登录
1. (1)$2x^2 - 3x - 1$中，二次项是，二次项系数是，一次项是，一次项系数是，常数项是；
(2)$3a^2b^2 - 2ab^2 + \frac{1}{2}ab - 1$是次多项式，它有项，故是次项式。
(2)$3a^2b^2 - 2ab^2 + \frac{1}{2}ab - 1$是次多项式，它有项，故是次项式。
答案
解：
(1) 二次项是$\boldsymbol{2x^2}$，二次项系数是$\boldsymbol{2}$，一次项是$\boldsymbol{-3x}$，一次项系数是$\boldsymbol{-3}$，常数项是$\boldsymbol{-1}$；
(2) $3a^2b^2 - 2ab^2 + \frac{1}{2}ab - 1$是$\boldsymbol{四}$次多项式，它有$\boldsymbol{4}$项，故是$\boldsymbol{四}$次$\boldsymbol{四}$项式。
(1) 二次项是$\boldsymbol{2x^2}$，二次项系数是$\boldsymbol{2}$，一次项是$\boldsymbol{-3x}$，一次项系数是$\boldsymbol{-3}$，常数项是$\boldsymbol{-1}$；
(2) $3a^2b^2 - 2ab^2 + \frac{1}{2}ab - 1$是$\boldsymbol{四}$次多项式，它有$\boldsymbol{4}$项，故是$\boldsymbol{四}$次$\boldsymbol{四}$项式。
解析
【分析】
(1) 解决第一问需先回忆多项式的相关定义：多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中次数为2的项是二次项，二次项的数字因数是二次项系数；次数为1的项是一次项，一次项的数字因数是一次项系数；不含字母的项是常数项。注意确定项和系数时要带上项前面的符号，不要漏负号。
(2) 解决第二问要明确：多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，单项式的次数是所有字母的指数和；多项式有几个单项式就有几项，最后结合次数和项数即可确定是几次几项式，注意项数要包含常数项。
【解析】
(1) 对多项式$2x^2 - 3x - 1$逐项分析：
次数为2的项是$2x^2$，因此二次项为$2x^2$，其数字因数为2，故二次项系数为2；
次数为1的项是$-3x$，因此一次项为$-3x$，其数字因数为-3，故一次项系数为-3；
不含字母的项是$-1$，因此常数项为$-1$。
(2) 对多项式$3a^2b^2 - 2ab^2 + \frac{1}{2}ab - 1$分析：
先计算每一项的次数：$3a^2b^2$的次数为$2+2=4$，$-2ab^2$的次数为$1+2=3$，$\frac{1}{2}ab$的次数为$1+1=2$，$-1$是常数项，次数为0；最高次项的次数为4，因此该多项式是四次多项式；
数单项式的个数：共有$3a^2b^2$、$-2ab^2$、$\frac{1}{2}ab$、$-1$共4项；
综上，该多项式是四次四项式。
【答案】
(1) 二次项是$\boldsymbol{2x^2}$，二次项系数是$\boldsymbol{2}$，一次项是$\boldsymbol{-3x}$，一次项系数是$\boldsymbol{-3}$，常数项是$\boldsymbol{-1}$；
(2) $3a^2b^2 - 2ab^2 + \frac{1}{2}ab - 1$是$\boldsymbol{四}$次多项式，它有$\boldsymbol{4}$项，故是$\boldsymbol{四}$次$\boldsymbol{四}$项式。
【知识点】
1. 多项式的项与系数
2. 多项式的次数判定
3. 几次几项式定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查多项式的相关定义，解题的易错点在于确定项和系数时容易遗漏前面的负号，计算多项式次数时要注意取最高次项的次数，不要混淆单项式次数和多项式次数的计算方法。
【难度系数】
0.85
(1) 解决第一问需先回忆多项式的相关定义：多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中次数为2的项是二次项，二次项的数字因数是二次项系数；次数为1的项是一次项，一次项的数字因数是一次项系数；不含字母的项是常数项。注意确定项和系数时要带上项前面的符号，不要漏负号。
(2) 解决第二问要明确：多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，单项式的次数是所有字母的指数和；多项式有几个单项式就有几项，最后结合次数和项数即可确定是几次几项式，注意项数要包含常数项。
【解析】
(1) 对多项式$2x^2 - 3x - 1$逐项分析：
次数为2的项是$2x^2$，因此二次项为$2x^2$，其数字因数为2，故二次项系数为2；
次数为1的项是$-3x$，因此一次项为$-3x$，其数字因数为-3，故一次项系数为-3；
不含字母的项是$-1$，因此常数项为$-1$。
(2) 对多项式$3a^2b^2 - 2ab^2 + \frac{1}{2}ab - 1$分析：
先计算每一项的次数：$3a^2b^2$的次数为$2+2=4$，$-2ab^2$的次数为$1+2=3$，$\frac{1}{2}ab$的次数为$1+1=2$，$-1$是常数项，次数为0；最高次项的次数为4，因此该多项式是四次多项式；
数单项式的个数：共有$3a^2b^2$、$-2ab^2$、$\frac{1}{2}ab$、$-1$共4项；
综上，该多项式是四次四项式。
【答案】
(1) 二次项是$\boldsymbol{2x^2}$，二次项系数是$\boldsymbol{2}$，一次项是$\boldsymbol{-3x}$，一次项系数是$\boldsymbol{-3}$，常数项是$\boldsymbol{-1}$；
(2) $3a^2b^2 - 2ab^2 + \frac{1}{2}ab - 1$是$\boldsymbol{四}$次多项式，它有$\boldsymbol{4}$项，故是$\boldsymbol{四}$次$\boldsymbol{四}$项式。
【知识点】
1. 多项式的项与系数
2. 多项式的次数判定
3. 几次几项式定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查多项式的相关定义，解题的易错点在于确定项和系数时容易遗漏前面的负号，计算多项式次数时要注意取最高次项的次数，不要混淆单项式次数和多项式次数的计算方法。
【难度系数】
0.85
2. 关于$x$的多项式$-3x^2 + 2x$的二次项系数、一次项系数和常数项分别为()
A.$3,2,1$
B.$-3,2,0$
C.$-3,2,1$
D.$3,2,0$
A.$3,2,1$
B.$-3,2,0$
C.$-3,2,1$
D.$3,2,0$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆多项式相关的基本概念：先把多项式拆分成各个单项式（即多项式的项），每个单项式的数字因数就是该项的系数，不含字母的项叫做常数项，若多项式中没有单独的数字项，常数项就是0。解题时依次找到二次项、一次项，分别提取它们的系数，再确定常数项，最后匹配选项即可。
【解析】
首先拆分多项式$-3x^2 + 2x$的各项：
1. 二次项为$-3x^2$，它的数字因数是$-3$，即二次项系数为$-3$；
2. 一次项为$2x$，它的数字因数是$2$，即一次项系数为$2$；
3. 该多项式中没有不含字母的单独数字项，因此常数项为$0$。
综上，二次项系数、一次项系数、常数项分别为$-3,2,0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式的项，单项式的系数，常数项
【点评】
本题是基础概念题，解题时需要注意项的系数要包含前面的符号，不要遗漏负号，同时要明确没有单独常数项时，常数项为0而非1，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要回忆多项式相关的基本概念：先把多项式拆分成各个单项式（即多项式的项），每个单项式的数字因数就是该项的系数，不含字母的项叫做常数项，若多项式中没有单独的数字项，常数项就是0。解题时依次找到二次项、一次项，分别提取它们的系数，再确定常数项，最后匹配选项即可。
【解析】
首先拆分多项式$-3x^2 + 2x$的各项：
1. 二次项为$-3x^2$，它的数字因数是$-3$，即二次项系数为$-3$；
2. 一次项为$2x$，它的数字因数是$2$，即一次项系数为$2$；
3. 该多项式中没有不含字母的单独数字项，因此常数项为$0$。
综上，二次项系数、一次项系数、常数项分别为$-3,2,0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式的项，单项式的系数，常数项
【点评】
本题是基础概念题，解题时需要注意项的系数要包含前面的符号，不要遗漏负号，同时要明确没有单独常数项时，常数项为0而非1，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
3.在式子$x^2 +5, -1, -3x +2, π, \frac{5}{x}, x^2 + \frac{1}{x+1},5x$中，整式有()
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确整式的判断标准：整式是单项式和多项式的统称，核心特征是分母中不含有字母。解题时我们只需要逐个判断给出的式子是否满足整式的特征，排除不符合的，最后统计符合条件的整式个数即可。注意π是常数，不属于字母，不要误判。
【解析】
首先明确整式的定义：单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含字母。我们逐个分析给出的式子：
1. $x^2 +5$：是几个单项式的和，属于多项式，是整式；
2. $-1$：单独的一个数，属于单项式，是整式；
3. $-3x +2$：是几个单项式的和，属于多项式，是整式；
4. $π$：是固定的常数，属于单项式，是整式；
5. $\frac{5}{x}$：分母含有字母x，不属于整式；
6. $x^2 + \frac{1}{x+1}$：第二项的分母含有字母x，不属于整式；
7. $5x$：是数与字母的乘积，属于单项式，是整式。
综上，符合整式要求的一共有5个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
整式的概念；单项式；多项式
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查整式的识别，解题的关键是牢记整式的分母不含字母，同时注意π是常数不是字母，避免因概念混淆出现判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确整式的判断标准：整式是单项式和多项式的统称，核心特征是分母中不含有字母。解题时我们只需要逐个判断给出的式子是否满足整式的特征，排除不符合的，最后统计符合条件的整式个数即可。注意π是常数，不属于字母，不要误判。
【解析】
首先明确整式的定义：单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含字母。我们逐个分析给出的式子：
1. $x^2 +5$：是几个单项式的和，属于多项式，是整式；
2. $-1$：单独的一个数，属于单项式，是整式；
3. $-3x +2$：是几个单项式的和，属于多项式，是整式；
4. $π$：是固定的常数，属于单项式，是整式；
5. $\frac{5}{x}$：分母含有字母x，不属于整式；
6. $x^2 + \frac{1}{x+1}$：第二项的分母含有字母x，不属于整式；
7. $5x$：是数与字母的乘积，属于单项式，是整式。
综上，符合整式要求的一共有5个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
整式的概念；单项式；多项式
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查整式的识别，解题的关键是牢记整式的分母不含字母，同时注意π是常数不是字母，避免因概念混淆出现判断错误。
【难度系数】
0.7
4.若$m$，$n$为自然数，则多项式$x^m + y^n + 4^{m+n}$的次数应当是()
A.$m$
B.$n$
C.$m,n$中较大的数
D.$m+n$
A.$m$
B.$n$
C.$m,n$中较大的数
D.$m+n$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数。接下来分三步思考：①分别确定多项式中每个项的次数：单项式的次数是所有字母的指数和，常数项（不含字母的项）的次数为0；②分析本题的三个项：$x^m$的次数是$m$，$y^n$的次数是$n$，$4^{m+n}$是常数项，次数为0；③比较三个项的次数，最高次数就是$m$和$n$中较大的数，即可得出答案。
【解析】
根据多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
对多项式$x^m + y^n + 4^{m+n}$的各项分析如下：
1. 项$x^m$：只含字母$x$，次数为$m$；
2. 项$y^n$：只含字母$y$，次数为$n$；
3. 项$4^{m+n}$：不含字母，是常数项，次数为0。
因为$m$、$n$为自然数，所以该多项式的最高次数为$m$、$n$中较大的数。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，常数项的概念
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易误将常数项$4^{m+n}$的指数$m+n$当作多项式的次数，需注意常数项不含字母，次数为0，判断多项式次数时只需比较含字母的项的次数即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆多项式次数的定义：多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数。接下来分三步思考：①分别确定多项式中每个项的次数：单项式的次数是所有字母的指数和，常数项（不含字母的项）的次数为0；②分析本题的三个项：$x^m$的次数是$m$，$y^n$的次数是$n$，$4^{m+n}$是常数项，次数为0；③比较三个项的次数，最高次数就是$m$和$n$中较大的数，即可得出答案。
【解析】
根据多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
对多项式$x^m + y^n + 4^{m+n}$的各项分析如下：
1. 项$x^m$：只含字母$x$，次数为$m$；
2. 项$y^n$：只含字母$y$，次数为$n$；
3. 项$4^{m+n}$：不含字母，是常数项，次数为0。
因为$m$、$n$为自然数，所以该多项式的最高次数为$m$、$n$中较大的数。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，常数项的概念
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易误将常数项$4^{m+n}$的指数$m+n$当作多项式的次数，需注意常数项不含字母，次数为0，判断多项式次数时只需比较含字母的项的次数即可。
【难度系数】
0.8
5.将①$x^3$，②$x^3+y^2$，③$x^2y$，④$2ab^2$这四个整式，对下图中这个不完整的句子进行补充，其中合适的有()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确三次三项式的定义：多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，多项式所含单项式的个数就是多项式的项数。已知原式已有xy（二次项）和-5（常数项）两个项，我们补充的整式需要满足两个条件：1. 补充后最高次项的次数为3；2. 补充后总项数为3。接下来逐个分析四个整式是否满足这两个条件即可。
【解析】
我们逐个判断四个整式补充后的情况：
1. 补充①$x^3$：得到多项式$x^3+xy-5$，最高次项为$x^3$，次数是3，共有$x^3$、$xy$、$-5$三个项，属于三次三项式，符合要求；
2. 补充②$x^3+y^2$：得到多项式$x^3+y^2+xy-5$，共4个项，属于三次四项式，不符合三项式要求，排除；
3. 补充③$x^2y$：$x^2y$的次数为$2+1=3$，得到多项式$x^2y+xy-5$，最高次为3，共有3个项，属于三次三项式，符合要求；
4. 补充④$2ab^2$：$2ab^2$的次数为$1+2=3$，且所含字母$a、b$与已有项的字母不同，不是同类项，得到多项式$2ab^2+xy-5$，最高次为3，共有3个项，属于三次三项式，符合要求。
综上，符合要求的有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
多项式的项与次数，同类项
【点评】
本题重点考查多项式相关概念的应用，解题核心是准确理解三次三项式的定义，判断时要注意补充的整式如果含多个不同的非同类项，会增加多项式的总项数，同时不要误认为多项式只能含同一组字母，避免判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确三次三项式的定义：多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，多项式所含单项式的个数就是多项式的项数。已知原式已有xy（二次项）和-5（常数项）两个项，我们补充的整式需要满足两个条件：1. 补充后最高次项的次数为3；2. 补充后总项数为3。接下来逐个分析四个整式是否满足这两个条件即可。
【解析】
我们逐个判断四个整式补充后的情况：
1. 补充①$x^3$：得到多项式$x^3+xy-5$，最高次项为$x^3$，次数是3，共有$x^3$、$xy$、$-5$三个项，属于三次三项式，符合要求；
2. 补充②$x^3+y^2$：得到多项式$x^3+y^2+xy-5$，共4个项，属于三次四项式，不符合三项式要求，排除；
3. 补充③$x^2y$：$x^2y$的次数为$2+1=3$，得到多项式$x^2y+xy-5$，最高次为3，共有3个项，属于三次三项式，符合要求；
4. 补充④$2ab^2$：$2ab^2$的次数为$1+2=3$，且所含字母$a、b$与已有项的字母不同，不是同类项，得到多项式$2ab^2+xy-5$，最高次为3，共有3个项，属于三次三项式，符合要求。
综上，符合要求的有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
多项式的项与次数，同类项
【点评】
本题重点考查多项式相关概念的应用，解题核心是准确理解三次三项式的定义，判断时要注意补充的整式如果含多个不同的非同类项，会增加多项式的总项数，同时不要误认为多项式只能含同一组字母，避免判断错误。
【难度系数】
0.7
6.若关于$x,y$的多项式$(a+1)x^2+(2-b)xy -x + y$不含二次项，则$5a -8b$的值为()
A.$-11$
B.$11$
C.$-21$
D.$21$
A.$-11$
B.$11$
C.$-21$
D.$21$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“多项式不含二次项”的含义：即多项式中所有次数为2的项的系数都等于0。解题时先找出多项式里的全部二次项，分别令它们的系数为0，得到关于a、b的方程，解出a、b的值后代入代数式5a-8b计算即可得到结果。
【解析】
首先确定多项式$(a+1)x^2+(2-b)xy -x + y$中的二次项：$(a+1)x^2$和$(2-b)xy$。
因为多项式不含二次项，因此这两个二次项的系数均为0，可得：
1. $a+1=0$，解得$a=-1$
2. $2-b=0$，解得$b=2$
将$a=-1$、$b=2$代入$5a-8b$计算：
$5a-8b=5×(-1)-8×2=-5-16=-21$
【答案】
C
【知识点】
多项式的相关概念；代数式求值
【点评】
本题核心是掌握“多项式不含某项则该项系数为0”的规则，解题时需注意不要漏算xy这类两个字母次数和为2的二次项，准确求出参数后代入计算即可，是整式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确“多项式不含二次项”的含义：即多项式中所有次数为2的项的系数都等于0。解题时先找出多项式里的全部二次项，分别令它们的系数为0，得到关于a、b的方程，解出a、b的值后代入代数式5a-8b计算即可得到结果。
【解析】
首先确定多项式$(a+1)x^2+(2-b)xy -x + y$中的二次项：$(a+1)x^2$和$(2-b)xy$。
因为多项式不含二次项，因此这两个二次项的系数均为0，可得：
1. $a+1=0$，解得$a=-1$
2. $2-b=0$，解得$b=2$
将$a=-1$、$b=2$代入$5a-8b$计算：
$5a-8b=5×(-1)-8×2=-5-16=-21$
【答案】
C
【知识点】
多项式的相关概念；代数式求值
【点评】
本题核心是掌握“多项式不含某项则该项系数为0”的规则，解题时需注意不要漏算xy这类两个字母次数和为2的二次项，准确求出参数后代入计算即可，是整式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
7. 把下列式子的序号分别填在横线上.
①$\frac{-4x^2y}{3}$；②$-5.8ab^3$；③$\frac{m}{6}$；④$a^2 - ab - 2b^2$；⑤$x + \frac{z}{2}$；⑥$\frac{4m^2n - n + 1}{2}$；⑦$a$.
单项式：______；
多项式：______；
整式：______.
①$\frac{-4x^2y}{3}$；②$-5.8ab^3$；③$\frac{m}{6}$；④$a^2 - ab - 2b^2$；⑤$x + \frac{z}{2}$；⑥$\frac{4m^2n - n + 1}{2}$；⑦$a$.
单项式：______；
多项式：______；
整式：______.
答案
解：
单项式：①②③⑦；
多项式：④⑤⑥；
整式：①②③④⑤⑥⑦。
单项式：①②③⑦；
多项式：④⑤⑥；
整式：①②③④⑤⑥⑦。
解析
【分析】
解题前先明确三个核心概念：1.单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；2.多项式：几个单项式的和组成的代数式；3.整式：单项式和多项式统称为整式，且整式的分母中不能含有字母。接下来我们逐个分析7个式子，先判断是不是单项式，再判断剩余的是不是多项式，所有单项式和多项式都属于整式。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. ①$\frac{-4x^2y}{3}$：是数$-\frac{4}{3}$与字母$x^2y$的乘积，属于单项式；
2. ②$-5.8ab^3$：是数$-5.8$与字母$ab^3$的乘积，属于单项式；
3. ③$\frac{m}{6}$：是数$\frac{1}{6}$与字母$m$的乘积，属于单项式；
4. ④$a^2 - ab - 2b^2$：是单项式$a^2$、$-ab$、$-2b^2$的和，属于多项式；
5. ⑤$x + \frac{z}{2}$：是单项式$x$、$\frac{z}{2}$的和，属于多项式；
6. ⑥$\frac{4m^2n - n + 1}{2}$：化简后为$2m^2n - \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}$，是三个单项式的和，属于多项式；
7. ⑦$a$：单独的一个字母，属于单项式。
根据整式的定义，所有单项式和多项式都属于整式，因此7个式子均为整式。
【答案】
单项式：①②③⑦；
多项式：④⑤⑥；
整式：①②③④⑤⑥⑦。
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题考查整式相关概念的辨析，解题的关键是准确区分单项式、多项式的判定标准，牢记整式的分母不含字母这一核心要点，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题前先明确三个核心概念：1.单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；2.多项式：几个单项式的和组成的代数式；3.整式：单项式和多项式统称为整式，且整式的分母中不能含有字母。接下来我们逐个分析7个式子，先判断是不是单项式，再判断剩余的是不是多项式，所有单项式和多项式都属于整式。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. ①$\frac{-4x^2y}{3}$：是数$-\frac{4}{3}$与字母$x^2y$的乘积，属于单项式；
2. ②$-5.8ab^3$：是数$-5.8$与字母$ab^3$的乘积，属于单项式；
3. ③$\frac{m}{6}$：是数$\frac{1}{6}$与字母$m$的乘积，属于单项式；
4. ④$a^2 - ab - 2b^2$：是单项式$a^2$、$-ab$、$-2b^2$的和，属于多项式；
5. ⑤$x + \frac{z}{2}$：是单项式$x$、$\frac{z}{2}$的和，属于多项式；
6. ⑥$\frac{4m^2n - n + 1}{2}$：化简后为$2m^2n - \frac{1}{2}n + \frac{1}{2}$，是三个单项式的和，属于多项式；
7. ⑦$a$：单独的一个字母，属于单项式。
根据整式的定义，所有单项式和多项式都属于整式，因此7个式子均为整式。
【答案】
单项式：①②③⑦；
多项式：④⑤⑥；
整式：①②③④⑤⑥⑦。
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题考查整式相关概念的辨析，解题的关键是准确区分单项式、多项式的判定标准，牢记整式的分母不含字母这一核心要点，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
