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例1 把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接：
$-\frac{5}{2},3,-4,0,-1.5,\frac{9}{2}.$
【思路导析】将数标在数轴上，根据数在数轴上从左到右的排列顺序比较大小。
【请你解答】
$-\frac{5}{2},3,-4,0,-1.5,\frac{9}{2}.$
【思路导析】将数标在数轴上，根据数在数轴上从左到右的排列顺序比较大小。
【请你解答】
答案
解：
画出数轴，标注出原点、正方向和单位长度，在数轴上找到各数对应的位置，分别标出$-\frac{5}{2},3,-4,0,-1.5,\frac{9}{2}$。
根据数轴上的数从左到右依次增大的性质，用“$＜$”号连接各数为：
$-4 ＜ -\frac{5}{2} ＜ -1.5 ＜ 0 ＜ 3 ＜ \frac{9}{2}$
画出数轴，标注出原点、正方向和单位长度，在数轴上找到各数对应的位置，分别标出$-\frac{5}{2},3,-4,0,-1.5,\frac{9}{2}$。
根据数轴上的数从左到右依次增大的性质，用“$＜$”号连接各数为：
$-4 ＜ -\frac{5}{2} ＜ -1.5 ＜ 0 ＜ 3 ＜ \frac{9}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照三步思路思考：第一步，先明确数轴的三要素，画出符合规范的数轴；第二步，为了更方便找到各数的对应位置，可以先把题中的分数转化为小数，$-\frac{5}{2}=-2.5$，$\frac{9}{2}=4.5$，再在数轴上逐一标注出所有数字的位置；第三步，根据数轴上“数从左到右依次增大”的规律，从左到右按顺序把各数用“＜”连接即可。
【解析】
1. 绘制数轴：画一条水平直线，标注原点（代表0的位置），规定向右为正方向，选取统一的单位长度，完成数轴的绘制。
2. 标注各数：将分数换算为小数后，在数轴上依次找到$-4、-\frac{5}{2}、-1.5、0、3、\frac{9}{2}$对应的位置，逐一做好标记。
3. 排序比较：根据数轴上右侧的数总大于左侧的数的性质，按从左到右的顺序排列各数，用“＜”连接。
【答案】
$-4 ＜ -\frac{5}{2} ＜ -1.5 ＜ 0 ＜ 3 ＜ \frac{9}{2}$
【知识点】
数轴的画法，有理数大小比较，数轴上数的大小规律
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，核心是利用数轴的性质直观完成数的大小对比，解题时要注意数轴三要素不能缺失，标注数字位置时要准确，避免因找错点导致排序错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按照三步思路思考：第一步，先明确数轴的三要素，画出符合规范的数轴；第二步，为了更方便找到各数的对应位置，可以先把题中的分数转化为小数，$-\frac{5}{2}=-2.5$，$\frac{9}{2}=4.5$，再在数轴上逐一标注出所有数字的位置；第三步，根据数轴上“数从左到右依次增大”的规律，从左到右按顺序把各数用“＜”连接即可。
【解析】
1. 绘制数轴：画一条水平直线，标注原点（代表0的位置），规定向右为正方向，选取统一的单位长度，完成数轴的绘制。
2. 标注各数：将分数换算为小数后，在数轴上依次找到$-4、-\frac{5}{2}、-1.5、0、3、\frac{9}{2}$对应的位置，逐一做好标记。
3. 排序比较：根据数轴上右侧的数总大于左侧的数的性质，按从左到右的顺序排列各数，用“＜”连接。
【答案】
$-4 ＜ -\frac{5}{2} ＜ -1.5 ＜ 0 ＜ 3 ＜ \frac{9}{2}$
【知识点】
数轴的画法，有理数大小比较，数轴上数的大小规律
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，核心是利用数轴的性质直观完成数的大小对比，解题时要注意数轴三要素不能缺失，标注数字位置时要准确，避免因找错点导致排序错误。
【难度系数】
0.8
例2 比较下列各组数的大小：
(1)$-\frac{5}{6}$与$-\frac{4}{5}$；(2)$-(-\frac{2}{3})$与$-|-2|$。
【思路导析】对于(1)先求出两数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后作出判断：两个负数，绝对值大的反而小。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(1)$-\frac{5}{6}$与$-\frac{4}{5}$；(2)$-(-\frac{2}{3})$与$-|-2|$。
【思路导析】对于(1)先求出两数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后作出判断：两个负数，绝对值大的反而小。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 先求两数的绝对值：
$\left|-\frac{5}{6}\right|=\frac{5}{6}=\frac{25}{30}$，$\left|-\frac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}=\frac{24}{30}$。
因为$\frac{25}{30}＞\frac{24}{30}$，即$\left|-\frac{5}{6}\right|＞\left|-\frac{4}{5}\right|$，
两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$-\frac{5}{6}＜-\frac{4}{5}$。
(2) 先化简两数：
$-(-\frac{2}{3})=\frac{2}{3}$，$-|-2|=-2$。
因为正数大于负数，$\frac{2}{3}＞-2$，
所以$-(-\frac{2}{3})＞-|-2|$。
(1) 先求两数的绝对值：
$\left|-\frac{5}{6}\right|=\frac{5}{6}=\frac{25}{30}$，$\left|-\frac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}=\frac{24}{30}$。
因为$\frac{25}{30}＞\frac{24}{30}$，即$\left|-\frac{5}{6}\right|＞\left|-\frac{4}{5}\right|$，
两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$-\frac{5}{6}＜-\frac{4}{5}$。
(2) 先化简两数：
$-(-\frac{2}{3})=\frac{2}{3}$，$-|-2|=-2$。
因为正数大于负数，$\frac{2}{3}＞-2$，
所以$-(-\frac{2}{3})＞-|-2|$。
解析
【分析】
本题考查有理数的大小比较，分两组按照对应规则解题即可：(1) 针对两个负数比较大小，依据“两个负数，绝对值大的反而小”的规则，先分别计算两个数的绝对值，通分后比较绝对值的大小，再反推原数的大小；(2) 针对含有多重符号和绝对值的数，先根据相反数定义和绝对值性质化简两个数，再根据“正数大于所有负数”的规则直接比较大小即可。
【解析】
(1) 先求两数的绝对值：
$\left|-\frac{5}{6}\right|=\frac{5}{6}=\frac{25}{30}$，$\left|-\frac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}=\frac{24}{30}$。
因为$\frac{25}{30}＞\frac{24}{30}$，即$\left|-\frac{5}{6}\right|＞\left|-\frac{4}{5}\right|$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$-\frac{5}{6}＜-\frac{4}{5}$。
(2) 先化简两数：
$-(-\frac{2}{3})=\frac{2}{3}$，$-|-2|=-2$。
因为正数大于负数，$\frac{2}{3}＞-2$，
所以$-(-\frac{2}{3})＞-|-2|$。
【答案】
(1)$-\frac{5}{6}＜-\frac{4}{5}$；(2)$-(-\frac{2}{3})＞-|-2|$
【知识点】
有理数大小比较，绝对值的性质，多重符号化简
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，重点考察负数比较大小的规则和含绝对值、多重符号的数的化简方法，掌握对应的比较规则和化简技巧是解题的关键，这类题型是后续有理数运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的大小比较，分两组按照对应规则解题即可：(1) 针对两个负数比较大小，依据“两个负数，绝对值大的反而小”的规则，先分别计算两个数的绝对值，通分后比较绝对值的大小，再反推原数的大小；(2) 针对含有多重符号和绝对值的数，先根据相反数定义和绝对值性质化简两个数，再根据“正数大于所有负数”的规则直接比较大小即可。
【解析】
(1) 先求两数的绝对值：
$\left|-\frac{5}{6}\right|=\frac{5}{6}=\frac{25}{30}$，$\left|-\frac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}=\frac{24}{30}$。
因为$\frac{25}{30}＞\frac{24}{30}$，即$\left|-\frac{5}{6}\right|＞\left|-\frac{4}{5}\right|$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$-\frac{5}{6}＜-\frac{4}{5}$。
(2) 先化简两数：
$-(-\frac{2}{3})=\frac{2}{3}$，$-|-2|=-2$。
因为正数大于负数，$\frac{2}{3}＞-2$，
所以$-(-\frac{2}{3})＞-|-2|$。
【答案】
(1)$-\frac{5}{6}＜-\frac{4}{5}$；(2)$-(-\frac{2}{3})＞-|-2|$
【知识点】
有理数大小比较，绝对值的性质，多重符号化简
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，重点考察负数比较大小的规则和含绝对值、多重符号的数的化简方法，掌握对应的比较规则和化简技巧是解题的关键，这类题型是后续有理数运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
例3 受市场影响，某地果农的水果销售遭遇严峻挑战.为帮助果农拓宽销路，当地政府搭建了线上销售平台.在销售一款牛奶草莓时，选取一家水果超市作为样本，对其一个月（按四周计算）的实际销售数据进行统计.已知该牛奶草莓的售价为每千克10元，统计以每周销售量300 kg为基准，超过或不足的部分分别
用正数、负数来表示，如下表：
(1)在这个月内，牛奶草莓销量最高的是第周，这一周的销售量是千克.
(2)这个月牛奶草莓的实际销量是多少千克？
(3)已知这种牛奶草莓的进价是每千克8元，则这家水果超市本月实际销售牛奶草莓的利润是多少元？
【思路导析】将牛奶草莓销量的比较转化为超过或不足的数量的比较.
【规范解答】(1)∵−10＜10＜20＜100，
∴牛奶草莓销量最高的是第四周.
第四周的销量为300+100=400(千克).
故答案为四，400.
(2)(300−10)+(300+10)+(300+20)+(300+100)=1320(千克).
所以这个月牛奶草莓的实际销量是1320千克.
(3)1320×(10−8)=2640(元).
所以这家水果超市本月实际销售牛奶草莓的利润是2640元.
变式探究
有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是()
A.$a＞b$
B.$|a|＞|b|$
C.$-a＞b$
D.$a＞-b$
学后反思
比较两个负数的大小，是通过比较它们的绝对值转化为比较两个正数的大小，从而使问题得到解决，这种思想称之为化归思想.
用正数、负数来表示，如下表：
(1)在这个月内，牛奶草莓销量最高的是第周，这一周的销售量是千克.
(2)这个月牛奶草莓的实际销量是多少千克？
(3)已知这种牛奶草莓的进价是每千克8元，则这家水果超市本月实际销售牛奶草莓的利润是多少元？
【思路导析】将牛奶草莓销量的比较转化为超过或不足的数量的比较.
【规范解答】(1)∵−10＜10＜20＜100，
∴牛奶草莓销量最高的是第四周.
第四周的销量为300+100=400(千克).
故答案为四，400.
(2)(300−10)+(300+10)+(300+20)+(300+100)=1320(千克).
所以这个月牛奶草莓的实际销量是1320千克.
(3)1320×(10−8)=2640(元).
所以这家水果超市本月实际销售牛奶草莓的利润是2640元.
变式探究
有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是()
A.$a＞b$
B.$|a|＞|b|$
C.$-a＞b$
D.$a＞-b$
学后反思
比较两个负数的大小，是通过比较它们的绝对值转化为比较两个正数的大小，从而使问题得到解决，这种思想称之为化归思想.
答案
D
解析
【分析】
解题时首先从数轴中提取关键信息：第一步，根据数轴上原点左侧为负数、右侧为正数，判断a、b的正负性；第二步，根据数到原点的距离判断两个数绝对值的大小关系；第三步，结合有理数大小比较规则、绝对值的性质，逐一分析每个选项，排除错误选项后锁定正确答案。
【解析】
由数轴可得：$a＜0＜b$，且a到原点的距离小于b到原点的距离，即$|a|＜|b|$。
逐一分析选项：
A. 正数大于所有负数，因此$b＞a$，该选项错误；
B. 绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，a离原点更近，因此$|a|＜|b|$，该选项错误；
C. 因为$a＜0$，所以$-a=|a|$，又$|a|＜|b|=b$，因此$-a＜b$，该选项错误；
D. 因为$b＞0$，所以$-b＜0$，且$|b|＞|a|$，说明$-b$在数轴上位于a的左侧，根据“数轴上右边的数总大于左边的数”，可得$a＞-b$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，有理数大小比较
【点评】
本题是数轴、绝对值、有理数大小比较的综合题，解题核心是通过数轴准确获取数的符号、绝对值大小的信息，再结合有理数性质判断选项，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先从数轴中提取关键信息：第一步，根据数轴上原点左侧为负数、右侧为正数，判断a、b的正负性；第二步，根据数到原点的距离判断两个数绝对值的大小关系；第三步，结合有理数大小比较规则、绝对值的性质，逐一分析每个选项，排除错误选项后锁定正确答案。
【解析】
由数轴可得：$a＜0＜b$，且a到原点的距离小于b到原点的距离，即$|a|＜|b|$。
逐一分析选项：
A. 正数大于所有负数，因此$b＞a$，该选项错误；
B. 绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，a离原点更近，因此$|a|＜|b|$，该选项错误；
C. 因为$a＜0$，所以$-a=|a|$，又$|a|＜|b|=b$，因此$-a＜b$，该选项错误；
D. 因为$b＞0$，所以$-b＜0$，且$|b|＞|a|$，说明$-b$在数轴上位于a的左侧，根据“数轴上右边的数总大于左边的数”，可得$a＞-b$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，有理数大小比较
【点评】
本题是数轴、绝对值、有理数大小比较的综合题，解题核心是通过数轴准确获取数的符号、绝对值大小的信息，再结合有理数性质判断选项，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
