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2. 已知$a=81^8, b=27^{11}, c=9^{15}$,试比较$a,b,c$的大小,并用“$＞$”号将它们连接起来.
答案
解：
将$a,b,c$分别转化为以3为底的幂：
$a=81^8=(3^4)^8=3^{4×8}=3^{32}$
$b=27^{11}=(3^3)^{11}=3^{3×11}=3^{33}$
$c=9^{15}=(3^2)^{15}=3^{2×15}=3^{30}$
∵ $33＞32＞30$，当底数大于1时，幂的指数越大，对应数值越大，
∴ $3^{33}＞3^{32}＞3^{30}$
即 $b＞a＞c$
将$a,b,c$分别转化为以3为底的幂：
$a=81^8=(3^4)^8=3^{4×8}=3^{32}$
$b=27^{11}=(3^3)^{11}=3^{3×11}=3^{33}$
$c=9^{15}=(3^2)^{15}=3^{2×15}=3^{30}$
∵ $33＞32＞30$，当底数大于1时，幂的指数越大，对应数值越大，
∴ $3^{33}＞3^{32}＞3^{30}$
即 $b＞a＞c$
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，首先观察三个式子的底数81、27、9都属于3的正整数次幂，因此可以利用幂的乘方法则，把三个数都转化为以3为底的幂的形式。由于底数大于1时，同底数幂的指数越大，对应的值就越大，所以只需要比较转化后三个幂的指数大小，就能直接得出原数的大小关系。
【解析】
将a、b、c分别转化为以3为底的幂：
$a=81^8=(3^4)^8=3^{4×8}=3^{32}$
$b=27^{11}=(3^3)^{11}=3^{3×11}=3^{33}$
$c=9^{15}=(3^2)^{15}=3^{2×15}=3^{30}$
∵ 底数3＞1，同底数幂的指数越大，幂的值越大，且$33＞32＞30$
∴ $3^{33}＞3^{32}＞3^{30}$
即 $b＞a＞c$
【答案】
$b＞a＞c$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂大小比较
【点评】
本题是幂运算模块的基础典型题，解题关键是通过幂的乘方法则将不同底数的幂转化为同底数幂，把幂的大小比较转化为更简单的指数大小比较，降低解题难度，需要熟练掌握幂的乘方的运算法则。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c的大小，首先观察三个式子的底数81、27、9都属于3的正整数次幂，因此可以利用幂的乘方法则，把三个数都转化为以3为底的幂的形式。由于底数大于1时，同底数幂的指数越大，对应的值就越大，所以只需要比较转化后三个幂的指数大小，就能直接得出原数的大小关系。
【解析】
将a、b、c分别转化为以3为底的幂：
$a=81^8=(3^4)^8=3^{4×8}=3^{32}$
$b=27^{11}=(3^3)^{11}=3^{3×11}=3^{33}$
$c=9^{15}=(3^2)^{15}=3^{2×15}=3^{30}$
∵ 底数3＞1，同底数幂的指数越大，幂的值越大，且$33＞32＞30$
∴ $3^{33}＞3^{32}＞3^{30}$
即 $b＞a＞c$
【答案】
$b＞a＞c$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂大小比较
【点评】
本题是幂运算模块的基础典型题，解题关键是通过幂的乘方法则将不同底数的幂转化为同底数幂，把幂的大小比较转化为更简单的指数大小比较，降低解题难度，需要熟练掌握幂的乘方的运算法则。
【难度系数】
0.8
3*. 若$a^m=a^n(a＞0且a≠1,m,n是正整数)$，则$m=n$.你能利用以上结论解决下面的两个问题吗？
(1)如果$2×8^x×16^x=2^{22}$，求$x$的值；
(2)如果$(27^x)^2=9^6$，求$x$的值.
(1)如果$2×8^x×16^x=2^{22}$，求$x$的值；
(2)如果$(27^x)^2=9^6$，求$x$的值.
答案
解：
(1) 因为$8=2^3$，$16=2^4$，
所以原式可变形为：
$2× (2^3)^x × (2^4)^x = 2^{22}$
由幂的乘方法则得：
$2× 2^{3x} × 2^{4x} = 2^{22}$
由同底数幂的乘法法则合并得：
$2^{1+3x+4x} = 2^{22}$
即$2^{7x+1}=2^{22}$
根据题中结论可得指数相等：
$7x+1=22$
解得$x=3$。
(2) 因为$27=3^3$，$9=3^2$，
所以原式可变形为：
$((3^3)^x)^2 = (3^2)^6$
由幂的乘方法则化简得：
$3^{6x} = 3^{12}$
根据题中结论可得指数相等：
$6x=12$
解得$x=2$。
(1) 因为$8=2^3$，$16=2^4$，
所以原式可变形为：
$2× (2^3)^x × (2^4)^x = 2^{22}$
由幂的乘方法则得：
$2× 2^{3x} × 2^{4x} = 2^{22}$
由同底数幂的乘法法则合并得：
$2^{1+3x+4x} = 2^{22}$
即$2^{7x+1}=2^{22}$
根据题中结论可得指数相等：
$7x+1=22$
解得$x=3$。
(2) 因为$27=3^3$，$9=3^2$，
所以原式可变形为：
$((3^3)^x)^2 = (3^2)^6$
由幂的乘方法则化简得：
$3^{6x} = 3^{12}$
根据题中结论可得指数相等：
$6x=12$
解得$x=2$。
解析
【分析】
解题核心是利用题给“同底数的正整数指数幂相等时，指数相等”的结论，先将等式两边的幂统一为相同底数，再结合幂的运算法则化简，最后列一元一次方程求解。对于(1)，先把8、16转化为以2为底的幂，再用幂的乘方、同底数幂乘法法则合并左边的式子，得到同底数幂相等的形式即可列方程；对于(2)，把27、9转化为以3为底的幂，用幂的乘方法则化简两边后列方程求解即可。
【解析】
(1) 因为$8=2^3$，$16=2^4$，
所以原式可变形为：
$2× (2^3)^x × (2^4)^x = 2^{22}$
由幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）得：
$2× 2^{3x} × 2^{4x} = 2^{22}$
由同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）合并得：
$2^{1+3x+4x} = 2^{22}$
即$2^{7x+1}=2^{22}$
根据题中结论可得指数相等：
$7x+1=22$
解得$x=3$。
(2) 因为$27=3^3$，$9=3^2$，
所以原式可变形为：
$((3^3)^x)^2 = (3^2)^6$
由幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）化简得：
$3^{6x} = 3^{12}$
根据题中结论可得指数相等：
$6x=12$
解得$x=2$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=2$
【知识点】
1.幂的乘方法则
2.同底数幂的乘法法则
3.同底数幂相等的性质
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题关键是将不同底数的幂转化为同底数幂，结合已知结论列方程求解，能有效考查学生对幂的运算法则的掌握程度和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.75
解题核心是利用题给“同底数的正整数指数幂相等时，指数相等”的结论，先将等式两边的幂统一为相同底数，再结合幂的运算法则化简，最后列一元一次方程求解。对于(1)，先把8、16转化为以2为底的幂，再用幂的乘方、同底数幂乘法法则合并左边的式子，得到同底数幂相等的形式即可列方程；对于(2)，把27、9转化为以3为底的幂，用幂的乘方法则化简两边后列方程求解即可。
【解析】
(1) 因为$8=2^3$，$16=2^4$，
所以原式可变形为：
$2× (2^3)^x × (2^4)^x = 2^{22}$
由幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）得：
$2× 2^{3x} × 2^{4x} = 2^{22}$
由同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）合并得：
$2^{1+3x+4x} = 2^{22}$
即$2^{7x+1}=2^{22}$
根据题中结论可得指数相等：
$7x+1=22$
解得$x=3$。
(2) 因为$27=3^3$，$9=3^2$，
所以原式可变形为：
$((3^3)^x)^2 = (3^2)^6$
由幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）化简得：
$3^{6x} = 3^{12}$
根据题中结论可得指数相等：
$6x=12$
解得$x=2$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=2$
【知识点】
1.幂的乘方法则
2.同底数幂的乘法法则
3.同底数幂相等的性质
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，解题关键是将不同底数的幂转化为同底数幂，结合已知结论列方程求解，能有效考查学生对幂的运算法则的掌握程度和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.75
