6$，因此结果为12.6。
2. 计算324986精确到百位的近似数（用科学记数法表示）：
324986的百位是从右数第3位的数字9，其下一位十位上的数字为8，$8＞5$，向百位进1，百位9加1后满10，向千位进1，千位原数字4变为5，百位及之后的数位均变为0，得到325000。将325000改写为科学记数法，需体现精确到百位，因此$a=3.250$，$n=5$，即$3.250 × 10^5$。
【答案】
12.6；$3.250× 10^5$
【知识点】
近似数；四舍五入法；科学记数法
【点评】
本题重点考查近似数的取值规则和科学记数法的表示方法，易错点是精确到某一数位时易漏看后续进位，以及用科学记数法表示近似数时随意省略体现精确度的末尾0。
【难度系数】
0.8
解决这类近似数问题需按两步走：1. 明确精确到的数位，观察该数位的下一位数字，按照四舍五入规则判断是否进位；2. 若要求用科学记数法表示，需将四舍五入后的结果改写为$a × 10^n$（$1 ≤ a ＜10$，n为正整数）的形式，注意保留对应精确度的数位，不能随意省略末尾用于体现精确度的0。
【解析】
1. 计算12.5972精确到十分位的近似数：
十分位是小数点后第1位的数字5，其下一位百分位上的数字为9，$9＞5$，按照四舍五入规则向十分位进1，$5+1=6$，因此结果为12.6。
2. 计算324986精确到百位的近似数（用科学记数法表示）：
324986的百位是从右数第3位的数字9，其下一位十位上的数字为8，$8＞5$，向百位进1，百位9加1后满10，向千位进1，千位原数字4变为5，百位及之后的数位均变为0，得到325000。将325000改写为科学记数法，需体现精确到百位，因此$a=3.250$，$n=5$，即$3.250 × 10^5$。
【答案】
12.6；$3.250× 10^5$
【知识点】
近似数；四舍五入法；科学记数法
【点评】
本题重点考查近似数的取值规则和科学记数法的表示方法，易错点是精确到某一数位时易漏看后续进位，以及用科学记数法表示近似数时随意省略体现精确度的末尾0。
【难度系数】
0.8
跟踪训练3-5 据不完全统计，某市约有$6×10^5$个水龙头漏水，这些水龙头每月流失的总水量约$1.68×10^5\ \mathrm{m}^3$。
(1)平均每个水龙头每月的漏水量约为多少立方米(结果精确到$0.1\ \mathrm{m}^3$)？
(2)如果该市每立方米水费是1.9元，那么这些水龙头一年漏水量的总水费约为多少万元？
(1)平均每个水龙头每月的漏水量约为多少立方米(结果精确到$0.1\ \mathrm{m}^3$)？
(2)如果该市每立方米水费是1.9元，那么这些水龙头一年漏水量的总水费约为多少万元？
答案
(1)$0.3\ \mathrm{m}^3$。
(2)383.04万元。
(2)383.04万元。
解析
【分析】
(1) 求平均每个水龙头每月的漏水量，依据“平均数=总数量÷总份数”的关系，用每月流失的总水量除以水龙头总个数，计算后按照要求精确到0.1立方米即可。
(2) 求一年漏水量的总水费，先通过“每月总漏水量×12”算出全年总漏水量，再用全年总漏水量乘每立方米水费得到总费用，最后将单位从元换算为万元即可。
【解析】
(1) 平均每个水龙头每月漏水量=每月总漏水量÷水龙头总数，代入数据计算：
$\frac{1.68×10^5}{6×10^5}=1.68÷6=0.28\approx0.3(\mathrm{m}^3)$
(2) 先计算一年的总漏水量：
$1.68×10^5×12=2.016×10^6(\mathrm{m}^3)$
再计算总水费（单位：元）：
$2.016×10^6×1.9=3.8304×10^6(\mathrm{元})$
将单位换算为万元：
$3.8304×10^6÷10^4=383.04(\mathrm{万元})$
【答案】
(1)$0.3\ \mathrm{m}^3$；(2)383.04万元
【知识点】
科学记数法运算、近似数取值、有理数实际应用
【点评】
本题结合生活节水场景考查有理数的运算应用，解题时要注意精确度要求和单位转换规则，细心计算即可顺利完成。
【难度系数】
0.8
(1) 求平均每个水龙头每月的漏水量，依据“平均数=总数量÷总份数”的关系，用每月流失的总水量除以水龙头总个数，计算后按照要求精确到0.1立方米即可。
(2) 求一年漏水量的总水费，先通过“每月总漏水量×12”算出全年总漏水量，再用全年总漏水量乘每立方米水费得到总费用，最后将单位从元换算为万元即可。
【解析】
(1) 平均每个水龙头每月漏水量=每月总漏水量÷水龙头总数，代入数据计算：
$\frac{1.68×10^5}{6×10^5}=1.68÷6=0.28\approx0.3(\mathrm{m}^3)$
(2) 先计算一年的总漏水量：
$1.68×10^5×12=2.016×10^6(\mathrm{m}^3)$
再计算总水费（单位：元）：
$2.016×10^6×1.9=3.8304×10^6(\mathrm{元})$
将单位换算为万元：
$3.8304×10^6÷10^4=383.04(\mathrm{万元})$
【答案】
(1)$0.3\ \mathrm{m}^3$；(2)383.04万元
【知识点】
科学记数法运算、近似数取值、有理数实际应用
【点评】
本题结合生活节水场景考查有理数的运算应用，解题时要注意精确度要求和单位转换规则，细心计算即可顺利完成。
【难度系数】
0.8
