一、选择题
1. 下列各式运算,正确的个数有()
①$(a^3)^3=a^6$ ②$(5x^2)^3=15x^6$ ③$(ab)^4=ab^4$ ④$(-3a)^3=-27a^3$

A.3个
B.2个
C.1个
D.0个

C

【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则，解题思路为：先回忆两个运算法则的内容，再逐个验证4个运算式子的正误，最后统计正确的个数对应选项即可。幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
① 根据幂的乘方法则，$(a^3)^3=a^{3×3}=a^9≠ a^6$，故①错误；
② 根据积的乘方法则，$(5x^2)^3=5^3×(x^2)^3=125x^6≠15x^6$，故②错误；
③ 根据积的乘方法则，$(ab)^4=a^4b^4≠ ab^4$，故③错误；
④ 根据积的乘方法则，$(-3a)^3=(-3)^3× a^3=-27a^3$，故④正确。
综上，只有1个运算正确。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算；积的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题，解题的关键是准确掌握幂运算的相关法则，要特别注意积的乘方运算中，不要漏乘积中任意一个因式的乘方，也不要混淆幂的乘方与同底数幂乘法的指数运算规则。
【难度系数】
0.7

2. 下列计算错误的是()

A.$a^3 · a^3 = a^6$
B.$(3a^2b^3)^2 = 9a^4b^6$
C.$(-2ab)^2 = 4a^2b^2$
D.$(a^{n+1})^2 = a^{2n+1}$

D

【分析】
本题要求选出幂运算中计算错误的选项，解题时需结合幂的各类运算法则，逐一验证每个选项的计算结果是否正确：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②积的乘方，需把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；③幂的乘方，底数不变，指数相乘。按照对应法则计算每个选项后，找出结果错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 同底数幂相乘，底数不变指数相加：$a^3 · a^3 = a^{3+3}=a^6$，计算正确，不符合题意；
B. 积的乘方运算：$(3a^2b^3)^2 = 3^2 · (a^2)^2 · (b^3)^2 =9a^{4}b^{6}$，计算正确，不符合题意；
C. 积的乘方运算：$(-2ab)^2 = (-2)^2 · a^2 · b^2 =4a^2b^2$，计算正确，不符合题意；
D. 幂的乘方运算，底数不变指数相乘：$(a^{n+1})^2 = a^{2×(n+1)}=a^{2n+2} ≠ a^{2n+1}$，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题的关键是准确区分不同幂运算的指数处理规则，避免混淆幂的乘方和同底数幂乘法的指数计算方式，计算积的乘方时还要注意系数的符号和乘方结果。
【难度系数】
0.8

3. 化简$(-2a)^2 - 2a^2$的结果是()

A.$2a^2$
B.$0$
C.$-4a^2$
D.$-6a^2$

A

【分析】
这是一道整式化简题，解题需按照先乘方、后加减的顺序计算：第一步先利用积的乘方法则计算$(-2a)^2$，计算时要注意负号的平方结果为正，系数和字母都要分别乘方；第二步再合并同类项，将同类项的系数相减即可得到最终结果，再匹配对应选项。
【解析】
解：先计算乘方运算：
根据积的乘方法则，$(-2a)^2=(-2)^2 · a^2 = 4a^2$
再计算减法运算，合并同类项：
$(-2a)^2 - 2a^2 = 4a^2 - 2a^2 = (4-2)a^2 = 2a^2$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查幂的运算规则与整式加减的运算顺序，解题时需注意积的乘方运算中，积的每一个因式都要分别乘方，避免出现系数不乘方、符号判断错误的低级失误。
【难度系数】
0.8

4. 如果$(x^3 · y^n)^2=x^6y^8$，则$n=(\quad)$

A.3
B.2
C.6
D.4

D

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：第一步，先运用积的乘方、幂的乘方的运算法则将等式左边的式子展开化简；第二步，等式两边的代数式相等，说明相同底数的幂的指数对应相等，据此列出关于n的一元一次方程；第三步，解方程即可求出n的值。
【解析】
根据积的乘方运算法则$(ab)^m=a^m b^m$、幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），展开等式左侧：
$\begin{aligned}(x^3 · y^n)^2&=(x^3)^2 · (y^n)^2\\&=x^{3×2} · y^{n×2}\\&=x^6y^{2n}\end{aligned}$
已知$(x^3 · y^n)^2=x^6y^8$，因此可得$x^6y^{2n}=x^6y^8$，等式两边同底数幂的指数对应相等，所以y的指数满足$2n=8$，解得$n=4$。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、一元一次方程求解
【点评】
本题属于幂运算的基础常规题，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，利用等式两边同底数幂指数相等建立方程求解即可，是巩固幂运算知识点的典型习题。
【难度系数】
0.8

5. 计算:$(2×10^{4})^{3}=(\quad)$

A.$6×10^{7}$
B.$8×10^{7}$
C.$2×10^{12}$
D.$8×10^{12}$

D

【分析】
本题考查幂的运算相关知识，解题思路如下：首先观察式子是两个因式乘积的乘方形式，优先使用积的乘方运算法则，将两个因式分别乘方后再相乘；再对其中的幂的乘方部分，使用幂的乘方运算法则计算，最后合并结果匹配选项即可。解题时注意不要漏算系数的乘方，也不要混淆幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），可得：
$\begin{aligned}(2×10^4)^3 &= 2^3 × (10^4)^3 \end{aligned}$
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），计算$(10^4)^3$：
$(10^4)^3 = 10^{4×3}=10^{12}$
计算系数部分：$2^3=8$
将两部分结果相乘得：$8×10^{12}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的两个运算性质的应用，解题时容易出现的错误是漏算系数的乘方，或是将幂的乘方的指数运算错用为加法，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 计算：$(3x^2y^5)^2=$；$(\dfrac{1}{2}a^3b^2c)^3=$。

解：
根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算：
$(3x^2y^5)^2=3^2· (x^2)^2· (y^5)^2=9x^4y^{10}$
$(\dfrac{1}{2}a^3b^2c)^3=(\dfrac{1}{2})^3· (a^3)^3· (b^2)^3· c^3=\dfrac{1}{8}a^9b^6c^3$
答案依次为：$\boldsymbol{9x^4y^{10}}$；$\boldsymbol{\dfrac{1}{8}a^9b^6c^3}$

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先观察两个式子的形式，均属于积的乘方运算，需按照积的乘方法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对于乘方后出现的幂的乘方形式，再按照幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算，最后将各部分计算结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算：
1. 计算$(3x^2y^5)^2$：
先将括号内的每个因式分别乘方，可得$3^2· (x^2)^2· (y^5)^2$，
分别计算各部分：$3^2=9$，$(x^2)^2=x^{2×2}=x^4$，$(y^5)^2=y^{5×2}=y^{10}$，
相乘得结果为$9x^4y^{10}$。
2. 计算$(\dfrac{1}{2}a^3b^2c)^3$：
先将括号内的每个因式分别乘方，可得$(\dfrac{1}{2})^3· (a^3)^3· (b^2)^3· c^3$，
分别计算各部分：$(\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{1}{8}$，$(a^3)^3=a^{3×3}=a^9$，$(b^2)^3=b^{2×3}=b^6$，$c^3$保持不变，
相乘得结果为$\dfrac{1}{8}a^9b^6c^3$。
【答案】
$9x^4y^{10}$；$\dfrac{1}{8}a^9b^6c^3$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的基础常规题，核心是熟练掌握积的乘方和幂的乘方的运算法则，计算时需注意不要遗漏对系数、单独字母因式的乘方计算，避免出现指数漏乘的低级错误。
【难度系数】
0.9

2. 计算:$(-2m^2)^2=$;$a^3· (ab^2)^2=$.

解：
$(-2m^2)^2 = (-2)^2 · (m^2)^2 = 4m^4$
$a^3 · (ab^2)^2 = a^3 · a^2 · (b^2)^2 = a^{3+2}b^4 = a^5b^4$
答案依次为：$\boldsymbol{4m^4}$；$\boldsymbol{a^5b^4}$

【分析】
这两道题考查幂的运算相关法则，解题时遵循“先乘方、后乘法”的运算顺序：
1. 计算$(-2m^2)^2$时，先运用积的乘方法则，把积中的每个因式分别乘方，再运用幂的乘方法则计算字母部分的乘方，最后合并结果即可；
2. 计算$a^3· (ab^2)^2$时，先利用积的乘方、幂的乘方法则化简$(ab^2)^2$，再利用同底数幂的乘法法则，将同类项的指数相加，得到最终结果。
【解析】
1. 计算$(-2m^2)^2$：
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，可得：
$(-2m^2)^2 = (-2)^2 · (m^2)^2$
再根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，计算得：
$(-2)^2=4$，$(m^2)^2=m^{2×2}=m^4$
因此$(-2m^2)^2=4m^4$。
2. 计算$a^3· (ab^2)^2$：
先算乘方，根据积的乘方、幂的乘方法则：
$(ab^2)^2=a^2·(b^2)^2=a^2b^4$
再算同底数幂的乘法，根据法则$a^m·a^n=a^{m+n}$：
$a^3·a^2b^4=a^{3+2}b^4=a^5b^4$
【答案】
$4m^4$；$a^5b^4$
【知识点】
积的乘方；幂的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，解题核心是熟练区分各类幂运算的指数规则，严格按照先乘方后乘法的顺序计算，避免混淆幂的乘方“指数相乘”和同底数幂乘法“指数相加”的规则即可正确求解。
【难度系数】
0.8

3. 若$x^n=2$，$y^n=3$，则$(xy)^{3n}=$.

$\boldsymbol{216}$

【分析】
解题时先观察已知条件与待求式的结构特征，明确考查幂的运算性质的应用：①首先根据积的乘方运算性质，将待求式$(xy)^{3n}$拆分为$x^{3n}·y^{3n}$；②再逆用幂的乘方运算性质，将$x^{3n}$变形为$(x^n)^3$，$y^{3n}$变形为$(y^n)^3$，即可对接已知的$x^n=2$、$y^n=3$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逐步变形计算：
1. 由积的乘方运算性质$(ab)^m=a^m b^m$，可得：
$(xy)^{3n}=x^{3n}·y^{3n}$
2. 逆用幂的乘方运算性质$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$x^{3n}=(x^n)^3$，$y^{3n}=(y^n)^3$
因此原式可变形为：
$(xy)^{3n}=(x^n)^3·(y^n)^3$
3. 将$x^n=2$，$y^n=3$代入上式：
原式$=2^3×3^3=8×27=216$
【答案】
$\boldsymbol{216}$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算相关的基础题型，核心考查积的乘方与幂的乘方运算性质的灵活应用，解题的关键是将待求式合理变形为与已知条件匹配的形式，熟练掌握运算性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 计算：
(1) $(3xy)^3$；
(2) $(-2x^2y^3)^2$；
(3) $(-3m^3n^2)^3$；
(4) $a^2 · (-a)^3 · (-a^2)^4$；
(5) $(-2a^3)^2 + (-3a)^3 · a^3$；
(6) $(3a^3)^3 + 3a^3 · a^6 - 3a^9$；

解：
(1) 原式$=3^3 · x^3 · y^3 = 27x^3y^3$
(2) 原式$=(-2)^2 · (x^2)^2 · (y^3)^2 = 4x^4y^6$
(3) 原式$=(-3)^3 · (m^3)^3 · (n^2)^3 = -27m^9n^6$
(4) 原式$=a^2 · (-a^3) · a^8 = -a^{2+3+8} = -a^{13}$
(5) 原式$=(-2)^2 · (a^3)^2 + (-3)^3 · a^3 · a^3 = 4a^6 - 27a^6 = -23a^6$
(6) 原式$=3^3 · (a^3)^3 + 3a^{3+6} - 3a^9 = 27a^9 + 3a^9 - 3a^9 = 27a^9$

【分析】
这组题目均考查幂的相关运算，解题思路如下：①先明确幂运算的核心法则：积的乘方等于把积中每个因式分别乘方，再将所得幂相乘；幂的乘方底数不变，指数相乘；同底数幂相乘底数不变，指数相加。②运算顺序遵循先乘方、再乘除、最后加减的规则，最后有同类项的要合并同类项。③特别注意负数乘方的符号判断：偶次幂为正，奇次幂为负，避免符号出错。
【解析】
(1) 利用积的乘方法则计算：
原式$=3^3 · x^3 · y^3 = 27x^3y^3$
(2) 利用积的乘方、幂的乘方法则计算：
原式$=(-2)^2 · (x^2)^2 · (y^3)^2 = 4x^4y^6$
(3) 利用积的乘方、幂的乘方法则计算：
原式$=(-3)^3 · (m^3)^3 · (n^2)^3 = -27m^9n^6$
(4) 先算乘方，再算同底数幂乘法：
原式$=a^2 · (-a^3) · a^8 = -a^{2+3+8} = -a^{13}$
(5) 先算乘方，再算乘法，最后合并同类项：
原式$=(-2)^2 · (a^3)^2 + (-3)^3 · a^3 · a^3 = 4a^6 - 27a^6 = -23a^6$
(6) 先算乘方，再算乘法，最后合并同类项：
原式$=3^3 · (a^3)^3 + 3a^{3+6} - 3a^9 = 27a^9 + 3a^9 - 3a^9 = 27a^9$
【答案】
(1)$27x^3y^3$；(2)$4x^4y^6$；(3)$-27m^9n^6$；(4)$-a^{13}$；(5)$-23a^6$；(6)$27a^9$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础练习题，重点考查对幂运算各类法则的掌握程度，解题时需格外注意负数乘方的符号判断以及运算顺序，熟练掌握运算法则并细心计算即可拿到满分。
【难度系数】
0.8