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2. 计算：
(1) $(-8)^{33} × (0.125)^{33}$；
(2) $0.25^{53} × 4^{54} - 2^{1000} × 0.5^{1000}$。
(1) $(-8)^{33} × (0.125)^{33}$；
(2) $0.25^{53} × 4^{54} - 2^{1000} × 0.5^{1000}$。
答案
解：
(1) 原式$=(-8 × 0.125)^{33}$
$=(-1)^{33}$
$=-1$
(2) 原式$=0.25^{53} × 4^{53} × 4 - (2 × 0.5)^{1000}$
$=(0.25 × 4)^{53} × 4 - 1^{1000}$
$=1^{53} × 4 - 1$
$=4 - 1$
$=3$
(1) 原式$=(-8 × 0.125)^{33}$
$=(-1)^{33}$
$=-1$
(2) 原式$=0.25^{53} × 4^{53} × 4 - (2 × 0.5)^{1000}$
$=(0.25 × 4)^{53} × 4 - 1^{1000}$
$=1^{53} × 4 - 1$
$=4 - 1$
$=3$
解析
【分析】
这两道题是幂的运算类简便计算题，核心解题思路是逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$简化高次幂计算：
(1) 观察发现-8和0.125的乘积为-1，且两个幂的指数均为33，符合逆用积的乘方公式的条件，可先将底数相乘再做乘方运算，避免单独计算高次幂的繁琐。
(2) 先拆分指数：把$4^{54}$拆为$4^{53}×4$，让前半部分出现指数均为53的$0.25^{53}$和$4^{53}$，二者底数乘积为1；后半部分2和0.5的乘积为1，且两个幂的指数均为1000，分别逆用积的乘方公式计算后再做减法即可。
【解析】
(1) 原式$=(-8 × 0.125)^{33}$
$=(-1)^{33}$
$=-1$
(2) 原式$=0.25^{53} × 4^{53} × 4 - (2 × 0.5)^{1000}$
$=(0.25 × 4)^{53} × 4 - 1^{1000}$
$=1^{53} × 4 - 1$
$=4 - 1$
$=3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的运算性质，有理数混合运算
【点评】
本题重点考查积的乘方公式的灵活运用，解题关键是观察底数的特征，当底数互为倒数或负倒数时，通过调整指数构造同指数幂，逆用公式将高次幂运算转化为简单的四则运算，降低计算量。
【难度系数】
0.75
这两道题是幂的运算类简便计算题，核心解题思路是逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$简化高次幂计算：
(1) 观察发现-8和0.125的乘积为-1，且两个幂的指数均为33，符合逆用积的乘方公式的条件，可先将底数相乘再做乘方运算，避免单独计算高次幂的繁琐。
(2) 先拆分指数：把$4^{54}$拆为$4^{53}×4$，让前半部分出现指数均为53的$0.25^{53}$和$4^{53}$，二者底数乘积为1；后半部分2和0.5的乘积为1，且两个幂的指数均为1000，分别逆用积的乘方公式计算后再做减法即可。
【解析】
(1) 原式$=(-8 × 0.125)^{33}$
$=(-1)^{33}$
$=-1$
(2) 原式$=0.25^{53} × 4^{53} × 4 - (2 × 0.5)^{1000}$
$=(0.25 × 4)^{53} × 4 - 1^{1000}$
$=1^{53} × 4 - 1$
$=4 - 1$
$=3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的运算性质，有理数混合运算
【点评】
本题重点考查积的乘方公式的灵活运用，解题关键是观察底数的特征，当底数互为倒数或负倒数时，通过调整指数构造同指数幂，逆用公式将高次幂运算转化为简单的四则运算，降低计算量。
【难度系数】
0.75
3. 若$2^x · 3^x = 6^{10}$，求x的值.
答案
解：
由积的乘方运算法则可得：
$2^x · 3^x = (2×3)^x = 6^x$
结合已知条件$2^x · 3^x = 6^{10}$，可得：
$6^x = 6^{10}$
因此$x=10$。
由积的乘方运算法则可得：
$2^x · 3^x = (2×3)^x = 6^x$
结合已知条件$2^x · 3^x = 6^{10}$，可得：
$6^x = 6^{10}$
因此$x=10$。
解析
【分析】
观察等式左边的运算结构，是两个指数相同的幂相乘，底数2和3的乘积恰好等于右边幂的底数6，因此首先考虑逆用积的乘方运算法则，将左侧的算式合并为底数为6的幂；再根据“底数不为0且不为1时，若两个同底数幂相等，则指数相等”的性质，即可求出x的值。
【解析】
解：根据积的乘方运算法则的逆用：$a^n·b^n=(ab)^n$，可得：
$2^x · 3^x = (2×3)^x = 6^x$
结合已知条件$2^x · 3^x = 6^{10}$，可得：
$6^x = 6^{10}$
因为6≠0且6≠1，同底数幂相等时指数相等，因此$x=10$。
【答案】
$x=10$
【知识点】
1. 积的乘方
2. 同底数幂的性质
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查积的乘方公式的逆用，熟练掌握各类幂运算公式的正用和逆用，是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
观察等式左边的运算结构，是两个指数相同的幂相乘，底数2和3的乘积恰好等于右边幂的底数6，因此首先考虑逆用积的乘方运算法则，将左侧的算式合并为底数为6的幂；再根据“底数不为0且不为1时，若两个同底数幂相等，则指数相等”的性质，即可求出x的值。
【解析】
解：根据积的乘方运算法则的逆用：$a^n·b^n=(ab)^n$，可得：
$2^x · 3^x = (2×3)^x = 6^x$
结合已知条件$2^x · 3^x = 6^{10}$，可得：
$6^x = 6^{10}$
因为6≠0且6≠1，同底数幂相等时指数相等，因此$x=10$。
【答案】
$x=10$
【知识点】
1. 积的乘方
2. 同底数幂的性质
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查积的乘方公式的逆用，熟练掌握各类幂运算公式的正用和逆用，是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
4*. 若$3^{2a}=2^{b}$，$6^{b}=81$，求$2a+b$的值.
答案
解：
∵ $6^b=(2×3)^b=2^b·3^b$，
又∵ $3^{2a}=2^b$，
∴ $6^b=3^{2a}·3^b=3^{2a+b}$，
∵ $81=3^4$，且$6^b=81$，
∴ $3^{2a+b}=3^4$，
∴ $2a+b=4$。
∵ $6^b=(2×3)^b=2^b·3^b$，
又∵ $3^{2a}=2^b$，
∴ $6^b=3^{2a}·3^b=3^{2a+b}$，
∵ $81=3^4$，且$6^b=81$，
∴ $3^{2a+b}=3^4$，
∴ $2a+b=4$。
解析
【分析】
要求$2a+b$的值，观察已知条件均为幂的形式，可从$6^b=81$入手推导：首先利用积的乘方法则把$6^b$拆分为以2、3为底的幂的乘积，再结合$3^{2a}=2^b$的条件，将2的幂替换为3的幂，利用同底数幂的乘法法则合并，即可得到底数为3、指数为$2a+b$的幂，最后将81转化为以3为底的幂，根据同底数幂相等时指数相等的性质，直接求出$2a+b$的值。
【解析】
∵ $6^b=(2×3)^b=2^b·3^b$，
又
∵ $3^{2a}=2^b$，
∴ $6^b=3^{2a}·3^b=3^{2a+b}$，
∵ $81=3^4$，且$6^b=81$，
∴ $3^{2a+b}=3^4$，
∴ $2a+b=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的乘法、幂的相等性质
【点评】
本题属于幂运算的典型综合题，解题关键是灵活运用幂的运算法则对已知条件进行变形，通过等量代换搭建已知和所求之间的关联，对学生的转化思维有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
要求$2a+b$的值，观察已知条件均为幂的形式，可从$6^b=81$入手推导：首先利用积的乘方法则把$6^b$拆分为以2、3为底的幂的乘积，再结合$3^{2a}=2^b$的条件，将2的幂替换为3的幂，利用同底数幂的乘法法则合并，即可得到底数为3、指数为$2a+b$的幂，最后将81转化为以3为底的幂，根据同底数幂相等时指数相等的性质，直接求出$2a+b$的值。
【解析】
∵ $6^b=(2×3)^b=2^b·3^b$，
又
∵ $3^{2a}=2^b$，
∴ $6^b=3^{2a}·3^b=3^{2a+b}$，
∵ $81=3^4$，且$6^b=81$，
∴ $3^{2a+b}=3^4$，
∴ $2a+b=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
积的乘方运算、同底数幂的乘法、幂的相等性质
【点评】
本题属于幂运算的典型综合题，解题关键是灵活运用幂的运算法则对已知条件进行变形，通过等量代换搭建已知和所求之间的关联，对学生的转化思维有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
