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8.已知式子$(a-1)x^3 -2x -(a+3)$.
(1)若它是关于$x$的一次式,求$a$的值并写出常数项;
(2)若它是关于$x$的三次二项式,求$a$的值并写出次数最高的项.
(1)若它是关于$x$的一次式,求$a$的值并写出常数项;
(2)若它是关于$x$的三次二项式,求$a$的值并写出次数最高的项.
答案
解：
(1) 因为式子$(a-1)x^3 - 2x -(a+3)$是关于$x$的一次式，
所以三次项的系数为0，即$a-1=0$，
解得$a=1$。
将$a=1$代入常数项$-(a+3)$，得$-(1+3)=-4$，
所以常数项为$-4$。
(2) 因为式子$(a-1)x^3 - 2x -(a+3)$是关于$x$的三次二项式，
所以三次项系数不能为0，且式子总共只有两项，因此常数项必须为0，
即$a-1≠0$，且$-(a+3)=0$，
解得$a=-3$。
此时三次项的系数为$a-1=-3-1=-4$，
所以次数最高的项是$-4x^3$。
(1) 因为式子$(a-1)x^3 - 2x -(a+3)$是关于$x$的一次式，
所以三次项的系数为0，即$a-1=0$，
解得$a=1$。
将$a=1$代入常数项$-(a+3)$，得$-(1+3)=-4$，
所以常数项为$-4$。
(2) 因为式子$(a-1)x^3 - 2x -(a+3)$是关于$x$的三次二项式，
所以三次项系数不能为0，且式子总共只有两项，因此常数项必须为0，
即$a-1≠0$，且$-(a+3)=0$，
解得$a=-3$。
此时三次项的系数为$a-1=-3-1=-4$，
所以次数最高的项是$-4x^3$。
解析
【分析】
(1) 若多项式是关于x的一次式，说明其最高次项的次数为1，原式中的三次项必须不存在，即三次项的系数为0，据此可求出a的值，再代入原式即可得到常数项。
(2) 若多项式是关于x的三次二项式，首先最高次为3，因此三次项系数不能为0；其次总共有2项，当前已有三次项和一次项两项，因此常数项必须为0，联立条件求出a的值，即可得到次数最高的项。
【解析】
(1) 因为式子$(a-1)x^3 - 2x -(a+3)$是关于$x$的一次式，
所以三次项的系数为0，即$a-1=0$，
解得$a=1$。
将$a=1$代入常数项$-(a+3)$，得$-(1+3)=-4$，
所以常数项为$-4$。
(2) 因为式子$(a-1)x^3 - 2x -(a+3)$是关于$x$的三次二项式，
所以三次项系数不能为0，且式子总共只有两项，因此常数项必须为0，
即$\begin{cases}a-1≠0 \\-(a+3)=0\end{cases}$，
解得$a=-3$。
此时三次项的系数为$a-1=-3-1=-4$，
所以次数最高的项是$-4x^3$。
【答案】
(1) $a=1$，常数项为$-4$；
(2) $a=-3$，次数最高的项为$-4x^3$
【知识点】
多项式的次数，多项式的项数，单项式的系数
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题关键是明确多项式的次数由最高次项的次数决定，项数由所含单项式的个数决定，注意系数为0时对应项不存在，掌握规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
(1) 若多项式是关于x的一次式，说明其最高次项的次数为1，原式中的三次项必须不存在，即三次项的系数为0，据此可求出a的值，再代入原式即可得到常数项。
(2) 若多项式是关于x的三次二项式，首先最高次为3，因此三次项系数不能为0；其次总共有2项，当前已有三次项和一次项两项，因此常数项必须为0，联立条件求出a的值，即可得到次数最高的项。
【解析】
(1) 因为式子$(a-1)x^3 - 2x -(a+3)$是关于$x$的一次式，
所以三次项的系数为0，即$a-1=0$，
解得$a=1$。
将$a=1$代入常数项$-(a+3)$，得$-(1+3)=-4$，
所以常数项为$-4$。
(2) 因为式子$(a-1)x^3 - 2x -(a+3)$是关于$x$的三次二项式，
所以三次项系数不能为0，且式子总共只有两项，因此常数项必须为0，
即$\begin{cases}a-1≠0 \\-(a+3)=0\end{cases}$，
解得$a=-3$。
此时三次项的系数为$a-1=-3-1=-4$，
所以次数最高的项是$-4x^3$。
【答案】
(1) $a=1$，常数项为$-4$；
(2) $a=-3$，次数最高的项为$-4x^3$
【知识点】
多项式的次数，多项式的项数，单项式的系数
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题关键是明确多项式的次数由最高次项的次数决定，项数由所含单项式的个数决定，注意系数为0时对应项不存在，掌握规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
9.已知多项式$-8x^2y^{m+2}-xy^3+x$是关于$x,y$的七次多项式，关于$x,y$的单项式$6x^{2n}y^{m+2}$与该多项式的次数相同，求$(n-m)^3$的值.
答案
解：
因为多项式$-8x^2y^{m+2}-xy^3+x$是关于$x,y$的七次多项式，它的各项次数分别为$2+m+2$、$1+3=4$、$1$，最高次项的次数为7，因此：
$2 + m + 2 = 7$
解得$m=3$。
由题意，单项式$6x^{2n}y^{m+2}$的次数也为7，因此：
$2n + m + 2 =7$
将$m=3$代入上式，得：
$2n + 3 + 2 =7$
解得$n=1$。
所以$(n-m)^3=(1-3)^3=(-2)^3=-8$。
因为多项式$-8x^2y^{m+2}-xy^3+x$是关于$x,y$的七次多项式，它的各项次数分别为$2+m+2$、$1+3=4$、$1$，最高次项的次数为7，因此：
$2 + m + 2 = 7$
解得$m=3$。
由题意，单项式$6x^{2n}y^{m+2}$的次数也为7，因此：
$2n + m + 2 =7$
将$m=3$代入上式，得：
$2n + 3 + 2 =7$
解得$n=1$。
所以$(n-m)^3=(1-3)^3=(-2)^3=-8$。
解析
【分析】
解题时首先回忆整式次数的相关定义：①多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。首先根据多项式是七次多项式，找到最高次项，令其次数等于7，即可列方程求出m的值；再根据单项式与多项式次数相同，利用单项式次数的定义列方程，代入m的值求出n的值；最后将m、n代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
因为多项式$-8x^2y^{m+2}-xy^3+x$是关于$x,y$的七次多项式，它的各项次数分别为$2+m+2$、$1+3=4$、$1$，最高次项的次数为7，因此：
$2 + m + 2 = 7$
解得$m=3$。
由题意，单项式$6x^{2n}y^{m+2}$的次数也为7，因此：
$2n + m + 2 =7$
将$m=3$代入上式，得：
$2n + 3 + 2 =7$
解得$n=1$。
所以$(n-m)^3=(1-3)^3=(-2)^3=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；代数式求值
【点评】
本题是整式章节的典型基础题，核心考查多项式和单项式次数的定义，解题时需准确识别最高次项，正确计算字母指数和，代入求值时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆整式次数的相关定义：①多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。首先根据多项式是七次多项式，找到最高次项，令其次数等于7，即可列方程求出m的值；再根据单项式与多项式次数相同，利用单项式次数的定义列方程，代入m的值求出n的值；最后将m、n代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
因为多项式$-8x^2y^{m+2}-xy^3+x$是关于$x,y$的七次多项式，它的各项次数分别为$2+m+2$、$1+3=4$、$1$，最高次项的次数为7，因此：
$2 + m + 2 = 7$
解得$m=3$。
由题意，单项式$6x^{2n}y^{m+2}$的次数也为7，因此：
$2n + m + 2 =7$
将$m=3$代入上式，得：
$2n + 3 + 2 =7$
解得$n=1$。
所以$(n-m)^3=(1-3)^3=(-2)^3=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；代数式求值
【点评】
本题是整式章节的典型基础题，核心考查多项式和单项式次数的定义，解题时需准确识别最高次项，正确计算字母指数和，代入求值时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
10.如图,某花园的护栏是用一些半圆形钢条围成的,半圆的直径为80 cm,且每增加1根半圆形钢条,护栏的长度就增加a cm(a＞0).设半圆形钢条的总根数为x(x为正整数),护栏的总长度为y cm.
(1)当a=60时,用含x的代数式表示y(结果要求化简);
(2)用含a,x的代数式表示y(结果要求化简),并求当a=50,x=41时y的值.
(1)当a=60时,用含x的代数式表示y(结果要求化简);
(2)用含a,x的代数式表示y(结果要求化简),并求当a=50,x=41时y的值.
答案
解：
(1) 根据题意，第1根半圆形钢条对应的护栏长度为80 cm，每增加1根钢条护栏长度增加60 cm，共x根钢条时，新增的长度对应(x-1)根钢条的增量：
$\begin{aligned}y&=80 + 60(x-1)\\&=80 + 60x - 60\\&=60x + 20\end{aligned}$
(2) 同理可得护栏总长度的表达式：
$\begin{aligned}y&=80 + a(x-1)\\&=ax + 80 - a\end{aligned}$
将$a=50$，$x=41$代入上式：
$\begin{aligned}y&=50×41 + 80 - 50\\&=2050 + 30\\&=2080\end{aligned}$
综上，(1) $y=60x+20$；(2) $y=ax+80-a$，对应y的值为2080。
(1) 根据题意，第1根半圆形钢条对应的护栏长度为80 cm，每增加1根钢条护栏长度增加60 cm，共x根钢条时，新增的长度对应(x-1)根钢条的增量：
$\begin{aligned}y&=80 + 60(x-1)\\&=80 + 60x - 60\\&=60x + 20\end{aligned}$
(2) 同理可得护栏总长度的表达式：
$\begin{aligned}y&=80 + a(x-1)\\&=ax + 80 - a\end{aligned}$
将$a=50$，$x=41$代入上式：
$\begin{aligned}y&=50×41 + 80 - 50\\&=2050 + 30\\&=2080\end{aligned}$
综上，(1) $y=60x+20$；(2) $y=ax+80-a$，对应y的值为2080。
解析
【分析】
解题时先理清护栏总长度的组成：当只有1根半圆形钢条时，护栏长度为初始的80cm；每增加1根钢条，长度增加a cm，因此x根钢条时，比1根的情况多了(x-1)次增量，总长度=初始长度+增量总和，根据这个关系分别列式计算即可。
【解析】
(1) 当a=60时，初始长度为80cm，每增加1根钢条增加60cm，x根钢条的增量为60(x-1)cm，因此：
$\begin{aligned}y&=80 + 60(x-1)\\&=80 + 60x - 60\\&=60x + 20\end{aligned}$
(2) 按照上述规律，通用的总长度表达式为初始长度加a乘以(x-1)，即：
$\begin{aligned}y&=80 + a(x-1)\\&=ax + 80 - a\end{aligned}$
将$a=50$，$x=41$代入上述式子：
$\begin{aligned}y&=50×41 + 80 - 50\\&=2050 + 30\\&=2080\end{aligned}$
【答案】
(1) $y=60x+20$；(2) $y=ax+80-a$，当$a=50,x=41$时，$y$的值为2080
【知识点】
列代数式；代数式化简；代数式求值
【点评】
本题结合实际生活场景考查数量关系的梳理，解题关键是准确找到护栏长度随钢条根数增加的变化规律，区分初始长度和增量部分，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题时先理清护栏总长度的组成：当只有1根半圆形钢条时，护栏长度为初始的80cm；每增加1根钢条，长度增加a cm，因此x根钢条时，比1根的情况多了(x-1)次增量，总长度=初始长度+增量总和，根据这个关系分别列式计算即可。
【解析】
(1) 当a=60时，初始长度为80cm，每增加1根钢条增加60cm，x根钢条的增量为60(x-1)cm，因此：
$\begin{aligned}y&=80 + 60(x-1)\\&=80 + 60x - 60\\&=60x + 20\end{aligned}$
(2) 按照上述规律，通用的总长度表达式为初始长度加a乘以(x-1)，即：
$\begin{aligned}y&=80 + a(x-1)\\&=ax + 80 - a\end{aligned}$
将$a=50$，$x=41$代入上述式子：
$\begin{aligned}y&=50×41 + 80 - 50\\&=2050 + 30\\&=2080\end{aligned}$
【答案】
(1) $y=60x+20$；(2) $y=ax+80-a$，当$a=50,x=41$时，$y$的值为2080
【知识点】
列代数式；代数式化简；代数式求值
【点评】
本题结合实际生活场景考查数量关系的梳理，解题关键是准确找到护栏长度随钢条根数增加的变化规律，区分初始长度和增量部分，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
11.暑假期间，某游泳馆针对学生推出两种优惠活动，活动内容如下.
活动一:购买一张30元优惠卡，每次游泳仅需5元.
活动二:不购买优惠卡，凭学生证，每次游泳需7元.
若某学生暑假期间游泳x次，按活动一、活动二分别花费m元、n元.
(1)$m=$，$n=$;(用含x的式子表示)
(2)小明计划暑假期间游泳25次，则他参与哪种活动比较划算?
活动一:购买一张30元优惠卡，每次游泳仅需5元.
活动二:不购买优惠卡，凭学生证，每次游泳需7元.
若某学生暑假期间游泳x次，按活动一、活动二分别花费m元、n元.
(1)$m=$，$n=$;(用含x的式子表示)
(2)小明计划暑假期间游泳25次，则他参与哪种活动比较划算?
答案
解：
(1) $5x+30$；$7x$
(2) 当$x=25$时，
将$x=25$代入$m=5x+30$，得$m=5×25+30=155$，
将$x=25$代入$n=7x$，得$n=7×25=175$。
因为$155＜175$，所以他参与活动一比较划算。
(1) $5x+30$；$7x$
(2) 当$x=25$时，
将$x=25$代入$m=5x+30$，得$m=5×25+30=155$，
将$x=25$代入$n=7x$，得$n=7×25=175$。
因为$155＜175$，所以他参与活动一比较划算。
解析
【分析】
（1）先明确两个活动的花费构成：活动一的总花费包含固定的30元优惠卡费用，以及每次游泳5元的变动费用，x次的变动费用为5x，两者相加即可得到m的表达式；活动二无固定卡费，每次游泳7元，总费用直接用单次费用乘次数x即可得到n的表达式。（2）要判断游泳25次哪种活动更划算，只需把x=25分别代入第（1）问得到的两个代数式，算出两种活动的具体花费，再比较花费大小，费用更低的活动更划算。
【解析】
（1）活动一总花费=优惠卡费用+x次游泳的费用，因此$m=30+5x=5x+30$；
活动二总花费=x次游泳的费用，因此$n=7x$。
（2）当$x=25$时，
将$x=25$代入$m=5x+30$，得$m=5×25+30=125+30=155$，
将$x=25$代入$n=7x$，得$n=7×25=175$。
因为$155＜175$，所以活动一花费更少。
【答案】
(1) $5x+30$；$7x$
(2) 参与活动一比较划算
【知识点】
1. 列代数式
2. 代数式求值
3. 方案优选
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景命题，核心考查代数式的实际应用，解题关键是读懂题意，准确梳理不同方案的费用构成，正确列出代数式后代入计算比较即可，和生活关联度高，容易理解。
【难度系数】
0.85
（1）先明确两个活动的花费构成：活动一的总花费包含固定的30元优惠卡费用，以及每次游泳5元的变动费用，x次的变动费用为5x，两者相加即可得到m的表达式；活动二无固定卡费，每次游泳7元，总费用直接用单次费用乘次数x即可得到n的表达式。（2）要判断游泳25次哪种活动更划算，只需把x=25分别代入第（1）问得到的两个代数式，算出两种活动的具体花费，再比较花费大小，费用更低的活动更划算。
【解析】
（1）活动一总花费=优惠卡费用+x次游泳的费用，因此$m=30+5x=5x+30$；
活动二总花费=x次游泳的费用，因此$n=7x$。
（2）当$x=25$时，
将$x=25$代入$m=5x+30$，得$m=5×25+30=125+30=155$，
将$x=25$代入$n=7x$，得$n=7×25=175$。
因为$155＜175$，所以活动一花费更少。
【答案】
(1) $5x+30$；$7x$
(2) 参与活动一比较划算
【知识点】
1. 列代数式
2. 代数式求值
3. 方案优选
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景命题，核心考查代数式的实际应用，解题关键是读懂题意，准确梳理不同方案的费用构成，正确列出代数式后代入计算比较即可，和生活关联度高，容易理解。
【难度系数】
0.85
